Toán - Phương trình mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (ptmp)
Dạng 1: Viết ptmp đi qua một điểm M và nhận vec to pháp tuyến cho trước.Ví dụ: 
Ví dụ: Điểm là chân đường cao kẻ từ gốc tọa độ O đến một mặt phẳng. Viết pt của mặt phẳng này.
Dạng 2: Viết ptmp chứa điểm M và song song với mp (Q).Ví dụ: Viết ptmp đi qua O và song song với mp .
Ví dụ: Viết ptmp đi qua và song song với mặt phẳng .
Dạng 3: Viết ptmp chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Ví dụ: Viết ptmp đi qua và vuông góc với đường thẳng 	(Đáp số )
Dạng 4: Viết ptmp chứa điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R).
Ví dụ: Viết ptmp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng (Đáp số )
Dạng 5: Viết ptmp đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.Ví dụ: Viết pt mặt phẳng đi qua (ĐS: ).
Dạng 6: Viết ptmp chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q).
Ví dụ: Viết ptmp đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng (ĐS: )
Dạng 7: Viết ptmp chứa điểm M, vuông góc với mp(Q) và song song với đường thẳng d.
Ví dụ: Viết ptmp đi qua , vuông góc với mp(Q): và song song với đường thẳng d: (ĐS: ).
Ví dụ: Viết ptmp đi qua , vuông góc với mp(Q): và song song với đt d: (ĐS: ).
Dạng 8: Viết ptmp chứa điểm A và đường thẳng d (A không thuộc d).VdViết ptmp qua đt và qua điểm(ĐS: 
Dạng 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Viết ptmp chứa a và song song với b.
Ví dụ (A-2002): Cho hai đường thẳng . Viết ptmp (P) chứa đường thẳng và song song với . (ĐS: 2x-z=0).
Dạng 10: Viết ptmp đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng.Ví dụ: Viết ptmp đi qua hai điểm và song song với trục Oz. (ĐS: x-4y+3=0).
Ví dụ: Viết ptmp (P) đi qua hai điểm và song song với đường thẳng . (ĐS: )
Dạng 11: Cho đường thẳng d không vuông góc với mp(Q). Viết ptmp chứa d và vuông góc với mp(Q).
Ví dụ: Viết ptmp qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng . (ĐS: )
Dạng 12: Viết ptmp đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng.
Ví dụ: Viết ptmp đi qua và song song với các đường thẳng (ĐS: ).
Ví dụ: Viết ptmp đi qua gốc tọa độ và song song với các đường thẳng . (ĐS: )
Dạng 13: Viết ptmp chứa hai đường thẳng cắt nhau.Ví dụ: Cho hai đường thẳng .
Chứng minh rằng cát nhau. Viết ptmp qua . (ĐS: ).
Dạng 14: Viết ptmp đi qua hai đường thẳng song song.
Ví dụ: Viết ptmp qua hai đường thẳng song song . (ĐS: ).
Ví dụ: Cho 2 đường thẳng và có phương trình: , . Lập ptmp (P) chứa (d) và 
.(ĐS:: x + y – 5z +10 = 0)
Dạng 15: Viết ptmp trung trực của đoạn thẳng.Ví dụ: Cho hai điểm . Viết ptmp trung trực của đoạn thẳng AB.
Dạng 16: Viết ptmp đi qua G và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.
Ví dụ: Viết ptmp đi qua G(1;2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. (ĐS: 6x+3y+2z-18=0)
Dạng 17: Viết ptmp đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Ví dụ: Viết ptmp đi qua điểm H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. (ĐS: 2x+y+z-6=0)
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (ptđt)
Dạng 1: Viết ptđt d chứa điểm M và vuông góc với hai đường thẳng a, b cho trước.
Ví dụ: (B-2013). Cho và . Viết ptđt đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và . 
(ĐS: ).
Ví dụ: Viết ptđt đi qua M(1;2;3) và vuông góc với hai đường thẳng . (ĐS: ).
Ví dụ: Viết ptđt đi qua và vuông góc với hai đường thẳng . (ĐS: ).
Dạng 2: Viết ptđt d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mp(P).
Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng (Oxy). (ĐS: )
Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng 2x+y+z-8=0. (ĐS: )
Ví dụ: Cho , mp(P): . Viết pt hình chiếu vuông góc của đường thẳng OB trên mp(P). (ĐS: )
Dạng 3: Viết ptđt d đi qua A, cắt cả hai đường thẳng a và b.
