Toán học - Phần: Tích phân

TÍCH PHÂN
--------------------------------------------------------------------------------
TT
Nguyên hàm của các hàm số đơn giản thường gặp
1
 với k là số thực.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đạo hàm của hàm lũy thừa. 
Đạo hàm của hàm lượng giác.
Đạo hàm của hàm mũ. 
Tổng quát: 	
Đạo hàm của hàm lôgarít.
Tổng quát: 	
Tích phân
Định nghĩa. I.
Tính chất của tích phân. 
I .
I .
I . 
I= .
I .
Tính phân không phụ thuộc vào biến. 
Phần 1: Các bài tập luyện tập các công thức: 
Vấn đề 1: Tích phân hàm đa thức: Bậc nhất, bậc 2, bậc 3, bậc 4,
1. Công thức áp dụng: 
 . 
2. Phương pháp: 
	Biến đổi đưa về các đa thức sau đó áp dụng bảng nguyên hàm. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 	 
5. 	6. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
5. 	6. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 	
5. 	6. 
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 	
5. 	6. 
Bài 5: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 	
5. 	 	6. 
Chú ý: Các bài toán sau ta thực hiện phép chia đa thức để đưa về đa thức: 
Bài 6: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 	
Vấn 2: Tích phân hàm phân thức: 
Công thức áp dụng:
, .
 , .
Bài 1: Tính các tích phân sau: Tính nguyên hàm trực tiếp bằng bảng nguyên hàm. 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 	 2. 	 
3. 	4. 
Dạng 1: Hàm Chia đa thức sau đó lấy nguyên hàm.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
3. 	4. 
Dạng 2: Chia đa thức sau đó lấy nguyên hàm.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
3. 	4. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
3. 	4. 
Dạng 3: Chia đa thức sau đó lấy nguyên hàm.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác: 
.
.
.
.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 3. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 3. .
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. 
, , . 
, , , .
Bài 5: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 6: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 7: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Vấn 4: Tích phân hàm mũ.
. 
.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 5: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 6: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Phần 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. 
Công thức: . 
Bước 1: Ta đặt: t=u(x)dt=u’(x).dx. 
Bước 2: Đổi cận: 
Bước 3: Khi đó: .
Vấn đề 1: Tích của hàm đa thức. Thông thường nếu: 
Trong tích phân có lũy thừa, ta đặt t=biểu thức bên trong lũy thừa. 
Trong tích phân có phân số, ta đặt t=mẫu số. 
Trong tích phân có căn thức, ta đặt t=căn thức.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 2. 	 3. .	 4. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 2. 3. 4. 
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
	1. 	2. 	3. .
Bài 5: Tính tích phân:
	1. 2. 3. 
Bài 6: Tính tích phân:
	1. 	 2. 3. 4. 
Vấn đề 2: Tích phân hàm lượng giác: sinx. cosx, sinax, cosax. 
Nếu trong tích phân có: sinx.dx thì ta đặt t=cosx, hoặc biểu thức chứa cosx. 
Nếu trong tích phân có: cosx.dx thì ta đặt t=sinx, hoặc biểu thức chứa sinx. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 2. 	 3. .
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 	2. 	 3. .
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 	2. 	 3. .
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
 1. 2. 3. 4. .
Bài 5: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 2. 3. .
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác: .
Dạng 1: Hạ bậc ta ADCT: . 
Trong tích phân chỉ có sin2x ta áp dụng công thức ha bậc. 
Trong tích phân chỉ có cos2x ta áp dụng công thức ha bậc. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 2. 3. .	 4. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 2. 	 3. .	 4. 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
	1. 	 	2. 	 3. .
Dạng 2: Đổi biến ta ADCT:
sin2x=2sinx.cosx
.
Trong tích phân có sin2x và sin2x, ta đặt t= sin2x, hoặc biểu thức chứa sin2x. 
Trong tích phân có sin2x và cos2x, ta đặt t= cos2x, hoặc biểu thức chứa cos2x.
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	 2. 3. . 
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
1. 	 2. 3. .
Dạng 3: Đổi biến ta ADCT:
.
Trong tích phân chỉ có sin3x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=cosx. 
Trong tích phân chỉ có cos3x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=sinx. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. . 
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 
Bài 4: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	3. 
Dạng 4: Biến đổi tích thành tổng.
Ta áp dụng công thức: 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
3. . 	4. 	
5. 	6. . 
7. 	8. 	
Vấn đề 4: Tích phân chứa hàm mũ: 
Nếu trong tích phân có chứa thì ta đặt t=ex, hoặc biểu thức chứa ex. 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
 1. 	2. 3. 
 4. 	5. 6. 
Bài 3: Tính các tích phân sau 
 1. 	2. 3. 
Bài 2: Tính các tích phân sau 
 1. 	2. 3. I=.
