Toán học - Phương pháp giải hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ	
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I. Hệ đối xứng loại 1:
* Có dạng: với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)
* Biến đổi hệ theo x+y và x+y
Đặt S = x + y và P = xy
Biến đổi hệ theo S, P và giải hệ tìm hai ẩn đó 
Với mỗi nghiệm (S;P) ta giải pt X2 – SX + P = 0 để tìm x, y
Chú ý: với mỗi bài toán phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y
Ví dụ 1. Giải hệ 
a. 	b. 	c. 
Giải:
a. Hệ 
Đặt 
Hệ trở thành 
* Với ta có 
suy ra x, y là nghiệm của phương trình 
* Với ta có 
suy ra x, y là nghiệm của phương trình 
Do đó, hoặc 
Vậy nghiệm của hệ là .
b. Hệ 
* Với ta có x, y là nghiệm của phương trình 
Do đó, hoặc 
* Với ta có x, y là nghiệm của phương trình 
Do đó, hoặc 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là .
c. Điều kiện: 
Đặt 
Hệ trở thành 
Đặt 
Hệ trở thành 
* Với ta có 
Suy ra 
* Với 
Vậy nghiệm của hệ là 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (x, y Î R).
	( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2012)
Giải:
Cách 1:
 Đặt t = -x 
Hệ trở thành . Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thành 
. Vậy nghiệm của hệ là 
Cách 2:
 . Đặt u = x; v = y + 
Hệ đã cho thành 
Xét hàm f(t) = có f’(t) = < 0 với mọi t thỏa çtç£ 1
Þ f(u) = f(v + 1) Þ u = v + 1 Þ (v + 1)2 + v2 = 1 Þ v = 0 hay v = -1 Þ hay 
Þ Hệ đã cho có nghiệm là .
II. Hệ đối xứng loại 2:
1. Hệ đối xứng loại 2 là hệ có dạng
2. Cách giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được pt dạng
Ví dụ 1. Giải hệ 
Giải:
Điều kiện:
Hệ 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được 
	* Với y = x thay vào (1) ta được 
	* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được 
Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
Ví dụ 2.Giải hệ: (*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện: 
 Ta có 
*Với x=y thay vào (4) ta được: 
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được 
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2:
Đặt với 
Hệ trở thành 
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được 
* Với u = v thay vào (1) ta được 
Ta có hệ: 
* Với u=1-v thay vào (1) ta được: 
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
III. Hệ phương trình đẳng cấp:
Xét hệ đẳng cấp bậc hai: 
Cách giải: 
+ Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không.
+ Với x0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t. giải t suy ra x, y.
Cách khác:
+Khử các số hạng tự do để đưa phương trình về dạng 
+ Đặt x = ty, khi đó pt trở thành 
Xét y = 0 thay vào hệ tìm x
Xét tìm nghiệm (nếu có) sau đó tìm được x,y.
Ví dụ 1. Giải hệ: 
Giải
Cách 1.
Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.
Với x0 đặt y = tx ta được
Với t=-2 ta có: 
Với t=- ta có: 
Cách 2: Hệ đã cho tương đương với 
Đặt y=tx ta có: hoặc t=-2 hoặc t=-
Với x=0 hệ trở thành: hệ vô nghiệm
Với t=-2 ta có: 
Với t=- ta có: 
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
Giải:
Ta có x=0 không thỏa hệ
Đặt y=tx ta có: 
Xét hàm số ta có: 
Bảng biến thiên
t
f/(t)
 - +
f(t)
Từ bảng biến thiên, suy ra đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số 
 tại hai điểm có hoành độ 
khi đó phương trình suy ra 
Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm.
