Toán học - Một số phương pháp giải hệ phương trình

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 Nội dung: 
Phương pháp thế
Phương pháp cộng đại số
Phương pháp biến đổi thành tích
Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp hàm số
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức
GV: LÊ BỬU QUANGBài 1 : Một số dạng hệ phương trình đặc biệt.
Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.
Hệ gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc cao.
PP chung : Sử dụng phương pháp thế.
Hệ 2 phương trình.
Hệ 3 phương trình.
Hệ đối xứng loại 1.
* Hệ phương trình: gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1, nếu hoán vị giữa x,y thì biểu thức f(x,y) và g(x,y) không đổi.
* Cách giải:
+ Đặt (*)
+ Đưa hệ đã cho về hệ theo S và P: (I)
+ Giải hệ (I) tìm S và P.
+ Thế S và P vào (*) ta được x,y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0
Ta có: 
* Biện luận:
Hệ đã cho vô nghiệm nếu (I) vô nghiệm hoặc hệ (I) có nghiệm (S;P) mà S2 - 4P < 0
Hệ đã cho có nghiệm, nếu hệ (I) có nghiệm (S;P) thỏa: S2 – 4P
Ứng với nghiệm (S0;P0) của hệ (I) thỏa điều kiện S2 – 4P > 0 thì hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt
Khi (S0;P0) thỏa S2 – 4P = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất 
* Chú ý:
 1) Nếu hệ đã cho chứa có dạng tổng ( x+y), tích (xy) thì ta đặt ẩn phụ để đưa về dạng hệ trên.
 2) Nếu là một nghiệm của hệ đã cho thì cũng là một nghiệm của hệ đã cho. Do vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi 
Giải hệ phương trình:
Giải
Đặt : điều kiện 
Hệ đã cho trở thành:
+ Với ta có: 
cặp nghiệm này không thỏa mãn.
 + Với thỏa 
 hoặc 
 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (0;2), (2;0).
Hệ đối xứng loại 2.
Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Dạng của hệ: 
Cách giải:
 Nếu f(x,y) là đa thức thì ta biến đổi hệ (1) và (2) như sau:
 Hệ (1) và (2) 
 Từ đây, giải tiếp.
Chú ý:
 + Có trường hợp có thể cộng hoặc trừ hai phương trình cho nhau ta cũng có thể giải được.
 + Nếu các biểu thức trong hệ không có dạng đa thức thì ta đặt ẩn phụ.
Giải hệ phương trình:
Giải
Lấy (1) – (2) ta được:
 Phương trình (*) vô nghiệm. Thế x = y vào (1) ta được:
Vậy nghiệm của hệ đã cho là:
 (0;0), (;); (-;-).
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai.
PP chung : Có 2 cách giải
Đặt ẩn phụ 
Chia cả hai vế cho , và đặt 
Bài 2 : Một số phương pháp giải hệ phương trình
Phương pháp thế.
* Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ đã cho thế vào phương trình còn lại.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó.
Bài 1 . Giải hệ phương trình 
Lời giải.
Từ (1) ta có thế vào (2) ta được 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 
Bài 2 Giải hệ phương trình sau :
Bài 3 Giải hệ phương trình : 
PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) thay vào PT (1).
Nghiệm hệ là: 
Bài 4 Giải hệ phương trình: 
PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) thay vào PT (1).
Bài 5 Giải hệ phương trình: . 
Từ (1) thay vào (2). Nghiệm 
Bài 6. Giải hệ phương trình 
Cách 1
Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế.
Lời giải.
TH 1 : x = 0 không thỏa mãn (2)
TH 2 : thế vào (1) ta được 
Do nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Cách 2
Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau:
Hệ 
 Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp khác
Bài 7 Giải hệ phương trình: . Từ (1) thế và thay vào PT (2).
Phương pháp cộng đại số.
* Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k.
