Toán - Tích phân luyện thi Đại học

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
1 
TÍCH PHÂN 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 
0909 230 970 
108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình. 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
2 
TÍCH PHÂN 
I. ĐỔI BIẾN SỐ 
TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 
1. Đổi biến số dạng 1 
Để tính tích phân 
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx . 
Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)          . 
Bước 3. 
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt


  . 
Ví dụ 7. Tính tích phân 
2e
e
dx
I
x ln x
  . 
Giải 
Đặt 
dx
t ln x dt
x
   .ĐỔI CẬN : 2x e t 1, x e t 2      
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
    . Vậy I ln 2 . 
 Ví dụ 8. Tính tích phân 
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)

  . 
Hướng dẫn: 
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
 
 
   . Đặt t tan x 1  ;ĐS: 
3
I
8
 . 
Ví dụ 9. Tính tích phân 
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
   . 
Hướng dẫn: 
Đặt t 2x 3  ĐS: 3I ln
2
 . 
Ví dụ 10. Tính tích phân 
1
0
3 x
I dx
1 x
  . 
Hướng dẫn: 
Đặt 
3 2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x (t 1)
 
  ; đặt t tan u  
ĐS: I 3 2
3
   . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
3 
Chú ý: 
Phân tích 
1
0
3 x
I dx
1 x
  , rồi đặt t 1 x  sẽ tính nhanh hơn. 
2. Đổi biến số dạng 2 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )
b
a
f x dx ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt . 
Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t       . 
Bước 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
 
 
    . 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
1
2
2
0
1
I dx
1 x

 . 
Giải 
Đặt x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
         
ĐỔI CẬN :
1
x 0 t 0, x t
2 6
      
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t1 sin t
 
  
 
6
6
0
0
dt t 0
6 6

       . Vậy I 6
 . 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
2
2
0
I 4 x dx  . 
Hướng dẫn: 
Đặt x 2 sin t ĐS: I   . 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
1
2
0
dx
I
1 x
  . 
Giải 
Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
          
x 0 t 0, x 1 t
4
      
4 42
2
0 0
tan t 1
I dt dt
41 tan t
 
    
  . Vậy I 4
 . 
Ví dụ 4. Tính tích phân 
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2

   . 
Hướng dẫn: 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
4 
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
 
      . Đặt x 1 tan t  ; ĐS: I 12
 . 
Ví dụ 5. Tính tích phân 
2
2
0
dx
I
4 x

 . ĐS: I 2
 . 
Ví dụ 6. Tính tích phân 
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2

   . ĐS: I 12
 . 
3. Các dạng đặc biệt 
3.1. Dạng lượng giác 
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 
2
2 3
0
I cos x sin xdx

  . 
Hướng dẫn: 
Đặt t cos x ĐS: 2I
15
 . 
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 
2
5
0
I cos xdx

  . 
Hướng dẫn: 
Đặt t sin x ĐS: 8I
15
 . 
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 
2
4 2
0
I cos x sin xdx

  . 
Giải 
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
 
  
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
 
    
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
 
   
3 2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32

        . 
Vậy I
32
 . 
Ví dụ 14. Tính tích phân 
2
0
dx
I
cos x sin x 1

   . 
Hướng dẫn: 
Đặt 
x
t tan
2
 . ĐS: I ln 2 . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
5 
Biểu diễn các hàm số LG theo tan
2
at  : 
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t ta a a
t t t

  
  
3.2. Dạng liên kết 
Ví dụ 15. Tính tích phân 
0
xdx
I
sin x 1

  . 
Giải 
Đặt x t dx dt      .ĐỔI CẬN x 0 t , x t 0        
 0
0
( t)dt t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1


           
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
           2 20 0
dt dt
tt t2 4 cossin cos 2 42 2
    
 
2 00
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
 
                        
 . Vậy I   . 
Tổng quát: 
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
   . 
Ví dụ 16. Tính tích phân 
2 2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x

  . 
Giải 
Đặt x t dx dt
2
     .ĐỔI CẬN: x 0 t , x t 0
2 2
       
 
   
20070
2007 2007
2
sin t
2I dx
sin t cos t
2 2

 
      
2 2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t

  (1). 
Mặt khác 
2
0
I J dx
2

   (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4
 . 
Tổng quát: 
2 2n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
 
      . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
6 
Ví dụ 17. Tính tích phân 
6 2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x

  và 
6 2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x

  . 
Giải 
I 3J 1 3   (1). 
 
