Toán - Khảo sát hàm số: Sự tương giao

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO
Dạng 1: Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3: 
A. Kiến thức cơ bản
	· Cho hai đồ thị (C1): và (C2): . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
 	Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
	· Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình (1)
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
	1. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.
	Û 	 Û Phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất 
	2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 2 điểm chung phân biệt.
	Û (C) tiếp xúc với Ox Û Û Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm 
	3. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 3 điểm chung phân biệt.
	Û 	Û Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
	4. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
	Û 	Û Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.
	5. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.
	Û Û Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.
	6. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.
	 lập thành một cấp số cộng Û 
	– Giả sử (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
	– Viết (1) dưới dạng: Û 
	Û 
	– lập thành cấp số cộng Û Þ là 1 nghiệm của (1).
	– Thế vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
	Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
	7. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân.
	 lập thành một cấp số nhân Û 
	– Giả sử (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân.
	– Viết (1) dưới dạng: Û 
	Û 
	– lập thành cấp số nhân Û Þ là 1 nghiệm của (1).
	– Thế vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
	Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
Cho hàm số có đồ thị (Cm)	
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: 
	Xét hàm số: 
	 Ta có bảng biến thiên:
	Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất .
Cho hàm số (Cm) ( m là tham số). 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
	· Ta có: 
	+ Khi m = 0 thì (1) đồng biến trên R thoả yêu cầu bài toán.
	+ Khi thì (1) có 2 cực trị . Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi 
	Kết luận: khi thì đồ thị (Cm) cắt Ox tại duy nhất một điểm.
	Câu hỏi tương tự:
	a) 	ĐS: .
Cho hàm số có đồ thị (Cm)	
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
	· ; .
	+ Nếu thì Þ hàm số đồng biến trên R Þ đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất Þ thoả mãn YCBT.
	+ Nếu thì hàm số có các điểm cực trị ( là các nghiệm của PT )
	Þ .
	Lấy y chia cho y¢ ta được: .
	Þ PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
	Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất Û 
	Û 
	Û Û (vì m ¹ 1) Û .
	Kết luận: .
Cho hàm số có đồ thị (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
	· Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị
	Þ có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt Û 
	Khi đó . 
	 (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt yCĐ = 0 hoặc yCT = 0
	Ta có: 	+ (loại)
	+ 
	Vậy: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để đường thẳng (D): cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
	· Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): 
	Û 
	(D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm thỏa mãn: 
	Û Û Û . 	Vậy:  ; .
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û 
Cho hàm số ( là tham số) (1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
	· Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Û (*) 
	+ + + 
	Suy ra: (*) 
Cho hàm số có đồ thị .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.
	2) Tìm m để cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15.
	· YCBT Û (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa .
	Ta có: (*) Û 
	YCBT Û có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và thỏa 
	Câu hỏi tương tự: 
	a) Với 
Cho hàm số , trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
	Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
	Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
	Đường thẳng đi qua điểm uốn của đồ thị (C) 
Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: 	(1)
	Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là ta có: 
	Để lập thành cấp số cộng thì là nghiệm của phương trình (1)
	 . Thử lại ta có là giá trị cần tìm.
	Câu hỏi tương tự:
	a) .	ĐS: .
Cho hàm số có đồ thị (Cm), trong đó là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi .
	2) Tìm để (Cm) cắt đường thẳng d: tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: 
	Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: 
	Suy ra: 
	Vì nên ta có: 
	Đk đủ: Với , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
	Vậy: .
	Câu hỏi tương tự:
	a) , .	ĐS: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 
	Û .
	(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D Û 	(*)
	Với điều kiện (*), gọi là các nghiệm của (1) thì .
	Ta có: = với .
	Dấu "=" xảy ra Û . Vậy giá trị m cần tìm là . Khi đó .
Cho hàm số 	(C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số. 
	2) Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: Û 
	d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û (1) có 2 nghiệm phân biệt 
	Û . Khi đó . 
