Toán học - Chủ đề 5: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện

Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 1 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2 
MỤC LỤC 
CHỦ ĐỀ 5. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN .......................................................... 3 
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ......................................................................... 3 
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ....................................... 18 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3 
CHỦ ĐỀ 5. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 
Phương pháp 
 Tìm số phức  z x yi, x,y   thật ra là tìm phần thực x và phần ảo y của nó. 
 Chú ý rằng: 
2
2
z z , 
2
2
z z khi z là số thực 
 
x 0
z x yi 0
y 0
 
    

 , 
 
1 1 1 2 2 2
z x y i; z x y i    . Khi đó: 1 2
1 2
1 2
x x
z z
y y
 
  

  z x yi, x,y   . Khi đó z là số ảo (thuần ảo) khi x 0 , z là số thực khi y 0 . 
 Trong trường hợp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất ta làm như sau: 
 Bước 1: Tìm tập hợp điểm ( ) các điểm biểu diễn của z thỏa mãn điều kiện. 
 Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ( )  sao cho khoảng 
cách OM có giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất ) 
I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG 
Ví dụ 1. Tìm số phức z thỏa mãn 
2
a) z z 0; 
2
b) z z 0; 
2
c)z 2z.
d) 2z z z  ; e) 3z z 
z
f) z 2.
z
  
Giải 
a) Đặt  z x yi, x,y   . Phương trình 2z z 0  trở thành : 
2 2 2 2
2 2 2 2 x y x y 0
x y 2xyi x y 0
2xy 0
    
      

22 2 2 2
2 2 2
x 0 y 0 x 0 y 0
x 0y yy y 0 x x 0
x 0 x 0 x 0y 0 y 0
x 0 x 0y y y y 0 y y 0
x 0 x 0 x 0
y 0 y 1 y 1
        
      
        
        
        
           
    
    
     
Vậy số phức cần tìm là z 0, z i, z i    . 
b) Đặt    2 2 2
z x -yi
z x yi, x,y
z x y 2xyi
 
    
  
Phương trình 2z z 0  trở thành: 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 4 
 
 
 
2 2 2 2
2 2
2 22 2
x y 2xyi x yi 0 x x y 2xy y i 0
x x y 0 *
x x y 0x x y 0 y 0
y 2x 1 02xy y 0 1
x
2
          
   
                    
Với y 0 thay vào (*) ta được: 2
x 0
x x 0
x 1
 
   
 
Với 
1
x
2
 thay vào (*) ta được: 
3
y
2
3
y
2




 

Vậy các số phức cần tìm là 
1 3 1 3
z 0, z 1, z i, z i.
2 2 2 2
       
c) Đặt  z x yi x,y R z x yi.      Phương trình 2z 2z trở thành 
 
2 2
2 2 x y 2x (1)
x y 2xyi 2x 2yi
xy y (2)
(2) y x 1 0 y 0,x 1.
  
     
 
      
Với y 0 , (1) 2x 2x 0 x 0 x 2.       
với x 1  , (1) 2y 3 y 3     
Vậy số phức cần tìm là: z 0,z 2,z 1 i 3,z 1 i 3        . 
d) Giả sử z x yi   x,y . Khi đó: 
 
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
z z z x yi x y x yi
x y x y x
x y x y 2xyi x yi
2xy y
       
     
         
   
 TH1: 
1
x
2
  ta được 
2 2 2 21 1 1 1 3
y y y y
4 4 2 4 4
         
2
2
2 4 2 4 2
3
3y 0
y 5 2 54
y4
21 3 19
y y y 16y 40y 5 0
4 2 16

    
     
       
 TH2: 2y 0 x x x x 0 x y 0.         
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 5 
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là: 
1 5 2 5
z 0;z i
2 2

    
e) Giả sử  z x yi x,y z x yi      
   
 
 
