Toán học lớp 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.
	Hệ trục tọa độ Oxyz là hệ trục gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một. 
z
x
y
O
	Tức là: 
Hệ trục tọa độ Oxyz gồm có các thành phần sau: 
Góc tọa độ O: O(0;0;0). 
Trục tọa độ: 
Trục Ox: Gọi là trục hoành. Trục Oy: Gọi là trục tung. Trục Oz: Gọi là trục cao. 
Các vectơ đơn vị và vecto chỉ phương của các trục tọa độ: 
Trục Ox: Có vecto đơn vị và Ox có vecto chỉ phương là .
Trục Oy: Có vecto đơn vị và Oy có vecto chỉ phương .
Trục Oz: Có vecto đơn vị và Oz có vecto chỉ phương .
Các mặt phẳng tọa độ: 
Có ba mặt phẳng tọa độ là: Mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Ozx).
Ba mặt phẳng tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một, tức là: 
Mp(Oxy) có vecto pháp tuyến là: . 
Mp(Oyz) có vecto pháp tuyến là: .
Mp(Ozx) có vecto pháp tuyến là: .
B. Tọa độ của điểm: 
	Tọa độ của chính là tọa độ của điểm M, tức là: .
Đặc biệt: Gốc tọa độ O(0;0;0).
Điểm M(a;b;c) thuộc trục tọa độ: 
M OxM(a;0;0). 	NX: Điểm nằm trên trục Ox luôn có tung độ và cao độ =0.
M OyM(0;b;0). 	NX: Điểm nằm trên trục Oy luôn có hoành độ và cao độ =0.
M OzM(0;0;c). 	NX: Điểm nằm trên trục Oz luôn có hoành độ và tung độ =0.
Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng tọa độ:
M (Oxy)M(a;b;0). 	 NX: Điểm nằm trên mp Oxy luôn có cao độ =0.
M (Oyz)M(0;b;c). 	 NX: Điểm nằm trên mp Oyz luôn có hoành độ =0.
M (Ozx)M(a;0;c). 	 NX: Điểm nằm trên mp Ozx luôn có tung độ =0.
C. Tọa độ của vectơ: 	Đặc biệt: 
D. Các tính chất của vectơ.
Cho và số k tuỳ ý, ta có:
1. Tổng và hiệu của hai vectơ . Là một vecto. .
2. Tích của vectơ.
Tích của vecto với một số. Là một vecto. .
Tích vô hướng của hai vecto: Là một số. 
	Đặc biệt: .
Tích có hướng của hai vecto: Là một vecto. 
. 	Đặc biệt: cùng phương . 
3. Độ dài vectơ. Là một số không âm.
. 	Đặc biệt: Vectơ 
4. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.
.	Đặc biệt: cùng phương với . 
5. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
. 	 	Cần nhớ: Góc giữa hai vectơ là góc tùy ý.
Đặc biệt: . 
E. Tính chất của vecto đối với tọa độ của điểm. 
Cho hai điểm . Khi đó:
Tọa độ vectơ là: .
Độ dài : Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài . 
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: 
Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là: 
F. Vecto vuông góc, vecto cùng phương. 
Hai vecto vuông góc với nhau: Hai vecto vuông góc thì có tích vô hướng bằng 0. 
.
.
Hai vecto cùng phương. 
Hai vectơ , cùng phương . 
Hai vectơ , cùng phương hoặc . 
Hai vectơ , cùng phương hoặc với mẫu số 0. 
G. Vecto đồng phẳng, vecto không đồng phẳng. 
Ba vectơ đồng phẳng .
Ba vectơ không đồng phẳng .
H. Các tính chất về điểm thường áp dụng.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi 2 vecto cùng phương. 
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi 2 vecto không cùng phương. 
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi 3 vecto đồng phẳng .
 A, B, C, D không đồng phẳng khi 3 vt không đồng phẳng .
I. Diện tích tam giác ABC: 	. 
J. Diện tích HBH ABCD: 	.
K. Thể tích tứ diện ABCD: 	 hoặc 
Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm tọa điểm, tọa độ vectơ, vectơ bằng nhau: 
Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết:
Bài 2: Cho năm điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1), D(-2;0;-1). 
Tính tọa độ trung điểm các đoạn thẳng: AB, AC, AD.
Tính tọa độ trọng tâm các tam giác sau: ABC, ABD.
Bài 3: 
1. Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;5;6). Tìm điểm C sao cho A là trung điểm BC. 
2. Cho hai điểm M(-1;0;3), N(0;2;-3). Tìm điểm E sao cho N là trung điểm ME. 
Bài 4: Cho ba điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1). 
Tìm điểm M sao cho A là trọng tâm tam giác BCM. 