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
ĐK: 
Hệ . Trừ vế hai phương trình ta được
TH 1. thế vào (1) ta được 
TH 2. . Từ , 
. Do đó TH 2 không xảy ra.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)
Bài 2 Giải hệ phương trình 
Lời giải.
ĐK: .
Trừ vế hai pt ta được 
TH 1. thế vào (1) ta được 
Đặt ta được và 
TH 2. . TH này vô nghiệm do ĐK.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự do và thực hiện phép trừ vế.
Lời giải.
- Hệ 
- Giải phương trình này ta được thế vào một trong hai phương trình của hệ ta thu được kết quả 
 * Chú ý
Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.
Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt hoặc đặt .
Bài 4. Tìm các giá trị m để hệ có nghiệm.
Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay 
Lời giải.
TH 1. 
Vậy hệ có nghiệm 
TH 2. , Đặt . Hệ 
Ta có nên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Kết luận. 
Bài 5. Tìm các giá trị của m để hệ (I) có nghiệm.
Lời giải.
Nhân 2 vế của bpt thứ hai với -3 ta được 
Cộng vế hai bpt cùng chiều ta được 
Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm là 
Điều kiện đủ. Với . Xét hệ pt (II)
Giả sử là nghiệm của hệ (II). Khi đó
Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I)
(II) 
Thay vào pt thứ 2 của hệ (II) ta được 
Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy .
Bài 6. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho và chia hai vế pt thứ hai cho .
Lời giải.
ĐK: .
Dễ thấy hoặc không thỏa mãn hệ pt. Vậy 
Hệ 
Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được 
TH 1. thế vào pt (1) ta được 
TH 2. không xảy ra do .
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất .
Chú ý. Hệ phương trình có dạng . Trong trường hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức.
Tổng quát ta có hệ sau: 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho thì ta được hệ mới đơn giản hơn.
TH 1. . Nếu thì hệ hoặc 
Tương tự với và ta thu được các nghiệm là 
TH 2. . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho ta được
. Cộng vế 3 phương trình của hệ ta được :
Từ (4) và (1) ta có 
Tứ (4) và (2) ta có . Từ (4) và (3) ta có 
Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có .
Vậy hệ có tập nghiệm là
S = 
Phương pháp biến đổi thành tích.
* Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích.
Bài 1 Giải hệ phương trình 
Biến đổi phương trình (2) thành tích.
Hoặc coi phương trình (2) là bậc hai với ẩn x hoặc y.
Hệ đã cho . Hệ có 3 nghiệm 
Bài 2. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1).
Lời giải.
ĐK: 
(1) 
TH 1. (loại do )
TH 2. thế vào pt (2) ta được
. Do . Vậy hệ có nghiệm 
Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x).
Bài 3. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích.
Lời giải.
ĐK: . (1) 
TH 1. thế vào (2) ta được hoặc (t/m)
TH 2. thế vào (2) ta được .
PT này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
Bài 4. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
TH 1. thế vào pt thứ hai ta được 
TH 2. .
(2) 
Trường hợp này không xảy ra do 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = 
Bài 5. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1)
Lời giải.
ĐK: . (1) 
TH 1. thế vào (2) ta được 
TH 2. vô nghiệm do ĐK
Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
Bài 6 Giải hệ phương trình : 
HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có .
 TH1:thay vào PT (1). 
TH 2: PT(1) 
Bài 7 Giải hệ phương trình: 
HD : Từ (2) thay vào (1) ta có : 
Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến.
Hệ 
Đặt ta được 
TH 1. 
TH 2. . Vậy tập nghiệm của hệ là
S = 
 Chú ý.
Nếu hệ pt có nghiệm là thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là . Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là .
Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn.
 Bài 2 Giải hệ phương trình: 
Bài 3 Tìm m để hệ có nghiệm : 
Bài 4. Giải hệ phương trình 
 Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I
Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng và tích 
Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo và . Rõ ràng hướng này tốt hơn.
Lời giải.