3
3 3 2 2 3
2 2
3 2
2 3 2 2
2 2
2
2
2 2
z z x yi x yi x 3xy 3x y y i x yi
x x 3y x
x 3xy x
3x y y y y 3x y y
x 0
x 0,y 0 z 0
x 3y 1 0
x 0,y 1 z i
y 0
x 1,y 0 z 1
3x y 1 0
          
     
  
      

 
    
  
      
  
      
  
Vậy phương trình cho có 5 nghiệm z 0,z i,z 1     
Cách 2: 
2 4 2 2 2
3 3
z z z.z z.z z z z z z 1 0
 
         
 
2
z 0  hoặc 
2
z 1 0  
Khi 
2
z 0 thì z 0 , do đó z 0 là một nghiệm của phương trình 3z z 
Khi z 1 0 z 0    nên phương trình 3 3z z z.z z.z   hay 4z z.z 1  
  
2
2 2
2
z 1 0 z 1
z 1 z 1 0
z iz 1 0
    
      
   
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm z 0,z i,z 1     . 
f) Gọi số phức za bi; a,b  . Điều kiện: 
a 0
z 0
b 0
 
  

Ta có:  2 2
z
z 2 z z.z 2z a bi a b 2 a bi
z
           
2 2
2 2 a a b 2a
a a b bi 2a 2bi
b 2b
   
       
 
Giải hệ ta được: 
a 1
b 0
 


 hoặc 
a 0
b 0
 


 (loại) 
Thử lại ta thấy z 1 thỏa mãn bài toán. Vậy số phức cần tìm là z 1 . 
Ví dụ 2. Tìm số phức z thỏa mãn phương trình 
a)  
3
z 2z 8  ; b) 2z 2011 0  ; 
2 3
c) z z 
Giải 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 6 
a) Đặt t z 2z  . Ta có phương trình 
   3 3 2
2
t 8 t 8 0 t 2 . t 2t 4 0
t 2
t 2
t 1 3i
t 2t 4 0
t 1 3i
        
 
 
     
   
   
Gọi  z a bi a,b   
Ta có  t z 2z a bi 2 a bi a 3bi         
 Với 
a 2 a 2
t 2 a 3bi 2 z 2
3b 0 b 0
    
          
  
 Với t 1 3i a 3bi 1 3i       
a 1
a 1 3
z 1 .i
3
33b 3 b
3
 
  
     
    

Vậy 
3
z 2;z 1 i
3
    
b) Đặt  z a bi a,b   
Khi đó: 
   2 2 2 2 2 2 2 2 2z a b 2abi z a b 2abi z 2011 a b 2011 2abi             
Do đó  
2 2
2 2 2 a b 2011 0
z 2011 0 a b 2011 2abi 0
2ab 0
   
        
 
Nếu b 0 thì 2a 2011 0  (vô lý). Do đó b 0 a 0   . Dẫn đến b 2011  
Vậy số phức z cần tìm là: 2011.i 
c) Đặt z x yi  . Ta có: 
 
2 3 2 2 3
2 2 3
xy 0
z z x y 2xyi z 0
x y z 0 *
 

       
  
x 0 thay vào (*) 
2
2 3
3
y 0
y z 0 y 0 z 0
z 0
 
       

y 0 z x   , thay vào (*) 2 3x x 0 x 0, x 1       . 
Vậy z 0, z 1   
Ví dụ 3 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn: 
a)      
2
1 i 2 i z 8 i 1 2i z      ; b)      
2
2 3i z 4 i z 1 3i      . 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 7 
c)      
2
2 3i z 4 i z 1 3i      ; d) z 2z 3 2i   . 
Giải 
a) Ta có: 
     
2
1 i 2 i z 8 i 1 2i z           
2
z 1 i 2 i 1 2i 8 i
 
      
  
 z 2i 2 i 1 2i 8 i       
  8 i 1 2i8 i
z 2 3i
2i 1 5
 
    

Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 3 . 
b) Đặt  z x yi z x yi, x,y      . 
Lúc đó: 
             
 
2 2
2 3i z 4 i z 1 3i 2 3i x yi 4 i x yi 1 3i
6x 4y 8 x 2
6x 4y 2 x y i 8 6i .
2x yb 6 y 5
              