Cách giải: Viết ptmp (A,a). Gọi . Suy ra 
Ví dụ: Viết ptđt đi qua và cắt hai đường thẳng . (ĐS: ).
Ví dụ: Viết ptđt đi qua và cắt hai đường thẳng . 	(ĐS: ).
Dạng 4: Viết ptđt d song song với đường thẳng , cắt cả hai đường thẳng a và b. 
Ví dụ: Viết ptđt d song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng . (ĐS: ).
Ví dụ: Viết ptđt d song song với đường thẳng và cắt cả hai đường thẳng . (ĐS: ).
Dạng 5: Cho các mặt phẳng (P), (Q), các đường thẳng . Viết ptđt song song với các mặt phẳng (P), (Q) và cắt các đường thẳng .
Ví dụ: Viết ptđt song song với các mặt phẳng và cắt các đường thẳng . (ĐS: )
Dạng 6: Viết ptđt d qua A, vuông góc với đương thẳng a và cắt đường thẳng b.
Ví dụ: Viết ptđt d qua , vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng . (ĐS: )
Dạng 7: Viết ptđt d chứa điểm A, song song với mp(P) và cắt đường thẳng b.
Ví dụ: Viết ptđt qua song song với mp(P):và cắt đường thẳng . (ĐS: )
Dạng 8: Viết ptđt d nằm trong mp(P) cắt cả hai đường thẳng a, b.
Ví dụ: Viết ptđt d nằm trong mp(P): và cắt cả hai đường thẳng (ĐS: )
Dạng 9: Cho mp(P), đường thẳng d. Gọi . Viết ptđt nằm trong mp(P) đi qua điểm A và vuông góc với d.
Ví dụ(A-2005): Cho . Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết ptđt nằm trong (P), biết đi qua A và vuông góc với d. (ĐS: ).
Ví dụ: Cho . Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết ptđt nằm trong (P), biết đi qua A và vuông góc với d.	 (ĐS: ).
Dạng 10: Viết pt đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.Ví dụ: Viết pt đường vuông góc chung của hai đường thẳng:
 (ĐS: )
Dạng 11: Viết ptđt vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng .Ví dụ: Viết ptđt vuông góc với mp(P): và cắt các đường thẳng
. (ĐS: ).
Dạng 12: Cho điểm A và đường thẳng d. Viết ptđt đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Ví dụ (B-2004): Viết ptđt đi qua , d: . Viết ptđt đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. (ĐS: )
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (ptmc)
Dạng 1: Viết ptmc qua bốn điểm.
Ví dụ: Viết ptmc đi qua bốn điểm . (ĐS: ).
Dạng 2: Viết ptmc có tâm I và tiếp xúc với mp(P).
Ví dụ: Viết ptmc có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mp(Oyz). Tìm tọa độ tiếp điểm.(ĐS: . Tiếp điểm (1;0;3)).
Ví dụ: Viết ptmc có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mp . (ĐS: ).
Ví dụ: Viết ptmc có tâm là và tiếp xúc với mp . (ĐS: ).
Dạng 3: Viết ptmc tâm I, tiếp xúc với đường thẳng d. Tìm tọa độ tiếp điểm.Ví dụ: Viết ptmc tâm và tiếp xúc với đường thẳng (ĐS: Tiếp điểm (0;1;2); 
ptmc ).
Dạng 4: Viết ptmc tâm I, cắt đường thẳng d tại A, B sao cho AB=k (k>0).
Ví dụ (A-2010): Cho A(0;0;-2), đường thẳng . Tính khoảng cách từ A đến . Viết ptmc tâm A, cắt tại hai điểm B, C sao cho BC=8.	(ĐS: d=3; ptmc )
Ví dụ (CĐ-2011): Cho . Viết ptmc có tâm và cắt d tại hai điểm A, B sao cho . 
(ĐS ).
Dạng 5: Viết ptmc tâm I cắt mp(P) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r. Tìm tâm H của đường tròn giao tuyến.
Ví dụ: Viết ptmc tâm và cắt mp theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng . 
(ĐS: ).
Ví dụ (D-2012): Cho mp (P): và I(2;1;3). Viết ptmc tâm I và cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng 4.
(ĐS: ).
Dạng 6: Viết ptmc có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mp(P) tại H. 