IV. Phương pháp thế, cộng đại số:
1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:
Giải: 
* Khi thay vào hệ ta được không thỏa hệ
* Khi , từ 
Thay vào (1) ta được: 
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm:
Ví dụ 2: Cho hệ: 
a/ Giải hệ khi a=1
b/ Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt
c/ Gọi (x1 ,y1); ( x2 ,y2) là các nghiệm của hệ đã cho
Chứng minh rằng: (x2 - x1)2+ ( y2 –y1)2 1
Giải:
Từ (2) x=a-ay thay vào (1) ta được
(3)
a/ với a=1, ta có (3) trở thành: 2y2-y=0
 Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;0), ()
b/ Hệ có 2 nghiệm phân biệtcó 2 nghiệm phân biệt
c/ Khi thì hệ có 2 nghiệm (x1;y1), (x2;y2)
trong đó y1,y2 là nghiệm của (3) nên thỏa mãn 
 lại có 
Khi đó, 
Ví dụ 3. Giải hệ: 
Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành: 
*Khi , 
Hệ 
Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 4. Giải hệ 
Giải:
Từ (2) (3)
Thay vào (1) ta được: 
* Với x = 0 vào (3) ta được Vô nghiệm
* Với thay vào (3) ta được: 
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: 
Ví dụ 5. Giải hệ: 
Giải:
Hệ đã cho 
Thay (2) vào (1) ta được: 
* Với y = 0 thay vào (2) ta được x = 0 hoặc x = 1
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (0; 0), (1; 0).
* Với thay vào (2) ta được y = 0 hoặc y = -1.
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (1; 0), (1; -1)
* Với thay vào (2) ta được 
Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm: (0;-1), (1; 0)
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: (0; 0), (1; 0), (0; - 1), (1; -1)
Ví dụ 6. Giải hệ sau: 
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2008)
Giải:
Hệ đã cho 
Từ (2) thay vào (1) ta được: 
* Với x = 0 thay vào (2) ta được 0 = 6
Suy ra hệ vô nghiệm.
* Với x = - 4 
Vậy nghiệm của hệ là .
Ví dụ 7. Giải hệ: 
Giải:
Ta có 
* Với x = 0 thay vào hệ thấy không thỏa hệ.
* Với ta có 
Thay vào (1) ta được: 
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình sau 
( ĐỀ DỰ BỊ TSĐH KHỐI A NĂM 2006)
Giải:
Từ (1) thay vào (2) ta được 
* Với y = 0 thay vào (1) ta thấy hệ vô nghiệm.
* Với (*)
Đặt t = x + y, (*) trở thành (4 – t)( t – 2) – 1 = 0
Suy ra x + y = 3 thay vào (1) ta được 
Vậy nghiệm của hệ là 
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình sau 
Giải:
* Thay x = 0 vào hệ ta thấy x = 0 không thỏa hệ.
* Với từ (1) (*) thay vào (2) ta được
+ Khi x = - 1 thay vào (*) ta được 
+ Khi thay vào (*) ta được 
Vậy nghiệm của hệ là 
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình 
Giải :
Hệ 
Thay (2) vào (1) ta được x3 – 7xy2 + 3x2y + 3y3 = 0 (3)
* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm 
* Với ta có 
(3) 
 Đặt t = x/y phương trình (4) trở thành 
t3 + 3t2 – 7t + 3 = 0 
Với t = 1 ta có x = y hệ có nghiệm là (), ()
Với t = hệ có nghiệm là 
Với t = - 2 + hệ có nghiệm là 
2. Phương pháp cộng đại số:
Ví dụ 1. Giải hệ 
Giải:
Điều kiện:
Hệ 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được 
	* Với y = x thay vào (1) ta được 
	* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được 
Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )
Ví dụ 2. Giải hệ: (*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện: 
 Ta có 
*Với x=y thay vào (4) ta được: 
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được 
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2:
Đặt với 
Hệ trở thành 
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được 
* Với u = v thay vào (1) ta được 
Ta có hệ: 
* Với u=1-v thay vào (1) ta được: 
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:
Giải: 
Hệ đã cho 
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: (*)
Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x
* Với thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)
* Với y = 2x thay vào (1) ta được: 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: và 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 
Giải:
Điều kiện: x-1, y1
Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ
Đặt u=, v =. 
