Toán học - Một số bài toán xác suất

 1 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
Bài 1: Một đội ngũ giáo viên gồm 8 thầy giáo dạy toán, 5 cô giáo dạy vật lý và 3 cô giáo 
dạy hóa học. Sở giáo dục cần chọn ra 4 người để chấm bài thi THPT quốc gia, tính xác 
suất trong 4 người được chọn phải có cô giáo và có đủ ba bộ môn 
Hướng dẫn 
+ Ta có : chọn ra 4 thầy cô từ 16 thầy cô có 416C 1820=
(cách chọn) 
+ Để chọn được 4 giáo viên phải có cô giáo và đủ ba bộ môn, vậy có các trường hợp sau: 
* Trường hợp 1: chon 2 thầy toán, 1 cô lý, 1 cô hóa có 2 1 18 5 3C C C (cách chọn) 
* Trường hợp 2: chon 1 thầy toán, 2 cô lý, 1 cô hóa có 1 2 18 5 3C C C (cách chọn) 
* Trường hợp 3: chon 1 thầy toán, 1 cô lý, 2 cô hóa có 1 1 28 5 3C C C (cách chọn) 
Vậy xác suất để chọn được 4 người phải có cô giáo và có đủ ba bộ môn là 
2 1 1 1 2 1 1 1 2
8 5 3 8 5 3 8 5 3
4
16
C C C C C C C C C 3P
C 7
+ +
= = 
Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 
viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu. 
Hướng dẫn 
* Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu. 
* Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 424C cách lấy hay n( Ω ) = 424C . 
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau: 
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 110 8 6 2160C C C = cách 
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 110 8 6 1680C C C = cách 
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 210 8 6 1200C C C = cách 
Do đó, n(A) = 5040 
Vậy, xác suất biến cố A là ( ) 5040( ) 47,4%( ) 10626
n AP A
n
= = ≈
Ω
Bài 3:
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng 
các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3. 
Hướng dẫn 
+ Để 3 thẻ rút được có tổng chia hết cho 3 thì 3 thẻ đó phải có dạng: 3k;3k 1;3k 2+ + 
+ Ta thấy { }1 3k 30,k Z k 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10≤ ≤ ∈ ⇒ ∈ , vậy loại thẻ 3k có 10 thẻ 
+ Tương tự { }1 3k 1 30,k Z k 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9≤ + ≤ ∈ ⇒ ∈ , vậy loại thẻ 3k 1+ có 10 thẻ 
+ { }1 3k 2 30,k Z k 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9≤ + ≤ ∈ ⇒ ∈ , vậy loại thẻ 3k 2+ có 10 thẻ 
Như vậy: để tổng các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3 thì ta có 4 TH sau: 
TH1: rút 3 thẻ 3k có 310C cách 
TH2: rút 3 thẻ 3k 1+ có 310C cách 
TH3: rút 3 thẻ 3k 2+ có 310C cách 
TH4: rút 1 thẻ 3k, 1 thẻ 3k 1+ , 1 thẻ 3k 2+ có 10.10.10 cách 
Đáp số: 
3 3 3
10 10 10
3
30
C C C 10.10.10p
C
+ + +
= 
 2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
Bài 4: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. 
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được 
lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng 
Hướng dẫn 
- Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kỳ từ 16 quả cầu là 416C 1820= cách. 
- Gọi A là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả 
màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau: 
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 1 34 5C .C 
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 1 2 14 5 7C .C .C 
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: 1 1 24 5 7C .C .C 
Xác suất của biến cố A là 
1 3 1 2 1 1 1 2
4 5 4 5 7 4 5 7
4
16
C .C C .C .C C .C .C 37p
C 91
+ +
= = . 
Bài 5: Cho A là tập các số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để lấy được số lẻ chia hết 
cho 9 trong tập A. 
Hướng dẫn 
+ Gọi số 654321 aaaaaa là số có 6 chữ số có⇒ 9.10 5 số có 6 chữ số 
+ Do ( ) 99 654321654321 ⋮⋮ aaaaaaaaaaaa +++++⇔ 
1 2 3 4 5 6a a a a a a⇒ là các số 100008;100017;100028;;999999 
⇒ Như vậy ta thấy các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng với: 
( )





=
=⇔−=⇔−=⇒=
=
18
50000118999999)1(999999
1000171
d
nndnuu
u
nn 
⇒ có 50.0000 số có 6 chữ số chia hết cho 9 
Vậy xác xuất cần tìm là 
16
1
10.9
50000
5 = 
Bài 6: Một trường THPT có 7 thầy dạy toán, 6 thầy dạy Lý và 4 thầy dạy Hóa. Sở giáo 
dục cần chọn từ trường THPT đó ra 5 thầy để chấm thi THPT quốc gia 2015. Tính xác 
xuất để chọn được 5 thầy trong đó có đủ bộ môn. 
