Toán học - Lãi kép và niên khoản

LÃI KÉP VÀ NIÊN KHOẢN
A/Lãi kép
I/ Định nghĩa và kí hiệu
 Người ta nói rằng một số vốn được đem ra đặt lãi kép khi số lãi, sau một thời gian, được hùn thêm vào vốn cũ để lại sinh lợi trong thời gian tiếp theo.
 Ta sẽ gọi số vốn là A$.
 Số bách phân là p ( lãi của 100$ trong một năm).
 Lãi của 1$ trong một năm là r ( r = p/100)
 Số năm là n.
II/ Công thức cơ bản 
 A$ đặt lãi trong một năm thì lãi là Ar.
 Ngày cuối cùng của năm thứ nhất hay ngày đầu tiên của năm thứ nhì, số vốn thành ra :
 A + Ap/100 = A( 1+ p/100) = A(1+ r)
 Cuối năm thứ nhì, thì số lãi là A(1+ r)r và số vốn là :
 A(1+ r)r + A(1+ r) = A(1+ r)
 Cuối năm thứ ba, vốn là A(1+r)
 Cứ thế mãi, cho đến ngày cuối năm thứ n, số vốn thành ra :
 C = A(1+r) (*)
 Trong công thức (*) , có bốn số C, A, r, n. Người ta có thể cho ba số rồi bắt tính số thứ tư.
 Ví dụ: Có một món tiền 30.000$, đặt lãi kép 6%, trở thành(cả vốn lẫn lãi kép) 65000$. Hỏi đã đặt lãi món tiền trong bao lâu?
Giải: Ta có A= 30.000$; C= 65.000$ ; r = 0,06
 Từ công thức (*) suy ra : n = = 13,4 năm hay 13 năm 144 ngày
B/Niên khoản : 
 I/ Niên khoản đặt :
 Người ta muốn lập một số vốn trong n năm bằng cách làm như sau:
 Đầu năm thứ nhất, đặt a$
 Đầu năm thứ nhì, lại đặt a$
 Cứ làm như thế trong n năm.
 Số vốn đặt mỗi năm coi như đặt lãi kép, lãi suất r = t%. Cuối năm thứ n, người ta có tất cả bao nhiêu tiền?
 Số tiền a$, đầu mỗi năm, gọi là niên khoản. Đó là niên khoản đặt
 Sau một năm, niên khoản đó trở thành a + ar = a(1+r)
 Sau hai năm, cả vốn lẫn lãi là: a(1+r) 
 Sau ba năm, cả vốn lẫn lãi là : a(1+r) 
 Sau n năm, cả vốn lẫn lãi là : a(1+r) 
 Tóm lại, cuối năm thứ n, người ta có một số tiền (số vốn và lãi tổng cộng) là :
 A = a(1+r) + a(1+r) + a(1+r)+  + a(1+r) 
 Hay A = a(1+r) (**)
 Ví dụ; một người muốn có một món tiền 40.000$ trong 15 năm bằng cách đặt lãi kép mỗi đầu năm một niên khoản, lãi suất 4%. Hỏi mỗi niên khoản là bao nhiêu?
 Giải: Ta có n =15; A= 40.000 ; r = 0,04 
 Từ công thức (**) suy ra loga = logA + logr – log(1+r) – log 
 Suy ra a 
 II/ Niên khoản trả : 
 Một người vay một món tiền A$ và định trả làm n niên khoản như sau :
 Đầu năm thứ nhất, vay A$
 Cuối năm thứ nhất, trả một niên khoản là a$
 Cuối năm thứ nhì, trả một niên khoản là a$ 
 Cuối năm thứ n, trả một niên khoản là a$ sau cùng
 Những món tiền vay nợ hay những món tiền góp hàng năm coi như được đặt lãi kép với lãi suất r = t%.
 Làm cách nào tìm hệ thức liên hệ giữa A, n, r và niên khoản a?
Niên khoản a thứ n; trả vào đúng ngày cuối năm thứ n, không sinh ra đồng lãi nào
Niên khoản a thứ n-1, trả vào cuối năm thứ n-1, nhưng tính đến cuối năm thứ n, thì coi như được đặt lãi kép trong 1 năm, vì thế nó thành ra a(1+r).
Niên khoản a thứ n-2, trả vào cuối năm thứ n-2, nhưng tính đến cuối năm thứ n, thì coi như được đặt lãi kép trong 2 năm, vì thế nó thành ra a(1+r)
Niên khoản thứ 1, trả vào cuối năm thứ 1, nhưng tính đến cuối năm thứ n, thì coi như được đặt lãi kép trong n- 1 năm, vì thế nó thành ra a(1+r).
Vậy đến cuối năm thứ n, các món tiền đem trả mỗi cuối năm hợp với lãi kép do chúng sinh ra là:
 S = a + a(1+r) + a(1+r) + ..+ a(1+r).
Hay S = a.
Ngoài ra, món tiền đã vay A$ đặt lãi kép trong n năm thì thành ra: A(1+r)
Vì thế, ta có hệ thức: A(1+r)= a hay a = Ar
Ví dụ: Người ta đi vay một món tiền A chịu lãi kép, lãi suất là 5%. Người ta muốn rằng sau 5 năm thì số nợ chỉ còn là A/2. Hỏi mỗi niên khoản phải góp vào là bao nhiêu so với A? (ví dụ này coi như bài tập thực hành.)