Toán học - Cực trị hàm trùng phương

 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƢƠNG 
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b, c phụ thuộc vào tham số m). Tìm m để 
hàm số có 3 cực trị và thỏa mãn điều kiện cho trước. 
Phƣơng pháp: 
Bƣớc 1: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 2x.g(x) với g(x) = 2ax2 + b 
 [
 ( ) 
Để hàm số có ba cực trị y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 
và khác 0 {
 ( ) ( )
 ( ) 
Nhận xét: Phương trình y’ = 0 luôn có một nghiệm x = 0 và đồ thị hàm ban đầu là hàm số chẵn 
nên các điểm cực trị đối xứng nhau qua Oy. 
Giả sử ba điểm cực trị là A Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy. 
Bƣớc 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số. 
Giải phương trình này ta được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận. 
VÍ DỤ MINH HỌA 
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m2 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số 
(1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. 
Giải 
Đạo hàm y’ = 4x3 – 4(m + 1)x. 
 ( ) [
 ( )
Hàm số có 3 cực trị m + 1 > 0 m > -1 
Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị: 
 ( ) ( √ ) (√ ) 
Nhận xét: A Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy nên ∆ABC cân tại A tức là AB = AC nên tam 
giác chỉ có thể vuông cân tại A. 
Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC=>M(0; -2m – 1) 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 
Do đó để tam giác ABC vuông cân BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) 
 √ ( ) ( ) ( )√ ( )
 (do m >-1) 
 1 = (m + 1) m = 0 (do m > - 1) 
Cách 2: ABC vuông cân tại A. Theo định lý Pitago ta có: 
AB
2
 +AC
2
 = BC
2
 (m + 1)[(m+1)
3
 – 1 ]= 0 
 (m + 1)3 - 1 = 0 m = 0 (do m > -1) 
Cách 3: ABC vuông cân tại A 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) 
 m = 0 hoặc m = -1 (loại) 
Với ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (√ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( √ ). 
Cách 4: Sử dụng ABC vuông cân tại A ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗)̂  
Giải tiếp được m = 0 
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m -1 (1), với m là tham số thực. Xác định các giá trị của 
tham số m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các giá trị của hàm số tạo thành một tam giác có 
bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 
Giải 
Đạo hàm y’ = 4x3 – 4mx = 4x(x2 – m ) = 0 [
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị 
 Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó m > 0 
Cách 1: Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 
 ( ) ( √ ) (√ ) 
 √ √ √ . 
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 
( )√ 
 √ 
 [
√ 
. 
Cách 2: B và C đối xứng qua Oy, A thuộc Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC 
thuộc Oy. Giả sử I(0;a). 
Theo giả thiết: 
 {
 ( )
√ ( ) ( ) 
Giải (1) ta được [
 [
TH1. √ ( ) 
 m + m4 + 2m2 + 1 = 1 m4 + 2m2 + m = 0 (loại do m > 0) 
TH2. √ ( ) 
 m + m4 - 2m2 + 1 = 1 m4 - 2m2 + m = 0 [
 √ 
Kết hợp với m > 0 ta được [
 √ 
Vậy với m = 1 hoặc 
 √ 
 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 - 8m2x2 + 1 (1), với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để hàm 
số (1) có 3 cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 64. 
Giải 
y’=4x3 – 16m2x = 4x(x2 – 4m2) 
Để hàm số có 3 cực trị là y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
 phương trình g(x) = x2 – 4m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 0 m≠ 0 
 [
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 
Giả sử 3 điểm cực trị là: A(0;1), B(2m; 1 –16m4); C(-2m; 1 – 16m4). 
Ta thấy √( ) ( ) nên tam giác ABC cân tại A. 
Gọi I là trung điểm của BC thì I(0;1- 16m4) nên AI = 16 m4; BC = 4|m| 
 √ 
 (thỏa mãn m ≠ 0 ) 
Vậy √ 
 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 4:Cho hàm số y = x4 – 2(1 – m2)x2 + m + 1 (1). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 
các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất. 
Giải 
Ta có ( ) [
Để hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi |m| < 1. 
Tọa độ điểm cực trị: 
 ( ) (√ ) ( √ ). 
Ta có 
 ( ) √ √( ) . 
=> . 
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và ba điểm 
cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200. 
Giải 
Ta có y’ = 4x3 + 4mx; y’ = 0 4x(x2 + m) = 0 [
 √ 
 ( ) 
Gọi ( ) (√ ) ( √ ) là các điểm cực trị. 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (√ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( √ ). ∆ABC cân tại A nên góc 120
0
 chính làA 
 ̂ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 √ √ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 
√ 
 hoặc m = 0 (loại). 
Vậy 
√ 
 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 6: Cho hàm số: y = x4 – 2x2 + m + 2 (Cm). Xác định giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) 
có 3 điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm? 
Giải 
Ta có y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1), y’= 0 x1 = 0; x2, 3 = ±1. 
Gọi A(x1; y1), B(x2, y2), C(x3, y3) là các điểm cực trị của (Cm) thì: A(0;m+2), B(-1; m+1), 
C(1;m+1). 
Gốc tọa độ O(0;0) là trọng tâm của ∆ABC 
 {
 {
 ( )
. 
Giá trị của m cần tìm là 
. 
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1), m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 
ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là 
hai điểm cực trị còn lại. 
Giải 
Đạo hàm y’ = 4x3 – 4(m+1)x = 4x[x2 – (m + 1)] 
 [
Hàm số có 3 cực trị 
Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A Oy =>A(0;m); 
 (√ ) ( √ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( √ ) 
Ta có: OA = BC ( ) √ ( ) 
Ví dụ 8: Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + m +1 (1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực 
trị A, B, C và điểm O nằm trên một đường tròn, trong đó O là gốc tọa độ. 
Giải 
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 
 4x3 – 4m2x = 0 có 3 nghiệm phân biệt m ≠ 0 (*). 
Ba nghiệm phân biệt là x =0 ; x = m, x = - m; 
Tọa độ 3 điểm cực trị A(0; m4 + 1), B(m; 1), C(-m; 1). 
Gọi I là tâm đường tròn qua 4 điểm A,B, C, O; do tính đối xứng của đồ thị hàm số suy ra I, A, O 
thẳng hàng. 
Bốn điểm A, B, C và điểm O nằm trên một đường tròn. 
 [
 ( )
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( )
Ta có ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ). 
Giải (2): m4 + 1 =0 => vô nghiệm 
Giải (3): m2 – m 4 = 0 m = ± 1 ( do điều kiện (*)). 
Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.