    
        
   
Vậy phần thực của z là 2 , phần ảo là 5 . 
c) Đặt z a bi, (a,b )   , ta có: 
             
   
2 2
2 3i z 4 i z 1 3i 2 3i a bi 4 i a bi 1 3i
6a 2b 8 a 7
6a 2b 4a 2b i 8 6i
4a 2b 6 b 17
              
   
        
     
Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17. 
Phần thực của số phức cần tìm là 3 , phần ảo là 1. 
d) Đặt z a bi, (a,b )   . Từ giả thiết ta có: 
 
3a 3 a 1
a bi 2 a bi 3 2i 3a bi 3 2i
b 2 b 2
  
           
    
Vậy số phức z có phần thực bằng 1, phần ảo bằng 2 . 
Ví dụ 3. a) Cho số phức z thỏa mãn    z 1 2i z 2 1 2i    . Tìm phần thực và phần ảo của 
số phức 2w z 3z  . 
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
25i
z
, biết rằng  
z
4 3i z 26 6i
2 i
   

. 
Giải 
a) Giả sử z x yi (x,y )   . Từ giả thiết suy ra 
2x 4 x 2
z 2 i
x y 1 y 1
    
    
   
. 
Do đó    
2
2
w z 3z 2 i 3 2 i 3 i         . 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 8 
b) Gọi z a bi, (a,b )   .
 Ta có 
         
z
4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i
2 i
           

   22a 16b 14a 18b i 130 30i
22a 16b 130 a 3
z 3 4i
14a 18b 30 b 4
      
   
     
     
Do đó 
 25i 3 4i25i
4 3i
z 25

    . 
Vậy phần thực là -4, phần ảo là 3. 
Ví dụ 4. a) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 và 2z là số thuẩn ảo. 
b) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 và z là số ảo. 
c) Tìm số phức z thỏa mãn z 5 và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo. 
d) Cho số phức z thỏa mãn  1 3i z là số thực và z 2 5i 1   
e) Tìm số phức z biết iz 1 2  và  1 i z 1 2i   là số thuần ảo. 
Giải 
a) Đặt  z x yi, x,y   . 
Ta có: 2 2 2 2z 2 x y 2 x y 2      
Mặt khác:  
2
2 2 2
z x yi x y 2xyi     là số thuần ảo nên 2 2x y 0  
Ta có hệ: 
2 2 2
2 2 2
x y 2 x 1
x y 0 y 1
    
 
    
Vậy các số phức cần tìm là: 
1 2 3 4
z 1 i, z 1 i, z 1 i, z 1 i.          
b) Đặt  z x yi, x,y   . 
Ta có:  2 2 2 2z 2 x y 2 x y 4 *       
Mặt khác: z x yi  là số ảo nên x 0 . 
Thay x 0 vào (*) ta được 2
y 2
y 4 .
y 2
 
  
 
Vậy các số phức cần tìm là: 
1 2
z 2i, z 2i.   
c) Đặt  z x yi, x,y   . Ta có: 
 2 2 2 2z 5 x y 5 x y 25 *       
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 9 
Mặt khác: Số phức có phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo nên x 2y thay vào phương 
trình (*) ta được: 2 25y 25 y 5 y 5.      
Vậy số phức cần tìm là: 
1 1
z 2 5 5i, z 2 5 5i     . 
d) Gọi  z a bi; a,b   
Ta có       1 3i z 1 3i a bi a 3b 3ai bi a 3b b 3a i            
 1 3i z là số thực b 3a 0 b 3a     
z a bi  ta có      
2 2
z 2 5i 1 a 2 b 5 i 1 a 2 5 3a 1              
a 2
7
a
5
 

 

 (thỏa mãn) 
Vậy có hai số phức z thỏa mãn là 
7 21
z 2 6i;z i.
5 5
    
e) Đặt  
z ' 1
z ' iz 1 z *
i

    và 
2
z ' 2 z '
z '
   , khi đó ta có: 
     
