Toán học - Chủ đề 6: Phương trình số phức

 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 1 
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2 
MỤC LỤC 
CHỦ ĐỀ 6. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC ..................................................................................... 3 
BÀI TỐN 1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT SỐ PHỨC ............ 3 
BÀI TỐN 2. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH 
QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ....................................................................................... 9 
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ...................................................................................... 40 
DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN SỐ PHỨC ................................................................. 52 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3 
CHỦ ĐỀ 6. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC 
BÀI TỐN 1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT SỐ PHỨC 
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG 
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau đây với ẩn z: 
a)  2 i z z 2i 1;    b)   1 i z 2i 2 i.    
Giải 
a) Ta cĩ: 
     2 i z z 2i 1 z 2 i 1 1 2i z 1 i 1 2i               
  
  
2
2
1 2i 1 i1 2i 1 2i i 2i 1 3i 1 3
z z i.
1 i 1 1 2 21 i 1 i 1 i
        
       
   
Vậy số phức z cần tìm là: 
1 3
z i.
2 2
  
b) Ta cĩ: 
  
  
  
2 i 1 i2 i
1 i z 2i 2 i z 2i z 2i
1 i 1 i 1 i
 
         
  
2
2
2 i 3i 1 3i 1 7
z 2i z 2i z i.
2 2 21 i
  
        

Vậy số phức z cần tìm là: 
1 7
z i.
2 2
  
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau đây với ẩn z: 
a) 
2i 1 3i 1
z ;
i 2 i 3
 

 
 b) 
 
2 3
z 5i 2
.
2i i 12i 1


 
Giải 
a) Ta cĩ: 
2i 1 3i 1 3i 1 2i 1 3i 1 i 2
z x : . 1
i 2 i 3 i 3 i 2 i 3 2i 1
     
     
     
b) Ta cĩ:  
2
2i 1 3 4i;    3 2i i.i i   
 
  
2
2
5i 2 2i 1z 5i 2 37 9
z i
i 1 i 1 2 2
2i 1
  
    
  
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau đây với ẩn z: 
         a) 5 4i z 3 2i 4 i ; b) z 2 i 3i z 1 3i .         
Giải 
a) Ta cĩ 
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 4 
    
  3 2i 4 i 14 5i 50 81
5 4i z 3 2i 4 i z i
5 4i 5 4i 41 41
  
        
 
b) Ta cĩ 
    
 
2
z 2 i 3i z 1 3i i.z 2i 3i 9i z 3iz
9 i 13 35
1 4i z 9 i z i
1 4i 17 17
          
 
         
 
Ví dụ 4. Giải phương trình sau:    2iz 3 z 5i z 3 6i 0.     
Giải 
 Ta cĩ: 
   
2iz 3 0
2iz 3 z 5i z 3 6i 0 z 5i 0
z 3 6i 0
3 3
z z i
2i 2
z 5i z 5i
z 3 6iz 3 6i
  

       
   
 
   
 
    
     
  
Vậy nghiệm của phương trình là: 
3
z i, z 5i, z 3 6i.
2
     
Ví dụ 5. a) Cho số phức z thỏa mãn  1 i z 2z 2   . Tính mơ-đun của số phức 
w z 2 3i   . 
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  
1 i
2 i z 5 i
1 i

   

. Tìm mơ-đun của số phức 
2
w 1 z z   . 
Giải 
a) Đặt z a bi (a,b )   . Theo đề ra ta cĩ: 
3a b 2 a 1
a b 0 b 1
   
 
   
 nên z 1 i  . 
Khi đĩ w z 2 3i 1 i 2 3i 3 4i         . 
Vậy 2 2w 3 4 5   . 
b) Ta cĩ: 
   
1 i
2 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i
1 i

         

. 
Khi đĩ: 2w z z 5 5i w 5 2.     
b) Ta cĩ: 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 5 
   
1 i 5
2 i z 5 i 2 i z 5 z 2 i
1 i 2 i

          
 
. 
Từ đĩ 2w 1 z z 6 5i     . Suy ra w 36 25 61   . 
Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức   2 i 1 i z 4 2i     . Tính mơ-đun của z. 
Giải 
Cách 1. Đặt z a bi, (a,b )   , khi đĩ z a bi  . Theo bài ra ta cĩ: 
    
2 2
a 3 4 a 1
2 i 1 i z 4 2i a 3 1 b i 4 2i
1 b 2 b 3
z 1 3i z 1 3 10.
   