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2sin x 3 cos x sin x
3
 
      
Đặt t x dt dx
3
     1I J ln 3
4
  (2). 
Từ (1) và (2)
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
     . 
Ví dụ 18. Tính tích phân 
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
  . 
Giải 
Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt    . ĐC: x 0 t 0, x 1 t
4
      
 
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
 
    
  . 
Đặt t u dt du
4
     .ĐC: t 0 u , t u 0
4 4
       
04
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du
4


                 
4 4
0 0
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
 
                   
 
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
 
      .Vậy I ln 28
 . 
Ví dụ 19. Tính tích phân 
4
x
4
cos x
I dx
2007 1


  . 
Hướng dẫn: 
Đặt x t  .ĐS: 2I
2
 . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
7 
Tổng quát: 
Với a > 0 , 0  , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn  ;   thì 
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
 

  . 
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa f( x) 2f(x) cos x   . 
Tính tích phân 
2
2
I f(x)dx


  . 
Giải 
Đặt 
2
2
J f( x)dx


  , x t dx dt     .ĐC: x t , x t2 2 2 2
           
 
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
 
  
           
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
 

    . Vậy 2I 3 . 
3.3. Các kết quả cần nhớ 
i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
a
a
f(x)dx 0

 . 
ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx

  . 
iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
, 
n !!cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n !! 2
       
 
nếu n lẻ
 nếu n chẵn
. 
Trong đĩ 
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 
0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;      
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10     . 
Ví dụ 21. 
2
11
0
10 !! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693

   . 
Ví dụ 22. 
2
10
0
9 !! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512

     . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
8 
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
1. Cơng thức 
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và cĩ đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta cĩ 
   / / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx     
 
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv        
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu         . 
Cơng thức: 
b b
b
a
a a
udv uv vdu   (1). 
Cơng thức (1) cịn được viết dưới dạng: 
b b
b/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx   (2). 
2. Phương pháp giải tốn 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
f(x)g(x)dx ta thực hiện 
Cách 1. 
Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx  (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi 
phân /du u (x)dx khơng quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân 
b
a
vdu phải tính được. 
Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả. 
Đặc biệt: 
i/ Nếu gặp 
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx   
Với P(x) là đa thức thì đặt u P(x) . 
ii/ Nếu gặp 
b
a
P(x) ln xdx thì đặt u ln x . 
Cách 2. 
Viết lại tích phân 
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx  và sử dụng trực tiếp cơng thức (2). 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
1
x
0
I xe dx  . 
Giải 
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
        
1 1
11x x x x
0 0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1       . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
9 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
e
1
I x ln xdx  . 
Giải 
Đặt 
2
dx
duu ln x x
dv xdx x
v
2
       
e ee2 2
11 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
     . 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
2
x
0
I e sin xdx

  . 
Giải 
Đặt x x
u sin x du cos xdx
dv e dx v e
        
2 2
x x x2 2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
 
 
       . 
Đặt x x
u cos x du sin xdx
dv e dx v e
         
2 2
x x x2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
 

        
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2

        . 
Chú ý: 
Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 
Ví dụ 7. Tính tích phân 
2
4
0
I cos xdx

