Toán học - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

 V. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1. Sự đồng biến, nghịch biến (ĐB, NB) của hàm số 
Định lí 1: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f ĐB trên I. 
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f NB trên I. 
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I. 
2. Cực đại, cực tiểu (CĐ, CT) của hàm số 
Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có 
đạo hàm trên (a; b)\{x0} 
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt CT tại x0. 
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt CĐ tại x0. 
Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, 
f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. 
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt CĐ tại x0. 
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt CT tại x0. 
3. GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn 
Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. 
- Tính f (x). 
- Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, , xn trên [a; b] . 
- Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), , f(xn). 
- So sánh các giá trị vừa tính và kết luận. 
  
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x 
   
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x 
4. Tiệm cận 
 Đường thẳng 
0
x x đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
 ( )y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 

 
0
lim ( )
x x
f x ;

 
0
lim ( )
x x
f x ;

 
0
lim ( )
x x
f x ; 

 
0
lim ( )
x x
f x 
 Đường thẳng 
0
y y đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
 ( )y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 


0
lim ( )
x
f x y ; 


0
lim ( )
x
f x y 
5. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
  Tìm tập xác định của hàm số. 
  Xét sự biến thiên của hàm số: 
 + Tính y. 
 + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định. 
 + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). 
 + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị 
của hàm số. 
  Vẽ đồ thị của hàm số: 
 + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. 
 + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với 
các trục toạ độ. Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ 
chính xác hơn. 
 + Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị. 
 G
V
:
 B
Ù
I
 V
Ă
N
 T
H
A
N
H
 –
 C
Ơ
N
G
 T
H
Ứ
C
 Đ
Ạ
I
 S
Ố
 V
À
 G
I
Ả
I
 T
Í
C
H
VI. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGARIT 
0 1a  log 1 0a  
1a a log 1a a  
1n
n
a
a
  log ba a b 
.a a a   
loga ba b 
a
a
a



 log ( ) log loga a abc b c  
a a
b b
 

 
 
 
 log log loga a a
b
b c
c
 
  
 
( ) .ab a b   log loga ab b
   
.( )a a   
log
log
log
a
b
a
c
c
b
 
.n n nab a b 
1
log
log
a
b
b
a
 
n
n
n
a a
b b
 
1
log log ( 0)aa c c   
 
p
n p na a  ln log 2,718eb b e  
m n mna a 10lg log logb b b  
logaa b b
     log loga ab b
  
  1 0M Na a M N a     loga b a b
   
1:a a a     log loga ab c b c   
0 a 1:a a     1: log loga aa b c b c    
 0 1: log loga aa b c b c     
\ 
VII. NGUYÊN HÀM 
0dx C (0 1)
ln
x
x aa dx C a
a
    
dx x C  cos sinxdx x C  
1
, ( 1)
1
x
x dx C

     
 
 sin cosxdx x C   
1
lndx x C
x
  2
1
tan
cos
dx x C
x
  
x xe dx e C  2
1
cot
sin
dx x C
x
   
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
    
1ax b ax be dx e C
a
   
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
     
1 1
lndx ax b C
ax b a
  

 
 
 
2
1 1
tan
cos
dx ax b C
aax b
  

 
 
 
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
aax b
   

 
H
Ã
Y
 Ƣ
Ớ
C
 M
Ơ
 N
H
Ữ
N
G
 Đ
I
Ề
U
 T
Ố
T
 Đ
Ẹ
P
 V
À
 Đ
Ừ
N
G
 B
A
O
 G
I
Ờ
 L
Ù
I
 B
Ƣ
Ớ
C
 T
R
Ƣ
Ớ
C
 K
H
Ĩ
 K
H
Ă
N
. 
C
H
Ú
C
 C
Á
C
 E
M
 T
H
À
N
H
 C
Ơ
N
G
!
VIII. TÍCH PHÂN 
1. Định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a   (F là nguyên hàm của f) 
2. Phƣơng pháp tính tích phân 
a. Phương pháp đổi biến số:    
( )
( )
( ) . '( ) ( )
u bb
a u a
f u x u x dx f u du 
Đặc biệt: 
f(x) có chứa Cách đổi biến 
2 2a x     sin ,
2 2
x a t t 
2 2a x 
 
   tan ,
2 2
x a t t 
2 2x a       
 
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t
b. Phương pháp tích phân từng phần:   
b b
b
a
a a
udv uv vdu 
Thường dùng cho tích phân có dạng:   ( ). ( )
b
a
I f x g x dx 
Đặt:
  
     
'( )( )
( ) ( )( )
du f xu f x
v g x dx G xdv g x dx
Thứ tự ưu tiên đặt u: “ Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” 
3. Ứng dụng của tích phân 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị hàm số 
y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Trục hoành; Hai đường thẳng x = a, 
x = b là:   ( )
b
a
S f x dx 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị của các 
hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Hai đường thẳng 
x =a, x = b là:   ( ) ( )
b
a
S f x g x dx 
Chú ý:Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị 
tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: 
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn 
[a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). 
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: 
 ( )
b
a
f x dx    ( ) ( ) ( )
c d b
a c d
f x dx f x dx f x dx 
 (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) 
 Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
Đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi 
quay quanh trục Ox là:  
2
( )
b
a
V f x dx .