Ta có hệ
 là nghiệm của hệ
Ví dụ 5. Giải hệ sau: 
Giải:
Điều kiện: 
Hệ 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được 
Thay vào phương trình (2) ta được x = 2, suy ta y = 2
Vậy nghiệm của hệ là (2; 2)
Ví dụ 6. Giải hệ sau: 
Giải:
Điều kiện: , 
Trừ (1) và (2) ta được: thay vào (1) ta được
 suy ra y = 4 (thỏa mãn hệ)
Vậy nghiệm của hệ là (4; 4) 
V. Phương pháp đặt ẩn phụ:
1. Đặt ẩn phụ bằng cách nhóm các hạng tử , sử dụng hằng đẳng thức:
Ví dụ 1. Giải hệ 
 Giải:
Hệ đã cho 
Đặt 
Hệ trở thành hoặc 
 Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
Ví dụ 2. Giải hệ: 
Giải:
Hệ 
Đặt: u= và v=y2+4y
Hệ trở thành: 
Ví dụ 3. Giải hệ: (TS K A 2008)
Giải:
Ta có: (2) 
Ta tìm cách biến đổi (1) về pt có chứa và 
Ta có (1) 
Đặt và hệ trở thành
Với u=0, v=- ta có hệ
Với u=- ta có hệ:
Ví dụ 4. Giải bất phương trình 
 ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007)
Giải:
Hệ đã cho Û 
	Đặt u = - x2 + xy, v = x3y
	(I) thành 
	 Do đó hệ đã cho tương đương:
Ví dụ 5. Giải hệ 
Giải:
Hệ 
Đặt 
Hệ trở thành hoặc 
 Từ đó suy ra nghiệm của hệ là
Ví dụ 6. Giải hệ: (*)
Giải:
Cách 1: Điều kiện: 
 Ta có 
*Với x = y thay vào (4) ta được: 
* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được 
Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4)
Cách 2: Điều kiện: 
Đặt với 
Hệ trở thành 
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được 
* Với u = v thay vào (1) ta được 
Ta có hệ: 
* Với u=1-v thay vào (1) ta được: 
Vậy hệ có nghiệm là (4;4)
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình .
Giải
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình .
Giải
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình .
Giải
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương với: 
Đặt ta có:
.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình .
Giải
Điều kiện . Đặt , ta có: 
 và .
Thế vào (1), ta được:
Suy ra:
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình : 
Giải:
*Hệ đã cho 
*Đặt , 
Hệ trở thành hoặc 
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) .
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình sau: 
Giải:
Điều kiện: 
Hệ đã cho 
Đặt 
Hệ trở thành 
Ta có 
Ví dụ 13. Giải hệ 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Ta có 
Hệ đã cho trở thành 
Từ thay vào (2) ta được 
Khi đó ta có 
Vậy nghiệm của hệ là ( 9; 1).
Ví dụ 14. Giải hệ 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt Suy ra, 
Khi đó hệ trở thành 
Suy ra 
Vậy nghiệm của hệ là (1; 1).
Ví dụ 15. Giải hệ 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Hệ trở thành 
Lấy (1) trừ (2) và cộng (1) cho (2) vế theo vế ta được 
Suy ra, 
Vậy nghiệm của hệ là 
Ví dụ 16. ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2011) 
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 
Giải:
	Hệ 	
Đặt 
	Hệ thành : 
	Đặt 	f(u) =; f/(u) = ;
f/(u)=0 (loại) hoặc 
	u	 + ¥
	f/(u)	 +	 0	 -
	f(u)	
	 – ¥
	Vậy hệ có nghiệm có nghiệm thuộc 
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình (I)
 ( ĐỀ DỰ BỊ 2 KHỐI A NĂM 2007)
Giải:
	(I) Û 
	Đặt u = - x2 + xy, v = x3y
	(I) thành 
	 Do đó hệ đã cho tương đương:
Ví dụ 18. Giải hệ 
Giải:
2) (2) Û .
 Đặt 
	Hệ trở thành Û hoặc 
	Þ ;;;
2. Đặt ẩn phụ bằng cách chia hoặc nhân hai vế của phương trình của hệ cho một biểu thức hoặc chia hai phương trình của hệ:
 Ví dụ 1. Giải hệ: 
Giải:
*Khi x=0 hệ trở thành: 
*Khi , 
Hệ 
vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2009)
Giải:
*Với y = 0 hệ vô nghiệm
* y ¹ 0 hệ Û 
	Đặt a = ; b = Þ Þ
	Ta có hệ là Û 
	Û hay . Vậy hay 
	Û hay (VN) Û hay 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 	(x, y Î R)
 ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2009)
Giải:
ĐK : x ≠ 0
Hệ phương trình tương đương :
	ĐK : x ≠ 0
	Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:
	Vậy 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
Giải :
Điều kiện : 
Hệ 
Đặt 
Hệ trở thành 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được 
* Với u = v thay vào (2) ta được 
 + Khi ta có 
 + Khi ta có 
* Với thay vào (2) ta được 
+ Khi ta có 
+ Khi ta có 
Vậy nghiệm của hệ là (-1 ;-1),(1 ;1), (), ()
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình: , .