  . 
Hướng dẫn: 
Đặt t x
2
0
I 2 t cos tdt 2

       . 
Ví dụ 8. Tính tích phân 
e
1
I sin(ln x)dx  . ĐS: (sin1 cos1)e 1I 2
  . 
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 
Phương pháp giải tốn: 
1. Dạng 1: 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
10 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
I f(x) dx  , ta thực hiện các bước sau 
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) cĩ BXD: 
x a 1x 2x b 
f(x)  0  0  
Bước 2. Tính 
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx       . 
Ví dụ 9. Tính tích phân 
2
2
3
I x 3x 2 dx

   . 
Giải 
Bảng xét dấu 
x 3 1 2 
2x 3x 2   0  0 
   
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
        . Vậy 59I 2 . 
Ví dụ 10. Tính tích phân 
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx

   . ĐS: I 2 3 2 6
   . 
2. Dạng 2 
Giả sử cần tính tích phân  
b
a
I f(x) g(x) dx  , ta thực hiện 
Cách 1. 
Tách  
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx      rồi sử dụng dạng 1 ở trên. 
Cách 2. 
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 
Ví dụ 11. Tính tích phân  
2
1
I x x 1 dx

   . 
Giải 
Cách 1.  
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
  
        
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
 
          
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
11 
0 2 1 22 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2 
                    . 
Cách 2. 
Bảng xét dấu 
x –1 0 1 2 
x – 0 +  + 
x – 1 – – 0 + 
     
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx

            
  120 21 10x x x x 0      . Vậy I 0 . 
3. Dạng 3 
Để tính các tích phân  
b
a
I max f(x), g(x) dx  và  
b
a
J min f(x), g(x) dx  , ta thực 
hiện các bước sau: 
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)  trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. 
+ Nếu h(x) 0 thì  max f(x), g(x) f(x) và  min f(x), g(x) g(x) . 
+ Nếu h(x) 0 thì  max f(x), g(x) g(x) và  min f(x), g(x) f(x) . 
Ví dụ 12. Tính tích phân  
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx   . 
Giải 
Đặt    2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3       . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 4 
h(x) + 0 – 0 + 
     
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
         . 
Vậy 
80
I
3
 . 
Ví dụ 13. Tính tích phân  
2
x
0
I min 3 , 4 x dx  . 
Giải 
Đặt  x xh(x) 3 4 x 3 x 4      . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 2 
h(x) – 0 + 
 
1 2 21x 2
x
0 10 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
            .Vậy 
2 5
I
ln 3 2
  . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
12 
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 
Phương pháp giải tốn 
1. Dạng 1 
Để chứng minh 
b
a
f(x)dx 0 (hoặc 
b
a
f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0
) với  x a; b  . 
Ví dụ 14. Chứng minh 
1
3 6
0
1 x dx 0  . 
Giải 
Với  
1
3 36 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0         . 
2. Dạng 2 
Để chứng minh 
b b
a a
f(x)dx g(x)dx  ta chứng minh f(x) g(x) với  x a; b  . 
Ví dụ 15. Chứng minh 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
 
   . 
Giải 
Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
          
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
        . 
 Vậy 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
 
   . 
3. Dạng 3 
Để chứng minh 
b
a
A f(x)dx B  ta thực hiện các bước sau. 
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M  . 
Bước 2. Lấy tích phân 
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B      . 
Ví dụ 16. Chứng minh 
1
2
0
2 4 x dx 5   . 
Giải 
Với   2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5         . 
Vậy 
1
2
0
2 4 x dx 5   . 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
13 
Ví dụ 17. Chứng minh 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x


   . 
Giải 
Với 2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
          
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2 3 2 sin x
       
   
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 43 2 sin x


        . Vậy 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x


   . 
Ví dụ 18. Chứng minh 
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3


  . 
Giải 
Xét hàm số 
cotx
f(x) , x ; 
x 4 3
       
 ta cĩ 
2
/
2
x
cotx
sin xf (x) 0 x ; 
4 3x
           
   f f(x) f x ; 3 4 4 3            3 cotx 4 x ; x 4 3
            
3
4
3 cotx 4
dx
3 4 x 3 4


                      . Vậy 
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3


  . 
4. Dạng 4 (tham khảo) 
Để chứng minh 
b
a
A f(x)dx B  (mà dạng 3 khơng làm được) ta thực hiện 
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho 
 