	Vì B là trung điểm của AC nên (2). Mặt khác: 	(3)
	Từ (2) và (3) suy ra .
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
	2) Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm O(0; 0), A, B phân biệt. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục tung.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: Û 
	d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0; 0), A, B Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
	Û . Vì I là trung điểm của AB nên 
	Þ I Î D: (D // Oy).
Cho hàm số (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
	· PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d: (1)
	Û 
	YCBT Û (1) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 Û (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1
	Xét PT (2) ta có: Þ (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt .
	Do đó: (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1 Û Û (*)
	Đặt . Khi đó (2) Û 
	(*) Û (3) có 2 nghiệm dương phân biệt Û (vô nghiệm)
	Kết luận: không có giá trị m thoả YCBT.
Cho hàm số . 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho và .
	· Với Þ . PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng: .
	PT hoành độ giao điểm của (C) và d: Û 
	d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û . Khi đó toạ độ của thoả hệ phương trình: 
	Ta có: (1) Þ ; (2) Þ 
	BC = Û Û . Vậy .
Cho hàm số (C) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
	2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A(0; 1), B, C phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: Û 
	d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
	Û (*). Khi đó giả sử . 
	B, C đối xứng nhau qua đường thẳng Û Û Û 
	Û (không thoả (*)). Vậy không có giá trị m thoả YCBT.
Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
	2) Cho đường thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng .
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: 
	(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
	(*)
	Khi đó: .	Mặt khác: . Do đó:
	(thỏa (*)). Vậy .
	Câu hỏi tương tự:
	a) , , . ĐS: 
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng .
	· Ta có: Û 
	PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: 
	 hoặc 
	 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 	(*)
	Khi đó các giao điểm là .
	 (thoả (*))
	Câu hỏi tương tự:
	a) .	ĐS: .
Cho hàm số 	(Cm) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để đường thẳng cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt , B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng .
	· Phương trình hoành độ giao điểm là: 	(1)
	d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; –2), B, C Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
	Û 	(*). Giả sử . 
	Khi đó: . Ta có: 
	 Û (thoả (*)).
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
	· Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng .
	PT hoành độ giao điểm của (C) và D: 
	D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û có 2 nghiệm phân biệt khác 1 Û 
	 Þ Û 
	Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: .
Cho hàm số (m là tham số) 	(1)
	1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
	2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
	· PT hoành độ giao điểm của (1) và d: 
	d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û 
	Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ 
	Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là và tại C là 
	Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û Û 
	 Û 
Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û 
	Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ 
	Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là và tại P là 
	Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û Û 
	 Û 
Cho hàm số (C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
	· PT đường thẳng (d): 
	+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
	Û 	(*)
	+ Theo định lí Viet ta có: 
	+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau
	Û Û 	(thoả (*))
Cho hàm số (C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
	· PT hoành độ giao điểm (1) Û 
	(1) luôn có 1 nghiệm () Þ (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
	(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 
	Û 	(*)
	Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û Û (thoả (*))
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
	· Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m. 
	PT hoành độ giao điểm của (C) và d: Û(1)
	Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có 2 nghiệm ( là hoành độ của A, B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình: Û (2)
	Đồng nhất (1) và (2) ta được:	 Û . Kết luận: d: .
Cho hàm số 	(1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
	2) Gọi là đường thẳng đi qua và có hệ số góc . Tìm để cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt sao cho tam giác OBC có trọng tâm ( là gốc toạ độ).
	· PT đường thẳng D: . PT hoành độ giao điểm của (C) và D:
	 Û 
	D cắt (C) tại ba điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác Û 
	Khi đó toạ độ các giao điểm là: , , .
	Do đó tọa độ trọng tâm Û (thoả điều kiện).
Dạng 2: Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương: 
A. Kiến thức cơ bản
	Số giao điểm của (C): với trục Ox = số nghiệm của (1)
	Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
	· (1) vô nghiệm	Û 
	· (1) có 1 nghiệm Û 
	· (1) có 2 nghiệm Û 
	· (1) có 3 nghiệm Û 
	· (1) có 4 nghiệm Û 
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
	1. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại k điểm phân biệt.