Hệ . Đặt ta được
TH 1. 
TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là
S = 
Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau
Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản (I)
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(1) đó chính là ví dụ 2.
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(2) 
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(3) 
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(4) 
Thay vào hệ (I) ta được hệ
(5) 
Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới.
Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) và làm tương tự như trên ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn :
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(6) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(7) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(8) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(9) 
Thay vào hệ (II) ta được hệ
(10) ...
Bài 5 Tìm m để hệ có nghiệm : . 
Đặt ẩn phụ
Điều kiện 
Ta có hệ 
Bài 6 Giải các hệ phương trình : 
) 
Bài 7 Giải các hệ phương trình: 
 a) Hệ Đặt Nghiệm 
 b) Hệ Đặt Nghiệm 
Bài 8Giải hệ phương trình : 
ĐK. . Hệ Đặt ta được hệ :
Bài 9 Giải hệ phương trình : 
Hệ . Đặt ta được :
Vậy tập nghiệm của hệ pt là S = 
Bài 10 Giải hệ phương trình : 
Hệ .
Đặt ta được hệ 
 hoặc 
Với hoặc 
Với 
 hoặc 
 Cách 2 : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được :
Bài 11 Giải hệ phương trình : 
ĐK: 
Hệ 
Đặt . ta được hệ pt
 (thỏa mãn đk)
Bài 12 Giải hệ phương trình: . Bình phương cả 2 PT.
Bài 13 Giải hệ phương trình: 
PT (1)
PT (2) Ta có 
Bài 14 Giải hệ phương trình: . Lần lượt chia cho và đặt ẩn phụ.
Bài 15 Giải hệ phương trình: . Lần lượt chia cho và đặt ẩn phụ.
Bài 16 Giải hệ phương trình: Chia 2 vế của 2 PT cho y và đặt ẩn phụ.
Bài 17 Giải hệ phương trình: 
Phương pháp hàm số.
* Cơ sở phương pháp. Nếu đơn điệu trên khoảng và thì :
Bài 1 Giải các HPT sau : 
Bài 2 Giải hệ phương trình : 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
 Phân tích. Ta có thể giải hệ trên bằng phương pháp đưa về dạng tích. Tuy nhiên ta muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Hàm số không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có (2) ta giới hạn được x và y trên đoạn .
Lời giải.
Từ (2) ta có 
Hàm số có nghịch biến trên đoạn . nên (1) thế vào pt (2) ta được . 
Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
 Nhận xét. Trong TH này ta đã hạn chế miền biến thiên của các biến để hàm số đơn điệu trên đoạn đó.
Bài 4 Giải hệ phương trình: 
 PT 
Xét hàm . HS đồng biến. Từ (1) 
Thay và (2) tiếp tục sử dụng PP hàm số CM PT (2) có 1 nghiệm duy nhất .
Bài 5 Giải hệ phương trình: 
Xét hàm số nên hàm số đồng biến.
Từ 
Thay vào (2) có nghiệm 
Bài 6 Giải hệ phương trình . 
Xét hàm số nên hàm số đồng biến.
Từ 
Thay vào (2) có nghiệm . vậy hệ có nghiệm .
Bài 7 Giải hệ phương trình
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có 
, xét hàm số trên 
Hàm số đồng biến trên , ta có 
Với thay vào (2) giải được 
Bài 8 Giải hệ phương trình 
Từ phương trình (2) nên 
 nên xét trên 
Chỉ ra f(t) nghịch biến. Có 
Nghiệm 
Bài 9. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
(1) 
 với . ĐB trên . Vậy 
Thế vào pt (2) ta được 
Với . CM hàm g(x) nghịch biến.
Ta có nghiệm duy nhất 
Bài 10. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm
Lời giải.
 - Điều kiện. 
(1)
- Hàm số nghịch biến trên đoạn 
 nên 
Thế vào pt (2) ta được 
Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm 
Xét 
. 