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
      

. 
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho 
 
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
      

. 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
14 
Ví dụ 19. Chứng minh 
2
2
2007
0
2 dx
2 41 x
 
 . 
Giải 
Với 2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
        
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2 1 x 1 x
        
 
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
  
    . 
Đặt x sin t dx cos tdt   .ĐC: 2x 0 t 0, x t
2 4
      
2
2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 41 x

  
  . Vậy 
2
2
2007
0
2 dx
2 41 x
 
 . 
Ví dụ 20. Chứng minh 
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2x 2 1
  
  . 
Giải 
Với   2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1        
2
x x x
3 1 2 1x 2 1
    
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1x 2 1
       . 
 Vậy 
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2x 2 1
  
  . 
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 
1. Diện tích hình thang cong 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường 
y f(x), x a, x b   và trục hồnh là 
b
a
S f(x) dx  . 
Phương pháp giải tốn 
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 
b
a
f(x) dx . 
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e   và Ox. 
Giải 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
15 
Do  ln x 0 x 1; e   nên 
 
e e
e
1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1      . Vậy S 1 (đvdt). 
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3      và Ox. 
Giải 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 
y – 0 + 0 
   
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx          
1 33 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
                      . Vậy 
8
S
3
 (đvdt). 
2. Diện tích hình phẳng 
2.1. Trường hợp 1. 
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y f(x), y g(x), x a, x b    là 
b
a
S f(x) g(x) dx  . 
Phương pháp giải tốn 
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 
b
a
f(x) g(x) dx . 
2.2. Trường hợp 2. 
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y f(x), y g(x)  là S f(x) g(x) dx


  . Trong đĩ ,   là nghiệm nhỏ nhất và lớn 
nhất của phương trình f(x) g(x)  a b     . 
Phương pháp giải tốn 
Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x) . 
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn  ;   . 
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx


 . 
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x    , 
x 0, x 2  . 
Giải 
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6        
h(x) 0 x 1 x 2 x 3       (loại). 
Bảng xét dấu: 
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
16 
x 0 1 2 
h(x) – 0 + 0 
   
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx          
1 24 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
                      . Vậy 
5
S
2
 (đvdt). 
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x    . 
Giải 
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6        
h(x) 0 x 1 x 2 x 3       . 
Bảng xét dấu 
x 1 2 3 
h(x) 0 + 0 – 0 
   
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx         
2 34 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
                     . Vậy 
1
S
2
 (đvdt). 
Chú ý:Nếu trong đoạn  ;   phương trình f(x) g(x) khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta cĩ thể 
dùng cơng thức  f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
 
 
    . 
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x  . 
Giải 
Ta cĩ 3x 4x x 2 x 0 x 2        
   
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx

     
0 24 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
                 . 
Vậy S 8 (đvdt). 
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3   và trục hồnh. 
Giải 
Ta cĩ 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0         
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
                
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx

        
   
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
          
  
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970 
17 
1 33 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
                      
. Vậy 
16
S
3
 (đvdt). 
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3   và y x 3  . 
Giải 
Phương trình hồnh độ giao điểm 
2x 4x 3 x 3    
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
                 
. 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 5 
2x 4x 3  + 0 – 0 + 
     
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx           
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
                              . Vậy 
109
S
6
 (đvdt). 
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5    . 
Giải 
Phương trình hồnh độ giao điểm 
2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0         
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5 x 3
t 3
t 1 t 5
                     
   
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx

          
Bảng xét dấu 
X 0 1 3 
2x 1 – 0 + 
   
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx         
1 33 2 3 2