Tìm điểm N sao cho B là trọng tâm tam giác ANC. 
Bài 5: Tìm tọa độ điểm M biết: Vận dụng hai vecto bằng nhau
	 với A(2;1;0), B(-2;0;1).	
 với A(2;1;4), B(-2;3;1).
 với A(2;1;0), B(-2;0;1).
Bài 6: 
1. Cho ba điểm A(1;6;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
2. Cho hai điểm A(1;-7;3), B(1;2;-9). Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
3. Cho hai điểm M(1;-1;3), N(1;0;-4). Tìm tọa độ điểm P để tứ giác OMNP hình bình hành.
Dạng 2: Vectơ cùng phương với nhau: cùng phương .
Bài 1: Xét sự cùng phương của các vectơ sau.	
Bài 2: Cho ba điểm A(1;2;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4). Chứng minh rằng A, B, C không thẳng thàng. 
Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;-3), B(9;-8;1), C(-1;1;2). Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. 
Dạng 3: Vectơ vuông góc với nhau. .
Bài 1: Cho . Tìm m để .
Bài 2: Cho . Tìm m để .
Bài 3: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 4: 
1. Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông. Tính diện tích tam giác.
2. Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
3. Cho ba điểm, M(0;1;1), N(1;0;4) P(-1;1;2). Chứng minh tam giác vuông.
4. Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông.
5. Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
Dạng 4: Độ dài vectơ, chu vi và diện tích tam giác.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tính diện tích tam giác. 
Bài 2: Cho ba điểm A(2;2;0), B(2;0;2), C(0;2;2). Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tính diện tích tam giác. 
Dạng 5: Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng và không đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD. 
Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Bài 3: Cho ba điểm A(1;-4;1), B(2;1;2), C(1;-1;1). Chứng minh O, A, B ,C không đồng phẳng. 
 Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn , , , . 
Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D. Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
- Phương trình mặt cầu. 
- Phương trình mặt phẳng. 
- Phương trình đường thẳng.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu: Có hai dạng phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu. 
Mặt cầu cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R. 
Phương trình mặt cầu có dạng: . 
Dạng 2: Phương trình mặt cầu ở dạng khai triển. 
	Từ pt .
	Ta khai triển hằng đẳng thức, ta được: 
	Ta đặt , ta được phương trình: . 
Như vậy ta có hai dạng phương trình mặt cầu: 
Mc (S): có tâm I(a;b;c) và bán kính R.
Mc (S): có I(a;b;c) và bán kính 
2. Các dạng toán về phương trình mặt cầu: Có hai dạng toán về phương trình mặt cầu. 
	- Dạng 1: Cho phương trình mặt cầu xác định tâm và bán kính mặt cầu hoặc cho các yếu tố liên quan đến mặt cầu xác định tâm và bán kính mặt cầu. 
	- Dạng 2: Cho các yếu tố liên quan đến mặt cầu viết phương trình mặt cầu. 
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1
Dạng 2
Mc (S): 
Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Mặt cầu (S): 
Có tâm I(a;b;c) với 
Bán kính: 
Bài tập về xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
Bài 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
Bài 3: 	 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu có tâm A(1;2;3) và đi qua điểm B(;3;4;2). 
 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu có đường kính AB với A(1;2;3) và B(-1;0;4). 
Bài 4: Xác định bán kính mặt cầu có tâm I(5;-6;-4) và Tiếp xúc với trục Ox. Tiếp xúc với trục Oy. Tiếp xúc với trục Oz. 
Bài 5: Xác định bán kính mặt cầu có tâm I(3;-4;-5) và Tiếp xúc với mp(Oxy). Tiếp xúc với mp(Oyz). 
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu.
A. Lập phương trình mặt cầu dạng .
Cách giải: Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu
Các dạng phương trình mặt cầu thường gặp.
Dạng 1: 
Mặt cầu có tâm I và bán kính R. 
Mặt cầu có tâm I và đường kính d. 
Có bán kính là: .
Dạng 2: Mặt cầu có tâm A và đi qua điểm B. 
Có bán kính là: R=.
Dạng3: Mặt cầu có đường kính AB. 
Có tâm là trung điểm I của đoạn thẳng AB. 
Có bán kính là R=. 
Hoặc có bán kính R=.
Dạng 4: Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 
Có bán kính là . 
Hoặc có bán kính R=IH với H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Dạng 5: Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d. 
Có bán kính là . 
Hoặc có bán kính R=IH với H là hình chiếu vuông góc của I lên d. 
B. Lập phương trình mặt cầu dạng: .
Cách giải: Lập hệ phương trình với bốn phương trình và bốn ẩn a, b, c, d. 
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D
Phướng pháp
Pt mặt cầu (S) có dạng: (*).