Giải:
* Thay y = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.
* Với , ta có: 
Đặt 
Ta có hệ: 
+ Với ta có hệ:.
+ Với ta có hệ: , hệ này vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau: 
Giải:
Điều kiện: 
Hệ đã cho 
Đặt Hệ trở thành 
Từ (1) thay vào (2) ta được
* Với ta có 
* Với ta có 
Ví dụ 7. Giải hệ sau: 
Giải:
Điều kiện: x > 0, y 0.
Hệ 
Đặt 
Hệ trở thành 
Suy ra 
Vậy nghiệm của hệ là ( 1; 0)
Ví dụ 8. Giải hệ 
Giải:
* Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.
* Với hệ 
Đặt 
Hệ trở thành 
Từ (2) thay vào (1) ta được 
* Với ta có 
 hoặc 
* Với ta có 
 hoặc 
Ví dụ 9. Giải hệ 
Giải:
* Ta thấy là nghiệm của hệ.
* Với chia (1) cho (2) vế theo vế ta được 
 (*)
Đặt 
Phương trình (*) trở thành 
+ Khi 
 . Với thay vào (1) ta được 
 . Với thay vào (1) ta được 
+Khi 
 . Với thay vào (1) ta được 
 . Với thay vào (1) ta được 
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình 
Giải :
Hệ phương trình đã cho 
* Với x = 0 hệ đã cho vô nghiệm 
* Với khi đó hệ 
Đặt khi đó hệ trở thành 
Giải hệ với a,b tìm được ta được nghiệm của hệ là (1;4),(1/5;0), (1/3;1), (1/2;2)
Ví dụ 11. Giải hệ 
Giải:
* y = 0 không thỏa hệ. 
* Hệ PT Û 
	Đặt . Ta có hệ Û 
	Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5).
VI. Phương pháp giải một phương trình của hệ:
 Cách giải:
+ Giải một phương trình của hệ, tìm điều kiện ràng buộc của ẩn.
+ Thay vào phương trình còn lại để tìm nghiệm của hệ.
Ví dụ 1. Hãy giải hệ sau: 
Giải:
Ta có (2) 
* Với y=x thay vào (1) ta được
* Với y=2x thay vào (2) ta được
Vậy hệ có 2 nghiệm 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Hệ đã cho trở thành: 
* Với 
* Với 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình (x, y Î R).
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2011)
Giải:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Giải:
Điều kiện: x + y > 0
Ta có 
Thay vào (2) ta được 
* Với x = 1 
* Với x = - 2 
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: (x, yÎ R)
Giải:
ĐK: x + y ³ 0 , x - y ³ 0, y ³ 0
PT(1) Û 
Từ PT(4) Û y = 0 hoặc 5y = 4x
* Với y = 0 thế vào PT(2) ta có x = 9 (Không thỏa mãn đk (3))
* Với 5y = 4x thế vào PT(2) ta có 
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm 
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau 
Giải:
Điều kiện: 
Giải (1): 
Đặt 
Khi đó (1)
Với Thay vào (2) ta được:
Vậy nghiệm của hệ là 
Ví dụ 7. Giải hệ sau: 
Giải:
Điều kiện: 
Ta có (1)
* Với thay vào (2) ta được (3)
Xét hàm số 
Ta có 
Nên f(y) nghịch biến trên đoạn 
Ta lại có y = 1 là nghiệm của (3) 
Suy ra (3) có nghiệm duy nhấy y = 1 
* Với thay vào (2) ta được 
Ví dụ 8. Giải hệ sau: ( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2003)
Giải:
Điều kiện: 
Ta có 
* Với y = x thay vào (2) ta được 
* Với thay vào (2) ta được (*)
Xét hàm số 
Ta có 
Bảng biến thiên
 x 
 f/(x) - 0 + 
 f(x) 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nên phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hệ là 
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình (x, y Î R)
( ĐỀ TSĐH KHỐI DNĂM 2012)
Giải:
	Ta có: Û 
Û hay 
	Û hay 
Û hay hay 
VII. Phương pháp sử dụng đạo hàm:
Kiến thức: Cho phương trình . Khi đó, phương trình (*) có n nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số có n điểm chung.