Hướng dẫn 
+ Số cách chọn 5 thầy bất kì trong 17 thầy là 517C 
+Số cách chọn 5 trong thầy dạy Toán và Lý là 513C 
+ Số cách chọn 5 trong 11 thầy dạy Toán và Hóa là 511C 
+ Số cách chọn 5 trong 10 thầy dạy Toán và Hóa là 510C 
+ Số cách chọn 5 thầy chỉ dạy Toán là 57C 
+ Số cách chọn 5 thầy chỉ dạy Lý là 56C 
⇒ số cách chọn 5 thầy không có đủ 3 bộ môn: 5756510511513 CCCCC −−++ 
Vậy số cách chọn có đủ cả 3 bộ môn là: 4214)( 5756510511513517 =−−++− CCCCCC 
 3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
⇒ xác suất cần tìm 
442
3014214
5
17
=
C
Bài 7: Một trường THPT có 15 học sinh là đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và 
3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra 1 nhóm 
gồm 4 học sinh là đoàn viên ưu tú để tham gia lao động nghĩa trang liệt sĩ. Tính xác suất 
để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam. 
Hướng dẫn 
+ Số phần tử của không gian mẫu: 415C 1365Ω = = 
+ Gọi A là biến cố “nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh 
nam” ⇒ số phần tử của biến cố A là: 1 1 1 1A 3 2 2 8C .C .C .C 96Ω = = 
96 32P(A)
1365 455
⇒ = = 
Bài 8: Một hộp đựng 6 bút xanh, 6 bút đen, 5 bút tím và 3 bút đỏ được đánh số từ 1 đến 
20. Lấy ngẫu nhiên 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. 
Hướng dẫn 
+ Lấy 4 cái bút từ 20 cái bút ta có: 4845420 =C cách. 
+ Lấy 4 cái bút mà ít nhất 2 bút cùng màu: (làm theo phương pháp “phân bù” ). 
- Số lấy 4 bút mà 4 màu khác nhau: 13151616 ... CCCC cách 
- Số cách lấy thỏa mãn yêu cầu là: 4305... 13151616420 =− CCCCC cách 
Xác suất cần tìm là 4305 287P
4845 323
= = 
Bài 9: Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam. Cô giáo chọn ra 5 học sinh để 
lập một tốp ca chào mừng 20 - 11. Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học 
sinh nữ. 
Hướng dẫn 
- Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 48 học sinh có: =548 1712304C 
- Gọi A là biến cố " chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ" thì A là biến cố 
" chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh nữ ". 
- Ta có số kết quả thuận lợi cho A là: 
=
5
21 20349C ( )⇒ = =5215
48
20349
1712304
C
P A
C
 ( )⇒ = − =20349 16919551
1712304 1712304
P A 
Bài 10: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 
học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế 
giảng năm học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 
học sinh lớp 12A. 
Hướng dẫn 
- Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là Ω 
 4 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
- Số phần tử của không gian mẫu là: 59 126C = 
- Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba lớp và 
có ít nhất 2 học sinh lớp 12A”. 
- Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là : 
 + 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C 
 + 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C 
 + 3 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C 
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 2 1 2 2 2 1 3 1 14 3 2 4 3 2 4 3 2. . . . . . 78C C C C C C C C C+ + = . 
Xác suất cần tìm là 78 13
126 21
P = = . 
Bài 11: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các 
chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là 
số chia hết cho 5. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của A là 366.A 720= 
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 361.A 120= cách 
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 251.5.A 100= cách 
- Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120 100 220+ = cách 
Vậy xác suất cần tìm bằng 220 11
720 36
= . 
Bài 12: Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó 
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các 
môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường A có 30 học sinh đăng kí dự 
thi, trong đó có 10 học sinh chọn môn Lịch sử. Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh bất kỳ của 
trường A, tính xác suất để trong 5 học sinh đó có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn Lịch 
sử. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của không gian mẫu là: 530( ) 142506n CΩ = = 
- Gọi A là biến cố : “5 học sinh được chọn có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn lịch sử” 
- Số phần tử của biến cố A là: 5 4 1 3 220 20 10 20 10( ) 115254n A C C C C C= + + = 
Vậy xác suất cần tìm là: 115254( ) 0,81
142506
P A = ≈ . 