Ví dụ: Viết ptmc có tâm I thuộc và tiếp xúc với mp(P): tại . (ĐS: ).
Dạng 7: Viết ptmc có tâm I thuộc đường thẳng a, tiếp xúc với đường thẳng d tại H.
Ví dụ: Viết ptmc có tâm I thuộc a: và tiếp xúc với đường thẳng d:tại H(3;1;0). 
Hướng dẫn: Viết ptmp (P) chứa H và vuông góc với d. Tâm . Ptmc: ).
Dạng 8: Viết ptmc có bán kính R tiếp xúc với mp(P) tại M.
Ví dụ: Viết ptmc có bán kính R=7 và tiếp xúc với mặt phẳng tại .(ĐS: Tâm (4;-12;6), (0;0;0) ).
Dạng 9: Viết ptmc có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ: Viết ptmc có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: (ĐS: Đoạn vuông góc chung AB, với A(7;3;9), B(3;1;1). Ptmc: .
Dạng 10: Viết ptmc có tâm I thuộc d và qua hai điểm A, B.
Ví dụ: Cho d: và hai điểm . Viết ptmc đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. 
(ĐS: ).
Dạng 11: Viết ptmc có tâm I thuộc mp(P), tiếp xúc với mp(Q) tại M.
Ví dụ: Viết ptmc có tâm I thuộc mp(P): , tiếp xúc với mp(Q): tại . 
(ĐS: ).
Dạng 12: Viết ptmc tiếp xúc với hai mặt phẳng song và biết 1 tiếp điểm.
Ví dụ: Viết ptmc tiếp xúc với hai mặt phẳng song nếu là tiếp điểm của mặt cầu với một trong các mặt phẳng này. (ĐS: )
Bài tập bổ trợ: Tính bán kính R của mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng (ĐS: R=5)
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ MẶT CẦU
Cho mặt phẳng (P): và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3.
	 (S): ; 
Cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng .
(ĐS: (S): hoặc (S): )
	Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
	· Gọi I là tâm của (S). I Î d Þ . Bán kính R = IA = .
	Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: Û Û .
	Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). Vậy phương trình mặt cầu (S): .
Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0).
ĐS: .
Cho điểm , đường thẳng D: và mặt phẳng (P): . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và tiếp xúc với (S).
	· Ta có: . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: 
	Suy ra bán kính mặt cầu: Þ 
	Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với tại điểm .
	Do đó: (Q) chứa và tiếp xúc với (S) đi qua và có VTPT 
	Þ PT mặt phẳng (Q): .
Cho đường thẳng và 2 mặt phẳng (P): và (Q): . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
ĐS: .
	Câu hỏi tương tự:
	a) , , .
	ĐS: 
Cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0.	(ĐS): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0)
Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
	· Ta tính được . Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này.
	Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là , bán kính là .
	Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID
Câu 9: Cho các điểm và mặt phẳng . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng và đi qua ba điểm .	(ĐS:)
Câu 10(D-2014). Cho mp(P) : và mặt cầu . Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C). (ĐS )
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
Bài 1: Cho mặt cầu (S) có phương trình: .
 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ , vuông góc với mặt phẳng và tiếp xúc với (S).
(ĐS:(P): hoặc (P): .)
Bài 2: Cho đường thẳng d: và mặt cầu (S): . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
	ĐS: (P): 	hoặc 	(P): .
Bài 3: Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P):. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). 
	Hướng dẫn · (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT .
	PT (Q) đi qua M có dạng: 
	(Q) tiếp xúc với (S) Û 	(*)
	(**)
	Từ (*), (**) Þ Û 
	· Với . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 
	· Với . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 
	Câu hỏi tương tự:
	a) Với , .
	ĐS: hoặc .
Bài 4: Cho mặt cầu (S): . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính .
	Hướng dẫn: · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0.
	Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
	Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a0) Þ (P): y – 2z = 0.
Bài 5: Cho mặt cầu (S): và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính .
	ĐS: (P): (P): 
Bài 6: Cho hai đường thẳng , và mặt cầu (S): . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1.
	Hướng dẫn:· (P): hoặc (P): 
Bài 7: Cho mặt cầu (S) có phương trình và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng .
ĐS: (b) có phương trình .
	Câu hỏi tương tự:
	a) , , .
	ĐS: 
Bài 8: Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu tại điểm (ĐS: ).
Bài 9: Chứng minh rằng mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Tìm tọa độ tiếp điểm. (ĐS(2;-6;3)).