Cách giải:
+ Đưa hệ về hệ có một phương trình chứa một ẩn hoặc một biểu thức có dạng 
 với m là tham số
+ Tìm điều kiện của ẩn X hoặc của biểu thức X.
+ Dùng đạo hàm để xét tính biến thiên của 
+ Dựa vào bảng biến thiên kết luận về số nghiệm của hệ.
Ví dụ 1. Cho hệ . Tìm các giá trị của m < 0 để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải:
Từ (1), (2) và m 0 và y > 0.
Hệ đã cho 
Ta có: (*).
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Xét hàm số 
Có 
Bảng biến thiên
 x 0 
 f/(x) + 0 - 0 - 
 f(x) 0 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (*) có nghiệm duy nhất 
Đối chiếu với yêu cầu m < 0 ta được m < 0.
Vậy m < 0 thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm duy nhất với mọi a.
Giải:
Điều kiện: .
Từ (1) và (2) 
Hệ đã cho 
Đặt với 
Ta có 
Bảng biến thiên
 x 0 
 - 0 +
 0 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hệ đã cho có nghiệm duy nhất phương trình (*) có nghiệm duy nhất 
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
Giải:
Đặt t = 2x – y , (1) trở thành: 
* Với thay vào (2) ta được: 
Để hệ đã cho có nghiệm thì (3) có nghiệm 
Xét hàm số trên 
Ta có 
Bảng biến thiên: 
 x 0 1 
 - 0 +
 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (3) có nghiệm (a)
* Với thế vào (2) ta được: (4)
Hệ đã cho có nghiệm (4) có nghiệm 
Xét hàm số trên 
 Ta có 
 x 1 2 
 - 0 +
 2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (4) có nghiệm (b)
Từ (a) và (b) suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn 
Ví dụ 4. Cho hệ phương trình: 
Xác định m để hệ có ít nhất một nghiệm (x; y).
Giải: 
Hệ đã cho 
Đặt 
Hệ trở thành 
Từ (1) 
Do nên 
Thế vào (2) ta được (3) 
Hệ đã cho có ít nhất một nghiệm (x; y) có ít nhất một nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
Ta có 
Bảng biến thiên 
 x 4 
 + 0 - 
 16 
Dựa vào bảng biến ta thấy hệ đã cho có ít nhất một nghiệm 
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình 
Xác định m để hệ có nghiệm 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Từ 
Khi đó (2) trở thành : 
Do nên 
Do đó, 
Hệ đã cho có nghiệm phương trình (3) có nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
Ta có 
Bảng biến thiên:
 x 0 
 + 0 - 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thỏa điều kiện bài toán
VIII. Phương pháp hàm số:
Kiến thức: Nếu hàm số đơn điệu và liên tục trên D thì phương trình nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất trên D và với mọi x, y thuộc D.
Cách giải: 
Bước 1: Tìm điều kiện của hệ.
Bước 2.
+ Biến đổi hệ đưa một phương trình của hệ về dạng (*)
+ Chứng minh là hàm số đơn điệu và liên tục trên D.
Suy ra, (*)
+ Ta tìm được điều kiện ràng buộc ẩn này qua ẩn kia.
+ Thay vào phương trình còn lại để tìm nghiệm.
Bước 3. Kết luận
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
Giải:
Từ (2).
Đặt .
Ta có và .
Suy ra, đơn điệu trên đoạn .
Do đó, .
Thay vào (2) ta được .
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: .
Ví dụ 2: Giải hệ sau
Giải:
Điều kiện: 
Từ (2) (*) 
Đặt với .
Ta có 
Laị có 
 ( nhận)
Suy ra, đồng biến trên và nghịch biến trên .
Do (*) nên ta có các trường hợp sau
TH1: 
TH2: 
Như vậy cả hai trường hợp đều dẫn đến x = y, tức là thay vào (2) ta được 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2010)
Giải:
Điều kiện: và .
Ta có (*)
Với 
Ta có , suy ra đồng biến trên R.