Bài 13: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ 
hộp ra 4 viên bi. Tính xác xuất để 4 viên bi được chon có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều 
nhất. 
Hướng dẫn 
- Ta có: ( ) 415n 1365CΩ = = 
- Gọi A là biến cố “4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất’ 
 5 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
Khi đó ( ) 1 2 14 5 6n A 240C C C= = . Vậy ( ) ( )( )
16
91
n A
p A
n
= =
Ω
Bài 14: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo 
thành từ các chữ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác 
suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ. 
Hướng dẫn 
- Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X”. 
Khi đó: 69 60480Ω = =A 
- Gọi A là biến cố: “Số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ”. Khi đó: 
+ Chọn 3 chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1 3 5 7 9, , , , có 35C cách. 
+ Chọn 3 chữ số chẵn đội một khác nhau từ các chữ số 2 4 6 8, , , có 34C cách. 
+ Sắp xếp các chữ số trên để được số thỏa mãn biến cố A có 6! cách. 
Do đó 3 35 4 6 28800Ω = =A C .C . ! 
Vậy xác suất cần tìm là: 28800 10
60480 21
Ω
= = =
Ω
AP(A) 
Bài 15: Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó 
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các 
môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự 
thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu 
nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X. Tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học 
sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của không gian mẫu là 340n CΩ = 
- Gọi A là biến cố “3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh 
chọn môn Hóa học” 
- Số phần tử của biến cố A là 1 2 2 1 1 1 110 20 10 20 20 10 10. . . .An C C C C C C C= + + 
Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là 120
247
A
A
nP
nΩ
= = 
Bài 16: Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một 
trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam 
khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn 
toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong 5 
em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và học sinh khối 
12. 
Hướng dẫn 
- Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là 58C = 56 cách 
- Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau 
 +) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: 1 1 32 2 4C C C cách 
 +) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 1 2 22 2 4C C C cách 
 +) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 2 1 22 2 4C C C cách 
 6 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
 +) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: 2 2 12 2 4C C C cách 
 Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là: 1 1 32 2 4C C C + 1 2 22 2 4C C C + 2 1 22 2 4C C C + 2 2 12 2 4C C C = 44 cách 
Vậy xác suất cần tính là: 44 11
56 14
= 
Bài 17: Trong bộ môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 
câu hỏi trung bình, 20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi có 7 câu hỏi đựơc 
chọn từ 40 câu hỏi đó. Tính xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng đề nói trên nhất 
thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4. 
Hướng dẫn 
- Không gian mẫu của việc tạo đề thi là : 18643560740 ==Ω C 
- Gọi A là biến cố chọn đựợc đề thi có đủ 3 loại câu hỏi(khó, trung bình, dễ) và số câu 
hỏi dễ không ít hơn 4. 
4433175..... 115155202151542011525420 =++=Ω CCCCCCCCCA 
 Xác suất cần tìm là 
3848
915)( =
Ω
Ω
=
AAP 
Bài 18: Trong đợt thi học sinh giỏi của tỉnh, trường THPT X môn Toán có 5 em đạt giải 
trong đó có 4 nam và 1 nữ , môn Văn có 5 em đạt giải trong đó có 1 nam và 4 nữ, môn 
Hóa học có 5 em đạt giải trong đó có 2 nam và 3 nữ , môn Vật lí có 5 em đạt giải trong 
đó có 3 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mỗi môn một em học sinh để đi dự đại 
hội thi đua ? Tính xác suất để có cả học sinh nam và nữ để đi dự đại hội? 
Hướng dẫn 
- Có tất cả 5.5.5.5=625 cách n(Ω) 625⇒ = 
- Gọi A là biến cố “có cả HS nam và nữ đi dự đại hội” 
A⇒ là biến cố “Cả bốn HS nam hoặc cả 4 HS nữ đi dự ĐH” 
n(A) 4.1.2.3 1.4.3.2 48⇒ = + = ( ) n(A) 48P A
n(Ω) 625⇒ = = 
Vậy ( ) 48 577P(A) 1 P A 1 625 625= − = − = 
Bài 19: Trường trung học phổ thông X số 1 có tổ Toán gồm 15 giáo viên trong đó có 8 
giáo viên nam, 7 giáo viên nữ; Tổ Lý gồm 12 giáo viên trong đó có 5 giáo viên nam, 7 
giáo viên nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 2 giáo viên đi dự tập huấn chuyên đề dạy học tích 
hợp. Tính xác suất sao cho trong các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của của không gian mẫu: 212215)( CCn =Ω 
- Gọi A là biến cố: “Các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ” 
 ⇒n(A)= 1517171827252728 CCCCCCCC ++ ⇒P(A) = =Ω)(
)(
n
An
495
197
Bài 20: Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7. Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số 
là số lẻ ? 