             
    
      
Cách 2. Ta cĩ: 
     2 i 1 i z 4 2i z 4 2i 2 i 1 i 1 3i             
Suy ra: 
z 1 3i z 10   
II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
Câu 1. Giải phương trình  2 3i z z 1.   
A. 
1 3
z i.
10 10
   B. 
1 3
z i.
10 10
   C. 
1 3
z i.
10 10
  D. 
1 3
z i.
10 10
  
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ: 
     
 
2 2
1 3i1 1 3
2 3i z z 1 2 3i 1 z 1 1 3i z 1 z i.
1 3i 10 101 3
 
                 
 
Vậy chọn đáp án A. 
Câu 2. Giải phương trình  2 i z 4 0   . 
A. 
1 3
z i.
5 5
   B. 
8 4
z i.
5 5
  C. 
5 3
z i.
10 10
  D. 
1 3
z i.
13 13
  
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ:  
 
2 2
4 2 i4 8 4
2 i z 4 0 z i.
2 i 5 52 1

       
 
Vậy 
8 4
z i.
5 5
  Vậy chọn đáp án B. 
Câu 2. Giải phương trình 
2 i 1 3i
z .
1 i 2 i
  

 
A. 
1 3
z i.
5 5
   B. 
8 4
z i.
5 5
  C. 
22 4
z i.
25 25
  D. 
1 3
z i.
13 13
  
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 6 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ: 
2 i 1 3i 1 3 1 7 1 7 1 3 22 4
z i z i z i : i z i.
1 i 2 i 2 2 5 5 5 5 2 2 25 25
       
                
       
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình 
2z 1
1 i
z i

 

A. 
1 3
z i.
5 5
  B. 
1 4
z i.
5 5
  C. 
1 1
z i.
2 2
  D. 
1 1
z i
2 2
   
Hướng dẫn giải 
Điều kiện: z i  . 
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành: 
    
   
 
  
2
2
2z 1
1 i 2z 1 1 i z i 2z 1 1 i z i i
z i
i 1 ii i i 1 1
2 1 i z i 1 1 1 i z i z z i.
1 i 1 i 2 21 i 1 i

            

 
                
  
Vậy z cần tìm là: 
1 1
z i
2 2
   . 
Vậy chọn đáp án D. 
Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình 
i 1 1
.
z 2 i 3 6i
 
 
A. 
1 3
z i.
7 7
   B. 
2 4
z i.
3 3
  C. 
3 21
z i.
10 10
  D. 
3 5
z i
2 2
  
Hướng dẫn giải 
Điều kiện: z 0 
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành: 
    
 
 
 
  
i 1 1 i 1 1 i 2 i 1 2i
z 2 i 3 6i z 2 i z 4 13 1 2i 3 1 2i 1 2i
3 2 ii 2 i 1 2i i 1 2i i 7 i
z 5 z 15 15 z 153 1 4
15i 7 i15i 15 105i 3 21
z z i.
7 i 49 1 10 107 i 7 i
 
       
     
   
       

 
      
  
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 5. Tìm nghiệm của phương trình:  
1
1 2i z 2 i iz 0
i
 
       
 
. 
A. z 1,z i  B. z 1,z i   C. z i,z i   D. z i,z 1   
Hướng dẫn giải 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 7 
Ta cĩ: 
 
 
1
iz 0 (1)1
i1 2i z 2 i iz 0
i
1 2i z 2 i 0 (2)

            
     
Giải (1): 2(1) i z 1 0 z 1 0 z 1        
Giải (2): 
  
  
2 i 1 2i2 i 2 2 i 4i
(2) z z z i z i
1 2i 1 41 2i 1 2i
       
         
  
Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm là z i và z i  . 
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình 
 
3
7 i 3 i
2z 1
2i 1
 


. 
A. z 1 B. z i C. z i  D. z 2 
Hướng dẫn giải 
Điều kiện: 
1
z .
2
  Ta cĩ:  
3
2i 1 11 2i   . 
 