	Dựa vào các trường hợp nêu trên.
	2. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
	Û (1) có 4 nghiệm phân biệt.
	Û (2) có 2 nghiệm dương phân biệt (giả sử )
	– Khi đó các nghiệm của (1) là: .
	– Vì lập thành cấp số cộng nên .
	– Giải điều kiện: . 
Cho hàm số có đồ thị là 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .
	2) Định m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
	· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: (1)
	Đặt . Khi đó: (1) Û (2) Û 
	YCBT Û (1) có 4 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm dương phân biệt Û 
	Û 
Cho hàm số có đồ thị là .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi .
	2) Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm: 	(1)
	Đặt thì (1) trở thành: .
	Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phải có 2 nghiệm dương phân biệt 
	 (*)
	Với (*), gọi là 2 nghiệm của , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: 
	 lập thành cấp số cộng 
	 (thoả (*))
	Vậy 
	Câu hỏi tương tự: 
	a) Với 	ĐS: .
Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng : 
	 Û Û 
	Đường thẳng cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2
	Û Û 
Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn .
	· Xét phương trình hoành độ giao điểm: 	(1)
	Đặt thì (1) trở thành: .
	(Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 
	 có 2 nghiệm phân biệt sao cho: 
	Vậy: .
Cho hàm số (Cm), với m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi ..
	2) Chứng minh đồ thị (Cm) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi .
	· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: (1)
	Đặt , (1) trở thành : 	(2)
	Ta có : và với mọi . Nên (2) có nghiệm dương
	Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt.
Cho hàm số (m là tham số) 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
	· Xét PT hoành độ giao điểm: 
	Ta có: (với mọi x và mọi m ) Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi giá trị của m.
	Mặt khác g(0) = –1 0. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0. 
	Vậy đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Cho hàm số (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	2) Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành phần phía trên trục hoành có diện tích bằng .
	· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: Û 
	Þ (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt Û m ¹ 0 (*).
	Khi đó: diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành phần phía trên trục hoành là: Û Û (thoả (*)).
Cho hàm số (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	2) Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần dưới trục hoành.
	· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: (1) 
	Û 
	(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Û (1) có 4 nghiệm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm dương phân biệt Û 	(*).
	Giả sử (2) có nghiệm . Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: . Do tính đối xứng của (Cm) nên ta có:
	 Û 
	Suy ra là nghiệm của hệ: Û .
	Đối chiếu điều kiện (*) ta suy ra .
Cho hàm số (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	2) Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ lần lượt là () sao cho tam giác ACK có diện tích , biết .
	· PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: (1) .
	Đặt . (1) trở thành: (2)
	(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 
	Û Û 
	Khi đó (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự là: , với .
	Ta có: (3), với .
	Khi đó: (3) Û Û Û Û .
Dạng 3: Sự tương giao của đồ thị hàm số: 
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng d: luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 
	 Û 
	Do (1) có và 
	nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
	Ta có: nên 
	Suy ra AB ngắn nhất Û nhỏ nhất Û . Khi đó: .
	Câu hỏi tương tự: 
	a) 	ĐS: 	b) 	ĐS: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
	· Phương trình đường thẳng 
	d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N có 2 nghiệm phân biệt khác .
	Û có 2 nghiệm phân biệt khác Û 
	Mặt khác: I là trung điểm MN với .
	Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là với .
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho .
	· Phương trình đường thẳng 
	Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm phân biệt sao cho 	(a)
	 (I). Ta có: 
	(I) có 2 nghiệm phân biệt Û có 2 nghiệm phân biệt.
	Û 
	Ta biến đổi (a) trở thành: (c)
	Theo định lí Viet cho (b) ta có: thế vào (c) ta có phương trình: 	
	.
	Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
Cho hàm số (C