Vì A, B, C, D thuộc (S): 
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d. 
- Sau đó thế a, b, c, d vào pt (*).
Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
Dạng 2: Lập Pt mc qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phướng pháp
Pt mặt cầu (S) có dạng: (*).
Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P), nên: A.a+B.b+C.c+D=0.
Vì A, B, C thuộc (S) nên suy ra hệ 3 phương trình: 
 Nên ta có hệ bốn pt là: 
3. Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng tọa độ. 
	Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc mặt phẳng tọa độ. 
4. Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục tọa độ. 
	Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc trục tọa độ. 
3. Vị trị trí tương đối của mặt cầu.
	a. Vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu: Có 3 vị trí tương đối.
	- Điểm A nằm trong mặt cầu IA<R. 
	- Điểm A nằm trên mặt cầu IA=R. 
	- Điểm A nằm ngoài mặt cầuIA>R. 
b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu. 
 - Mặt phẳng và mặt cầu có ba vị trí tương đối: 
	+ Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung. 
	+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm.
	+ Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn
	Cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0.
	Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R. 
Tính khoảng cách , sau đó so sánh h với R. 
Nếu h>R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung. 
Nếu h=R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại một điểm H. Khi đó: 
Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Điểm H gọi là tiếp điểm. 
IH vuông góc với mặt phẳng (P), H chính là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp(P)
Nếu h<R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C).
Các bước xác định tâm H và bán kính r của đường tròn (C). 
Bước 1: Tính bán kính với . 
Bước 2: Xác định tâm H. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng (P), khi đó H chính là tâm đường tròn (C). 
c. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu. 
 - Đường thẳng và mặt cầu có ba vị trí tương đối. 
	+ Đường thẳng và mặt cầu không có điểm chung. 
	+ Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm. 
	+ Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R. 
Cho đường thẳng d có pt tham số hoặc chính tắc. 
Tính khoảng cách , sau đó so sánh h với R. 
Nếu h>R thì đường thẳng d và mặt cầu (S) không có điểm chung. 
Nếu h=R thì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại một điểm H. Khi đó: 
Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
Điểm H gọi là tiếp điểm. 
IH vuông góc với d. H chính là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng d.
Nếu h<R thì đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B. Để xác định A, B ta đi giải hệ phương trình
Bài tập về lập phương trình mặt cầu
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng: .
Loại 1: Mặt cầu có tâm I và bán kính R
 Cách giải: Xác đinh tâm I và bán kính R.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(0;2;2).
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và bán kính bằng 3.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và bán kính bằng BC.
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ và có tâm là B. 
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đi qua C.
Bài 2: Cho ba điểm A(-1;2;1), B(1;0;2), C(-1;4;-2).
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và đường kính bằng 10.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm C và bán kính bằng đoạn thẳng AB.
Viết phương trình mặt cầu có đường kính BC. 
Viết phương trình mặt cầu có đường kính OC.
Loại 2: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng. 
 Cách giải: Bán kính R bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng.
Bài 1: 
Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0.
Viết pt mc (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mp (P): 16x-15y-12z-75=0. 
Bài 2: 
1. Cho hai điểm phân biệt K(1;2;-2), H(-3;-8;2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là trung điểm đoạn thẳng KH và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y-z-27=0. 
2. Cho ba điểm M(1;2;-2), N(3;2;2), P(2;2;-27). Viết pt mặt cầu (S) có tâm là trọng tâm tam giác MNP và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y-2z-27=0. 
3. Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;0;0), C(0;-2;0), D(0;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
Bài 3: 
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với mp(Oxy). 
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0;-1;2) và tiếp xúc với mp(Oyz).
Loại 3: Mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng. 
 Cách giải: Bán kính R bằng khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng.
Bài 1: 
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;1) và tiếp xúc với đt d:. 
Viết phương trình mặt cầu có tâm B(2;-1;0) và tiếp xúc với đt d:. 
Bài 2: 
1. Cho A(1;1;0), B(1;0;1), C(0;1;1). Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với cạnh BC.
2. Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;0;2), C(0;2;1). Viết phương trình mặt cầu có tâm là một đỉnh của tam giác ABC và tiếp xúc với cạnh đối diện .
Bài 3: 
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) và tiếp xúc với trục Ox. 
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1;-1;2) và tiếp xúc với trục Oy.
Dạng 2: Mặt cầu qua bốn điểm.
 Cách giải: Lập hệ phương trình tìm a, b, c, d.
Bài 1: Cho ba điểm M(-5;-4;-3). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ. 
Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm O, A, B, C.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó. Tính thể tích khối cầu ngoài tiếp tứ diện. 