      
      
3
3
3
7 i 3 i
7 i 2z 1 2i 1 3 i
2z 1
2i 1
2i 1 3 i 11 2i 3 i
2z 1 5 z 2.
7 i 7 i
 
      

   
      
 
Vậy chọn đáp án D. 
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình 
 
2
2 i z 2z 1
.
10 5i
3 i
  


A. z 2i B. z i 1  C. z i  D. z 2 i  
Hướng dẫn giải 
 
     
        
        
 
2
2
2 2
2 2
2 i z 2z 1
2 i z 10 5i 2z 1 3 i
10 5i
3 i
2 i 10 5i 10 5i z 2 3 i z 3 i
10 5i 2 3 i z 3 i 2 i 10 5i
26 7i z 7 26i z i.
  
       

        
 
        
  
       
Vậy chọn đáp án C. 
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 8 
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 
z 5i
2i 3
z 2 i

 
 
. Tính mơ-đun của số phức z 2i . 
A. 4 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ:
  
z 5i 4 12i
2i 3 z 5i 3 2i z 2 i z 4 2i
z 2 i 2 2i
 
           
   
Nên z 2i 4 4i   .. Vậy z 2i 4 2  . 
Vậy chọn đáp án A. 
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  
1 3i
1 2i z 2 i
1 i

   

. Tính mơ-đun của z. 
A. 3 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ:  
1 3i 1 7
1 2i z 2 i z i z 2
1 i 5 5

        

Vậy chọn đáp án C. 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 9 
BÀI TỐN 2. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ PHƯƠNG 
TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Phương pháp 
1. Ta nhắc lại căn bậc hai của số phức 
Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2z w được gọi là một căn bậc hai 
của w. Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình 2z w 0.  
a) Trường hợp w là số thực 
 Căn bậc hai của 0 là 0. 
 Xét số thực w a 0  
Khi a 0 , ta cĩ   2z a z a z a .    
Phương trình 2z a 0 z a    hoặc z a.  
Vậy số thực a dương cĩ hai căc bậc hai là a và a. 
Khi a 0 , ta cĩ     2 2 2z a z ai z ai z ai .         
Phương trình 2z a 0 z ai     hoặc z ai.   
Vậy số thực a âm cĩ hai căn bậc hai là ai và ai.  
Ví dụ: 21 i   -1 cĩ hai căn bậc hai là i và –i. 
 2 2 2a a .i   2a cĩ hai căn bậc hai là ai và –ai. 
b) Trường hợp w a bi   a,b R,b 0  
Đặt z x yi  ,  x,y R 
z là căn bậc hai của w  
2
2 2 2
z w x yi a bi x y 2xyi a bi           
2 2
x y a
.
2xy b
  
 

Giải hệ phương trình này, ta luơn tính được hai nghiệm  x;y . 
Mỗi nghiệm (x;y) của hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z x yi  của số phức 
w a bi.  
Kĩ thuật MTCT tìm căn bậc hai của số phức 
Giả sử ta cần tìm căn bậc hai số phức  z a bi, a,b   
 Bước 1: Nhập vào màn hình a bi và ấn phím  {lưu lại số phức a bi } 
 Bước 2: Nhập vào màn hình 
 arg Ans
Ans
2
 rồi ấn phím  
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 
 Bước 3: Ấn phím S D nếu màn hình khơng hiển thị đầy đủ. Lúc này máy sẽ 
hiển thị số phức dạng i 
 Bước 4: Kết luận căn bậc hai cần tìm là  i  
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức z 5 12i   
Hướng dẫn thực hành 
 Bước 1: Nhập vào màn hình 5 12i  và ấn 
phím  
 Bước 2: Nhập vào màn hình 
 arg Ans
Ans
2
 