Vấn đề 5: Tích chứa lnx hoặc ln(ax+b). 
Nếu trong tích phân có chứa thì ta đặt t=lnx hoặc biểu thức chứa lnx. 
Nếu trong tích phân có chứa thì ta đặt t=ln(ax+b) hoặc biểu thức chứa ln(ax+b). 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
 1. 	2. 3. 
 4. 	5. 6. 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
 1. 2. 3. 
Vấn đề 5: Tích phân chứa . Chú ý: , .
Nếu trong tích phân có chứa dx, thì ta đặt t=cotx hoặc biểu thức chứa cotx. 
Nếu trong tích phân có chứa dx, thì ta đặt t=tanx hoặc biểu thức chứa tanx. 
Bài 1: Tính tích phân: 
 1. 	2. 3. 	
 4. 5. 6. 
 7. 	 8. 9. 
Bài 2: Tính tích phân: 
 	1. 	2. 	 3. 	
3. 	 4. 5. 
6. 	 7. 	 8. 
Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách chia ra nhiều tích phân: 
Bài 1: Tính tích phân: 
1. 	2. 	3. 
Bài 2: Tính tích phân:
1. 2. 3. 
Bài 2: Tính tích phân:
 1. 	2. 3.
Bài 3: Tính tích phân:
 	1. 	2. 
Phần 3: Tích phân từng phần. 
Công thức tích phân từng phần: 
1.. Dạng 1: I=. Đặt , Cần nhớ: 
Bài 1: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	 3. 
4. 	5. 	6. 
Bài 2: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	 3. 
Bài 3: Tính tích phân:
 1. 	2. 	 3. 
2.. Dạng 2: I=. Đặt . Cần nhớ: 
Bài 1: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	 3. 
4. 	5. 	6. 
Bài 2: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	3. 
 3..Dạng 3: I=. Đặt . Cần nhớ: 
Bài 1: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	 3. 
4. 	5. 	6. 
Bài 2: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	3. 
4..Dạng 4: I=. Đặt . Cần nhớ:
Bài 1: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	 3. 
4. 	5. 	6. 
Bài 2: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	 3. 
Bài 3: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	3. 
Bài 4: Tính tích phân:
 	1. 	2. 	3. 
Phần 4: Tích phân chứa trị tuyệt đối. . 
Bước 1: Giải phương trình f(x)=0, tìm các nghiệm .
Bước 2: Bỏ trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức f(x), để chia ra nhiều tích phân. 
Chú ý: Ta có thể giải bằng cách không xét dấu f(x). 
Nếu giải phương trình f(x)=0, không có nghiệm thì 
. 
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 1 nghiệm thì 
. 
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 2 nghiệm thì 
.
Bài 1: Tính các tích sau. 
	1. 	2. 	3. .
Bài 2: Tính các tích sau. 
1. 	2. 	3. .
Phần 5: Diện tích hình phẳng.
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
1. .
2. , với c là nghiệm thuộc [a;b].
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng x=-1, x=1. 
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x=e.
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường 
thẳng x=1.
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
1. .
2. 
với c là nghiệm thuộc [a;b].
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng x=-1, x=1. 
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và đường thẳng x=2.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số .
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
Phần 6: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành, đt x=a, đt x=b quay quanh trục hoành. 
Chú ý: Đối với thể tích ta không cần chia làm nhiều tích phân:
Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, đt x=0, đt x=1 quay quanh trục hoành.
Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, đt x=-1, đt x=0 quay quanh trục hoành.
Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung, đt x=1 quay quanh trục hoành.
Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành quay quanh trục hoành.
Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, đt x=, đt x= quay quanh trục hoành.
Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung, đt x= quay quanh trục hoành.
Phần 7: Tính tích phân dạng: 
Trường hợp 1: có một nghiệm x0 hay có nghiệm kép x0. 
Khi đó: ADCT: 
Trường hợp 2: có hai nghiệm . 
Khi đó: ADCT: 
Bài 1: Tính tích phân:
1. 	2. 	3. 
Bài 2: Tính tích phân:
	1. 	2. 	3. 
Bài 3: Tính tích phân:
1. 	 2. 3. 
Bài 4: Tính tích phân:
	1. 	2. 	3. 
Phần 8: Bài tập nâng cao, các đề thi đại học. 
Bài 1: Tính tích phân:
 	 1. I=. 	2. I= 
3. I=. 	4. I= . 
Bài 2: Tính tích phân:
1. I= 	2. I= 	
3. I=. 	4. I=dx
Bài 2: Tính tích phân:
 1. I= 	2. I= 
3. I= 	4. I= 	5. I= 
Bài 3: Tính tích phân:
1. I=	2. I=	
3. I=	4. I=
Bài 4: Tính tích phân:
1. I=	2. I= 3. I=