Pt (3) có nghiệm 
Bài 11 Giải hệ phương trình: .
TH1 : Xét thay vào hệ thây không thỏa mãn.
TH2 : Xét , chia 2 vế của (1) cho ta được 
Xét hàm số nên hàm số đồng biến.
Từ 
Thay vào (2) ta có PT . Vậy hệ có nghiệm 
Bài 15. Giải hệ phương trình 
Phân tích. Nếu thay vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hđt
Lời giải.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được
 (1)
Xét hàm số có suy ra đồng biến trên . (1) thế vào pt thứ hai ta được
. Vậy tập nghiệm của hệ là S = 
Bài 16. Giải hệ phương trình 
Lời giải.
Trừ vế hai pt ta được 
 với . 
 đồng biến trên . Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được 
Với . 
 do và 
Suy ra đồng biến trên . Bởi vậy 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0
Bài 17. Chứng minh hệ có đúng 2 nghiệm 
Lời giải.
 ĐK: . Do nên 
Trừ vế hai pt ta được 
Hay với .
 đồng biến trên .
Bởi vậy thế vào pt thứ nhất ta được
Với . Ta có 
Suy ra đồng biến trên . liên tục trên và có
 nên có nghiệm duy nhất và 
Từ BBT của ta suy ra pt có đúng 2 nghiệm . 
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương.
Bài 18 Giải hệ phương trình 
Lời giải.
 ĐK: 
(1) với 
 ĐB trên và NB trên 
TH 1. hoặc thì 
Thế vào pt (2) ta được (không thỏa mãn)
TH 2. hoặc ngược lại thì 
TH 3. thì hệ có nghiệm . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.
Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh hoặc ngược lại, dấu bằng xảy ra khi 
Một số BĐT quen thuộc.
Bài 1 Giải hệ phương trình : 
HD : Từ (1) VTVP, dầu bằng khi thay vào PT (2) ta có : 
Ta có : 
Bài 2 Giải hệ phương trình: 
(2) . 
0,25
(2) . 
0,25
Xét hàm số 
Vì vậy trên hàm số f(t) đồng biến
0,25
TH 1. Kết hợp với
.
TH 2. hệ trở thành vô nghiệm
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
0,25
VII.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.
 Khi giải hệ phương trình, trong hệ có chứa tích các biểu thức hoặc chứa tổng các căn thường làm cho nhiều học sinh lúng túng. Gặp dạng này ta đưa về dạng bình phương đôi khi sẽ giải nhanh hơn.
 I.Phương pháp
Biến đổi một phương trình trong hệ hoặc phối hợp các phương trình trong hệ để làm xuất hiện phương trình thuộc một trong các dạng sau:
1) hoặc 
2) 
3) 
4) Đối với dạng này ta đặt t = A(x,y) và giải phương trình bậc hai tìm t
5) 
Đối với dạng này ta tìm t = A(x,y) và giải phương trình bậc ba tìm t
Từ đó giải hệ theo các trường hợp vừa mới tìm ra
II.Áp dụng
Bài 1 Giải hệ phương trình 
Giải
 hoặc 
Vậy hệ có hai nghiệm : (1;1), (-2;1)
 Bài 2 Giải hệ phương trình 
 Giải ĐK: x > 1 
 Từ ( 1) 
 + Với thay vào phương trình (2), ta được : 
 Phương trình này vô nghiệm ( không thỏa ĐK)
 + Với thay vào phương trình (2), ta được: 
 Phương trình này có nghiệm x = 2 thỏa ĐK. Vậy hệ có nghiệm: (2;-1)
Bài 3 Giải hệ phương trình 
Cộng vế với vế ba PT trên và biến đổi, ta được:
Thử lại ta thấy là nghiệm của hệ đã cho
Vậy nghiệm của hệ là : (0;0;0),(2;2;2)
Nhận xét
Với a là số dương cho trước, giải hệ phương trình 
Giải tương tự, ta có đáp số