rồi ấn phím  ta được kết quả là 2 3i 
 Bước 3: Bỏ qua vì màn hình đã hiển thị 2 3i 
 Bước 4: Kết luận căn bậc hai cần tìm là 
 2 3i  
2. Phương trình bậc hai 
Xét phương trình: 2Az Bz C 0   (A,B,C là số phức A 0 ) (1) 
Ta cĩ 2B 4AC.   
 Nếu 0,   cĩ 2 căn bậc hai là  và  , phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt 
là: 
1
B
z
2A
  
 và 
2
B
z .
2A
 
 
 Nếu 0,  phương trình (1) cĩ nghiệm kép 
1 2
B
z z .
2A
   
Chú ý: 
 Ta chứng minh được với mọi phương trình bậc hai hệ số thực, nếu z x yi  
 x,y R và y 0 là một nghiệm thì z x yi  cũng là nghiệm của phương trình 
đĩ. 
 Do tính chất của phép nhân số phức, định lí Vi-et vẫn đúng cho phương trình bậc 
hai với ẩn z C. Do đĩ các cách tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai vẫn áp 
dụng được. 
Chẳng hạn: 
C
A B C 0 z 1,z
A
      ; 
C
A B C 0 z 1,z .
A
        
KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ PHỨC 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11 
 Bước 1: Ghi vào màn hình 
 
2
arg D B E B E
D B 4AC : E D : X : Y
2 2A 2A
   
      
 Bước 2: Ấn CALC và khai báo các hệ số 
Ví dụ: Giải phương trình    2z 2 1 2i z 7 4i 0;     
Dùng MTCT 
Vậy hai nghiệm của phương trình là: z 1 2i,z 3 2i     
I. MỘT SỐ VÍ SỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG 
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức 
1
a) 9; b)3 4i; c)1 3i; d) .
4i

  
Giải
a) Gọi z là căn bậc hai của 9 , ta cĩ: 
2 2 2
z 9 z 9i z 3i      hoặc z 3i.  
Vây -9 cĩ hai căn bậc hai là 3i và -3i. 
b) Gọi  z x yi, x,y R   là căn bậc hai của 3+4i, ta cĩ: 
 
 
 
2
2 2 2
2 2
2 2
z 3 4i x yi 3 4i x y 2xyi 3 4i
x y 3 1x y 3
2xy 4 xy 2 2
          
    
  
   
Từ (2) x 0  và 
2
y
x
 thay vào (1) ta được: 
 
 2
2 4 2
2 2
x 1 loại4
1 x 3 x 3x 4 0
x x 4
  
       
 
Với 2
x 2 y 1
x 4
x 2 y 1
   
  
    
Vậy 3 4i cĩ hai căn bậc hai là 2 i và  2 i .  
Dùng MTCT 
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 12 
Vậy 3 4i cĩ hai căn bậc hai là 2 i và  2 i .  
c) Gọi z x yi  ,  x,y R là căn bậc hai của 1 3i 
Lúc đĩ: 
 
 
 
2 2
2
2 2
x y 1 1
x yi 1 3i x y 2xyi 1 3i
2xy 3 2
  
         
 
Từ (2) x 0  và 
3
y
2x
  thay vào phương trình (1) ta được 
 
 2
2 4 2
2
2
1
x loại
3 32
1 x 1 4x 4x 3 0 x .
234x
x
2

 
          
 

Với 
3 3 2
x y
2x 22
      
Với 
3 3 2
x y .
2x 22
      
Vậy cĩ hai căn bậc hai của 1 3i là 
6 2
z i
2 2
  và 
6 2
i.
2 2
  
Dùng MTCT 
Vậy cĩ hai căn bậc hai của 1 3i là 
6 2
z i
2 2
  và 
6 2
i.
2 2
  
d) Gọi  z x yi, x,y R   là căn bậc hai của 
1
4i
 
Ta cĩ: 
 