Do đó (*)
Thế (3) vào (2) ta được 
+ Ta thấy và không phải là nghiệm của (4).
+ Xét hàm số 
Ta có 
Suy ra hàm số nghịch biến.
Ta lại có , do đó (4) có nghiệm ; suy ra 
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
Giải:
Từ (*)
Từ (2) và 
Ta có 
Với với 
Ta có 
Nên hàm số nghịch biến trên mỗi nữa khoảng và .
Do (*) nên ta có các trường hợp sau
TH 1: 
TH 2: 
	Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: và .
Ví dụ 5:
Cho hệ phương trình: 
Xác định m để hệ có nghiệm.
Giải:
Điều kiện: 
Trừ (1) cho (2) ta được:
 (*) Với với 
Xét hàm số với 
Suy ra hàm số f(t) tăng trên trên .
Do đó, (*).
Thay x = y vào (1) ta được: 
Hệ đã cho có nghiệm (3) có nghiệm 
Xét hàm số 
Bảng biến thiên 
 x -3 - 1 1
 + 0 - 
 2 2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 6. Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực.
Giải:
Điều kiện: 
Đặt t = x + 1 Þ tÎ[0; 2]; ta có (1) Û t3 - 3t2 = y3 - 3y2.
Hàm số f(u) = u3 - 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: 
(1) Û t = y Û y = x + 1
 Do đó, (2) Û 
Đặt Þ vÎ[0; 1] Þ (2) Û v2 + 2v - 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v - 1
Ta có g/(v) = 2v + 2
 (loại)
Bảng biến thiên 
 v 0 1
 +
 2
 -1 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
 -1 £ m£ 2
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: 
Giải:
Điều kiện 
 (2) 
 Xét hàm số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t
 f’(t)= 3t2 + 1 > 0 "t Î R. 
Vậy hàm số tăng trên R
Do đó (2) 
 Û 2 – x = 2y – 1 Û 2y = 3 – x 
 Thay vào (1) ta được: x3 + x – 2 = 0 Û x = 1. 
Vậy nghiệm của hệ là (1;1)
Ví dụ 8. ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007)
Giải hệ phương trình 
Giải:
Đặt u = x - 1, v = y - 1
	(I) thành 
	Xét hàm 	f(x) 
	 f ´(x) 
	Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R.
 Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý )
 Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý
	Do đó hệ (II) 
	Đặt: g(u)
	Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R.
	Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)
	Nên (II) Û u = 0 = v
	Vậy (I) Û x = y = 1.
IX. Các bài tập tự làm:
1. Giải hệ phương trình.
	1/ (Dự bị 1 khối D 2006) :, .
	2/ (Dự bị 2 khối B 2006) :, .
	3/ (Dự bị 2 khối A 2006) : , .
	4/ (Dự bị 1 khối A 2006) : , .
	5/ (Dự bị 1 khối A 2005) : , 
	6/ (Dự bị 2 khối A 2005) : .
	7/ (Dự bị 2 khối A 2007) : .
	8/ ( ĐH KA-2008): , .
	9/ ( ĐH KB-2008): , .
	10/ ( ĐH KD-2008): , .
	11/ ( ĐH KB-2002) 
	12/ (ĐH KD-2002) .
	13/ ( ĐH Khối A -2003) .
	14/ (ĐH KB- 03) ; 
	15/ ( ĐH KA-2006) 
2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm.
	1/ (Dự bị 1 khối B 2007) :Chứng minh rằng hệ phương trình có đúng 
	hai nghiệm thỏa điều kiện x>0, y>0.
	2/ ( ĐH K-D:2007) Tìm m để hệ 
có nghiệm thực .
	3/ (CĐ Khối A+B+D: 2008) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa
	 Điều kiện x.y<0.
	4/ ( ĐH KD-2004) 
 CHÚC BẠN THÀNH CÔNG
 Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
 BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
1. Ñinh nghóa:
	Haøm soá f ñoàng bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
	Haøm soá f nghòch bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 f(x2)
2. Ñieàu kieän caàn:
	Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.
	a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
	b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Ñieàu kieän ñuû:
	Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.
	a) Neáu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I.
	b) Neáu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I.
	c) Neáu f¢(x) = 0, "x Î I thì f khoâng ñoåi treân I.
Chuù yù: Neáu kh