Bài 10: Tìm ptmp tiếp xúc với mặt cầu tại điểm (ĐS: )
Bài 11: Viết pt các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm của mặt cầu với đường thẳng 
(ĐS: )
Bài 12: Viết ptmp tiếp xúc với mặt cầuvà song song với mặt phẳng (ĐS: )
Bài 13: Viết ptmp tiếp xúc với mặt cầuvà song song với mặt phẳng (ĐS: )
Bài 14: Viết ptmp tiếp xúc với mặt cầuvà song song với các đường thẳng 	(ĐS: )
KHOẢNG CÁCH
Câu 1:Trên trục Oy, tìm điểm có khoảng cách đến mặt phẳng bằng 4. (ĐS: (0;7;0),(0;-5;0).
Câu 2: Trên trục Oz, tìm điểm cách đều điểm và mặt phẳng . (ĐS: 
Câu 3: Trên trục Ox, tìm điểm cách đều hai mặt phẳng . (ĐS: ).
Câu 4: Viết ptmp song song và cách mặt phẳng một khoảng d=5.
(ĐS: ).
Câu 5: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
a) (ĐS:2)	b) (ĐS: 3,5).
Câu 6: Trong mỗi trường hợp sau, tính khoảng cách d từ điểm cho trước đến mặt phẳng cho trước:
a) . (ĐS: d=3)
b) (ĐS: d=1)
c) (ĐS: d=0)
d) (ĐS: d=2)
Câu 7: Tính khoảng cách d từ điểm đến mặt phẳng đi qua ba điểm (ĐS: d=4).
Câu 8: Hai mặt của một hình lập phương nằm trong các mặt phẳng . Tính thể tích của hình lập phương. (ĐS: V=8).
viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng .	(ĐS: (P): ; )
Cho đường thẳng D : và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.	(ĐS:;.)
	Câu hỏi tương tự:
Với .	(ĐS: hoặc )
Cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. (ĐS: ).
Cho các điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng .	(ĐS: ; )
Cho tứ diện ABCD với , , , . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
	 (P): ;.
	Câu hỏi tương tự:
	a) Với .	ĐS: hoặc .
Cho các điểm , , . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và gốc tọa độ sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến .	(ĐS;)
	Câu hỏi tương tự:
	 Với .	ĐS: hoặc .
Cho ba điểm , , và mặt phẳng (P): . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho . 
	· PT có dạng: , với 
	Do nên: (1);	 nên (2)
	Þ Þ 
	Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : 
	TH1 : . 
	Chọn Þ : 
	TH2 : . 
	Chọn Þ : 
	Vậy: : hoặc : 
Cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình , . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với và , sao cho khoảng cách từ đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ đến (P).
	· Ta có : đi qua và có VTCP ; đi qua và có VTCP là 
	Gọi là VTPT của (P), vì (P) song song với và nên 
	Þ Phương trìnht (P): .
	 ; 
	+ Với + Với 
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm , và tiếp xúc với mặt cầu (S): .	(ĐS:;)
Cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
	· Ta có . Do đó xảy ra nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có .Vậy phương trình mặt phẳng (P): ..
Cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
	· Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có Þ HI lớn nhất khi . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm VTPT Þ (P): .
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
	· Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì hoặc . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có và .
	Mặt khác 
	Trong (P), ; do đó . Lúc này (P) ở vị trí (P0) ^ IA tại A.
	Vectơ pháp tuyến của (P0) là , cùng phương với .
	Phương trình của mặt phẳng (P0) là: .
Câu 14: Cho . Viết ptmp chứa d sao cho lớn nhất. (ĐS: ).
Câu hỏi tương tự:
	a) .	ĐS: 
	b) .	ĐS: 
Câu 15: Cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. (ĐS: )
TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng .	(ĐS: (1;4;-7)).
Bài 2: Tìm điểm Q đối xứng với điểm qua mặt phẳng .().
Bài 3: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song .(ĐS: ).
Bài 4: Tìm điểm Q đối xứng với điểm qua mặt phẳng đi qua các điểm . (ĐS: ).
Bài 5: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng 	(ĐS: (3;-2;4)).
Bài 6(theo B-2014): Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng (ĐS: )
Bài 7: Tìm điểm Q đối xứng với điểm qua đường thẳng đi qua hai điểm (ĐS: (4;1;-3)).
Bài 8 (CĐ-2013): Cho . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d. (ĐS: (2;-3;5)).