Bài 2: 
1. Cho ba điểm A(1;2;0), B(0;-1;-2), C(-2;0;-1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
3. Cho bốn điểm M(1;0;1), N(2;1;2), P(1;-1;1), Q(4;5;-5). Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn đỉnh tứ diện MNPQ.
Dạng 3: Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và thuộc mặt phẳng.
Bài 3: 
1. Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0.
2. Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):18x-35y-17z-2=0.
3. Viết pt mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0.
Bài 4: 
1. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz).
Bài 5: 
1. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
Dạng 4: Vị trí tương đối của mặt phẳng – đường thẳng và mặt cầu
Bài 1: Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). 
(P): 2x+2y+z+2=0 và (S): . 
(P): x-2y-2z-3=0 và (S): . 
Bài 2: Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0.
 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
 2. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C).
Bài 3: Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0.
 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
 2. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C).
Bài 4: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt cầu (S). 
d: và (S): 
d: và (S): .
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng. Là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng. 
Nhận xét: 
Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ pháp tuyến này cùng phương với nhau. 
Nếu mp(P) có vectơ pháp tuyến làthì cũng là vectơ pháp tuyến của mp(P). 
2. Các cách xác định vecto pháp tuyến của một mặt phẳng. 
Cách 1: Tìm một vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng. 
Cách 2: Tìm hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng rồi lấy tích có hướng.
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. 
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với .
Nếu mp(P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là . 
4. Các cách viết phương trình mặt phẳng. 
Cách 1: Áp dụng công thức Ax+By+Cz+D=0 rối đi tìm A, B, C, D. 
Cách 2: Phương trình mặt đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát có dạng: .
Như vậy: Để viết phương trình mặt phẳng ta cần: 
Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng. 
Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng. 
Sau đó áp dụng công thức: . 
5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 
	Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) phương trình có dạng: với a, b, c, khác không.
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian. 
Hai mặt phẳng có ba vị trị trí tương đối.
Hai mặt phẳng cắt nhau.
Hai mặt phẳng song song. 
Hai mặt phẳng trùng nhau.
Mp(P) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến . 
Mp(Q) đi qua điểm B và có vecto pháp tuyến . 
Mp(P) song song mp(Q):
Hai mặt phẳng song song không có điểm chung. 
Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là: .
Điểm A thuộc (P) nhưng không thuộc (Q). 
Điểm B thuộc (Q) nhưng không thuộc (P). 
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh: 
Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là: .
Điểm A thuộc (P) nhưng không thuộc (Q). 
Mp(P) trùng với mp(Q): 
Hai mặt phẳng trùng nhau có vô số điểm chung, nghĩa là mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia và ngược lại. 
Hai vecto pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là: .
Điểm A thuộc (P) và cũng thuộc (Q). 
Điểm B thuộc (Q) và cũng thuộc (P). 
Mp(P) vuông góc với mp(Q): 
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau, tức là: .
Để chứng minh mp(P) vuông góc với mp(Q) ta chứng minh hai vecto pháp tuyến vuông góc với nhau, thứ là: . 
6. Các dạng phương trình mặt phẳng. 
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng. 
Mặt vuông góc với đường thẳng nhận vecto chỉ phương của đường làm vecto pháp tuyến. 
Lưu ý: Đường thẳng có thể cho ở các dạng: Pt tham số, pt chính tắc hoặc pt đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt, hoặc đường là các trục tọa độ.
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. 
Hai mặt phẳng song song cung vecto pháp tuyến. 
Dạng 3: Mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt A, B, C. 
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: .
Dạng 4: Mặt phẳng đi qua hai điểm và A, B và vuông góc mp(P). 
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: .
Giả thiết đi qua hai điểm có thể thay bằng chứa một đường thẳng có pt tham số hoặc chính tắc.
Dạng 5: Mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng d. 
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: với điểm B nằm trên d. 
Dạng 6: Mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song đường thẳng d’, với d và d’ chéo nhau.
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: 
Dạng 7: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: .
Dạng 8: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: hoặc 
Với điểm A thuộc d và điểm B thuộc d’.
Dạng 9: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q). 
Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: .
Dạng 10: Mặt phẳng có vecto pháp tuyến và cách điểm M một khoảng bằng d. 
Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0. Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm D. 
Các trường hợp thường gặp: 
Đề cho vecto pháp tuyến. 
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng. 
Mặt phẳng song song với mặt phẳng. 
Dạng 11: Măt phẳng có vecto pháp tuyến và tiếp xúc với một mặt cầu: 
Viết phương trình mặt phẳng ở dạng Ax+By+Cz+D=0. Áp dụng công thức tính khoảng cách để tìm D. 
Các trường hợp thường gặp: 
Đề cho vecto pháp tuyến. 
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng. 
Mặt ph