Hướng dẫn 
 7 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
- Gọi A là biến cố " Số chọn được là số có 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số 
là một số lẻ". 
- Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là 47 840A = (số) 
840⇒ Ω = 
- Gọi số 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ có dạng abcd . 
- Do tổng a b c d+ + + là số lẻ nên số chữ số lẻ là lẻ nên có các trường hợp sau: 
+ Trường hợp 1 : có 1 chữ số lẻ , 3 chữ số chẵn : có 1 34 3. 4C C = bộ số 
+ Trường hợp 2 : có 3 chữ số lẻ , 1 chữ số chẵn : có 3 14 3. 12C C = bộ số 
- Từ mỗi bộ số trên ta lập được 4 24P = số 
- Tất cả có 16.24= 384 số , suy ra: 384AΩ = . 
Vậy 384 48( )
840 105
AP A
Ω
= = =
Ω
. 
Bài 21: Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một 
trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam 
khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn 
toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong 5 
em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và học sinh khối 
12. 
Hướng dẫn 
- Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là 58C = 56 cách 
- Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau 
 +) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: 1 1 32 2 4C C C cách 
 +) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 1 2 22 2 4C C C cách 
 +) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: 2 1 22 2 4C C C cách 
 +) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: 2 2 12 2 4C C C cách 
- Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là: 
1 1 3
2 2 4C C C +
1 2 2
2 2 4C C C +
2 1 2
2 2 4C C C +
2 2 1
2 2 4C C C = 44 cách 
Vậy xác suất cần tính là: 44 11
56 14
= 
Bài 22: Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy 
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có ít nhất 2 viên bi màu 
xanh. 
Hướng dẫn 
- Gọi Ω là không gian mẫu của phép lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 9 viên bi 
( ) 39n C 84⇒ Ω = = 
- Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 2 viên bi xanh, ta có các trường hợp sau: 
+ Trường hợp 1. Trong 3 viên bi lấy được có 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, có 2 15 4C .C 40= 
cách. 
 8 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
+ Trường hợp 2. Ba viên bi lấy ra toàn màu xanh, có 35C 10= cách 
Suy ra ( ) 2 1 35 4 5n A C .C C 50= + = . Vậy ( ) ( )( )
n A 50 25P A
n 84 42
= = =
Ω
Bài 23: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các 
chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là 
số chia hết cho 5. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử của A là 366.A 720= 
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 361.A 120= cách 
- Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 251.5.A 100= cách 
- Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120 100 220+ = cách 
Vậy xác suất cần tìm bằng 220 11
720 36
= . 
Bài 24: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất 
để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang 
số chia hết cho 10. 
Hướng dẫn 
- Gọi Ω là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho ⇒ 1030CΩ = 
- Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có 3 tấm 
thẻ mang số chia hết cho 10. 
- Gọi AΩ là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, 
trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 5 4 115 12 3. .⇒ Ω =A C C C 
Vậy ( )
5 4 1
15 12 3
10
30
. . 99
.
667
C C CP A
C
= = 
Bài 25: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp 
đó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh. 
Hướng dẫn 
* Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách) 
* Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách) 
* Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách) 
Suy ra xác suất cần tìm là ( ) 4
90 10
24 12
p
+
= = 
Bài 26: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 
viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu. 
Hướng dẫn 
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu. 
 9 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT 
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 424C cách lấy hay n( Ω ) = 424C . 
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau: 
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 110 8 6 2160C C C = cách 
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 110 8 6 1680C C C = cách 
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 210 8 6 1200C C C = cách 
Do đó, n(A) = 5040 
Vậy, xác suất biến cố A là ( ) 5040( ) 47,4%( ) 10626
n AP A
n
= = ≈
Ω
Bài 27: Từ các chữ số của tập { }0;1;2;3;4;5T = , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên 
có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có 
ít nhất một số chia hết cho 5. 
Hướng dẫn 
 + Có 255. 100A = số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau 
+ Có 2 15 44. 36A A+ = số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. 
+ Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. 
+ ( ) 1 1100 99. 9900n C CΩ = = 
+ Gọi A là biến cố : “Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5” 
Ta có: ( ) 1 1 1 136 64 36 35. . 3564n A C C C C= + = 
Vậy : ( ) ( )( )
3564 9 0,36
9900 25
n A
P A
n
= = = =
Ω
Bài 28: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác 
suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn 
trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4. 
Hướng dẫn 
- Số phần tử c