2
2
2 2 2
2 2
2 44
2
2
1 i i
z x yi x y 2xyi
4i 4i 4
1 1
1y yx y 0
y8x 8x
8x
1
1 12xy
x 0 x64x 1 04
6464x
1 1 2 1 21
x x xy
4 48x 2 2 2 2 2 2 hoặc
1 1 2 2x y y y .
8 8x 4 4
        
 
        
      
        
 
            
    
             
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 13 
Vậy 
1
4i
 cĩ hai căn bậc hai là 
2 2
z i
4 4
  và 
2 2
z i .
4 4
 
   
 
 
Dùng MTCT 
Vậy 
1
4i
 cĩ hai căn bậc hai là 
2 2
z i
4 4
  và 
2 2
z i .
4 4
 
   
 
 
Nhận xét: Mọi số phức đều cĩ hai căn bậc hai đối nhau. 
Ví dụ 2. a) Tìm số phức z thỏa mãn: 2z 164 48 5i   
b) Tìm số phức w thỏa mãn: 4w 164 48 5i   
Giải 
a) Đặt  z x yi, x,y R   , ta cĩ: 
 
 
 
2
2
2 2
2 2
z 164 48 5i x yi 164 48 5i
x y 2xyi 164 48 5i
x y 164 1
xy 24 5 2
       
     
   
 

Từ (2) x 0  và 
24 5
y
x
 thay vào (1) ta được 
 
2
2
2 4 2
2
x 18024 5
1 x 164 x 164x 2880 0 x 4
x x 16
   
            
     
 Với 
x 4 y 6 5.   
Với x 4 y 6 5.     
Vậy cĩ hai số phức z thỏa mãn 2z 164 48 5i   là 
z 4 6 5i, z 4 6 5i.     
b) Ta cĩ 2z 164 48 5i   và 4w 164 48 5i   
Suy ra:   4 2 2 2 2w z w z w z 0 w z.        
Theo kết quả trên ta cĩ   2z 4 6 5i w 4 6 5i      hoặc 2w 4 6 5i.   
Đặt  w x yi, x,y R .   
 Trường hợp 1: Với 2w 4 6 5i  ta cĩ  
2
x yi 4 6 5i   
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 14 
 
 
2 2
2 2
x y 4 1
x y 2xyi 4 6 5i
2xy 6 5 2
  
      

Từ (2) x 0  và 
3 5
y
x
 thay vào (1) ta được 
2
2
2 4 2
2
x 53 5
x 4 x 4x 45 0 x 3
x x 9
   
           
     
Với 
3 5i
x 3 y 5
x
    
Với 
3 5i
x 3 y 5.
x
      
Vậy  w 3 5i .   
 Trường hợp 2: Với 2w 4 6 5i,   ta cĩ  
2
x yi 4 6 5i    
 
 
2 2
2 2
x y 4 1
x y 2xyi 4 6 5i
2xy 6 5 2
   
       
 
Từ (2) x 0  và 
3 5
y
x
  thay vào (1) ta được 
2
2
2 4 2
2
x 93 5
x 4 x 4x 45 0 x 5
x x 5
   
             
     
Với 
3 5
x 5 y 3
x
      
Với 
3 5
x 5 y 3.
x
      
Vậy  w 5 3i .   
Kết luận: Cĩ 4 số phức w thỏa mãn 4w 164 48 5i   là: 
 w 3 5i   ,  w 5 3i .   
Ví dụ 3. a) Tìm số phức z thỏa mãn 4z 1;  
b) Tìm số phức z thỏa mãn 
4
z 1
1.
z i
 
  
 
Giải 
a) Ta cĩ:   4 4 2 2 2 2z 1 z i z i z i 0 z i.           
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 15 
 Với 2z i, ta đặt  z x yi, x,y R   ta cĩ: 
 
 
 
2 2
2
2 2
x y 0 1
x yi i x y 2xyi i
2xy 1 2
  
       

Từ (2) x 0  và 
1
y
2x
 thay vào (1) ta được 
2 4 2
2
1 1 1 1
x x x x .
4 2 24x
         
o Với 
1 1 1
x y .
2x2 2
      
o Với 
1 1 1
x y .
2x2 2
      
Vậy 
1 1
z i .
2 2
 
   
 
Kết luận: 4
1 1
z i
2 2
z 1
1 1
z i .
2 2
  
    
   
  
    
  
b) Theo kết quả câu a ta cĩ: 
4
z 1 1 i
z iz 1 2 2
1 .
z i z 1 1 i
z i 2 2
  
    
          
    
  
Xét 4 trường hợp: 
 Trường hợp 1: 
  
 
  
  
   
 
   
 
 
2
2
z 1 1 i
2z 2 1 i z i 2z 2 z i iz 1
z i 2 2
2 1 i 2 1 i
2 1 i
2 1 i z 2 1 i z
2 1 i 2 1 i 2 1 i
2 1 1 2 2 1 i 2 2 2 2 2 1 i 1 2 2 1 i
z
4 2 2 2 2
2 1 1
1 2 2 1 i
1 i
z z .
2 22 2 1

            

    
        
     
         
   
  
  
     

 Trường hợp 2: 
 Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 16 
  
 
 
  
   
 
2
2 2
2
2
z 1 1 i
( ) 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i i
z i 2 2
2z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i
2 1 i 2 1 i 2 2 1 i
2 1 i
z
2 1 i 2 1 i 2 1 i
2 1 1

               

            
      
   
       
     
 
2 2 2 2 2 1 i 2 1 2 1 i 2 1 2 1 i
z
4 2 2 2 2 2 2 1
1 i
z .
2 2
        
   
  
  
 Trường hợp 3: 
  
 
  
  
    
 
2
2
z 1 1 1
i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i i
z i 2 2
2z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i
2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 1
2 1 i
z
2 1 i 2 1 i 2 1 i
2 1 1
2 2i 1 i 1 i
z z .
4 2 2 2 2 2 2 2 2

            

           
           
   
       
 
     
   
 Trường hợp 4: 
  
 
  
  
    
 
2
2
z 1 1 1
i 2z 2 1 i z i 2z 2 z iz i i
z i 2 2
2z 2 z iz i 1 2 1 i z 2 1 i
2 1 i 2 1 i 2 1 2 1 1 i 2 1 2 1
2 1 i
z
2 1 i 2 1 i 2 1 i
2 1 1
2 2i 1 i 1 i
z z .
4 2 2 2 2 2 2 2 2

               

            
           
   
       
 
     
   
Kết luận: 
4
z 1 1 i
1 z
z i 2 2
 
      
 
 hoặc 
1 i
z
2 2
  hoặc 
1 i
z
2 2 2 2
 
 
hoặc 
1 i
z
2 2 2 2
 
 
 . 
Ví dụ 4. Giải các phương trình bậc hai sau đây: 
a) 2z 4z 5 0;   b) 2z 8z 16 2i 0;    
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 17 
c)  
2
2z 1 9 0;   d) 2
25
z 3z 0.
4
   
Giải 
a) Phương trình: 2z 4z 5 0   cĩ các hệ số A B C 1 4 5 0      nên phương trình cĩ 
hai nghiệm là 
1 2
z 1,z 5.   
b) Phương trình  
2
2
z 8z 16 2i 0 z 4 2i       
   
2 2
z 4 1 i    (chú ý là  
2
2
1 i 1 i 2i 1 1 2i 2i        ) 
z 4 1 i z 5 i
z 4 1 i z 3 i
     
  
      
c) Phương trình        
2 2 2 2
2z 1 9 0 2z 1 9 2z 1 3i          
1 3
z i
2z i 3i 2 2
2z i 3i 1 3
z i
2 2

   
  
     

d) Phương trình 2
25
z 3z 0
4
   cĩ: 
 
2