1 i 1 i
1 i z 1 2i iz 1 1 2i 1 i z '
i i
  
          
 
Số phức này là số ảo, do đó ta có:        1 i z ' 1 i z ' 1 i z ' 1 i z '         
 
   2
1 i
.2 1 i z ' z' 2i z ' 1 i
z '

           . 
Thay vào (*) ta có z 1;z 1 2i    . 
Ví dụ 5. a) Tìm số phức z thỏa mãn  z 2 i 10   và zz 25 
b) Tìm số phức z thỏa mãn: 
22
z 2z.z z 8   và z z 2  . 
c) Tìm số phức z biết: z 2 và      z 1 2 i 3 z 1 2 i 3 14      
d) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: 
z i
1
z 1



 và 
z i
1
z 3i



e) Tìm số phức z thỏa mãn z 1 5  và  17 z z 5zz 0   . 
f) Tìm số phức z thỏa mãn z 1 2i 5   và z.z 34 . 
Giải 
a) Gọi z = a + bi  a R,b R  , 
Ta có:      z 2 i a 2 b 1 i;      
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 
Từ giả thiết ta có:  z 2 i 10        
2 2
a 2 b 1 10 1     
và z.z 25  2 2a b 25 2   
Giải hệ (1) và (2) ta được 
a 3 a 5
b 4 b 0
  
 
  
Vậy các số phức cần tìm là: z 3 4i  hoặc z 5 
b) Gọi z x yi  , ta có:  
2
2 2
z x yi; z z zz x y x,y       
   
 
22
2 2
z 2z.z z 8 4 x y 2 1
z z 2 2x 2 x 1 2
     
     
Từ (1) và (2) tìm được x 1; y 1   . 
Vậy các số phức cần tìm là 1 i và 1 i . 
c) Ta có: 2z z 3i 2z z 3i 10    
   2 z z 3i z z 10     
Đặt z a bi, z a bi    
Dẫn đến: 
5 3b
2a 3b 5 a
2

     
Kết hợp với giả thiết ban đầu: 2 2z 2 a b 4    
Nên kết hợp lại ta được số phức: 
13 3 3
z 1 3i; z i
7 7
    
d) Gọi z x yi, x,y   
x 1
y,x 0
y 3
 


 
. Từ bài toán suy ra: 
   
   
2 2
2 2
2 2
2 2
x y 1 x 10 y
x y
x y 1
8y 8
x y 1 x y 3

      
    
     

. 
Vậy z 1 i  
e) Đặt z a bi  , ta có: 
   
2
2 2 2
z 1 5 a 1 b 5 a b 2a 24 1          
Mặt khác    2 2 3417 z z 5z.z 0 a b a 2
5
      
Thay (2) vào (1) được 
24
a 24 a 5
5
   . Kết hợp với (1) có 2b 9 b 3    
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11 
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là 5 3i và 5 3i . 
f) Gọi    z a bi z 1 2i 5 a 1 b 2 i 5           
     
2 2
a 1 b 2 5 1     
Ta có     2 2z.z 34 a bi a bi 34 a b 34 2        
Từ (1) và (2) ta có hệ 
2 2
2 22 2
a 3
b 5
a 2b 7a b 2a 4b 20
3
a
a b 34a b 34 5
29
b
5
 


                      

Vậy 
29 3
z 3 5i, z i
5 5

    . 
Ví dụ 6. a) Cho số phức z thỏa mãn phương trình    1 i z 2 i z 4 i     . Tính mô-đun của 
z. 
b) Tìm mô-đun của số phức z biết z 3z 1 2i   . 
c) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức  2z 1 i z 11i   . Tính mô-đun của số phức z. 
d) Tìm mô-đun của số phức z, biết rằng  
z
4 3i z 26 6i
2 i
   

e) Cho hai số phức 
1 2
z ,z thỏa các điều kiện sau: 
1 2
z 3z 4  và 
1 2
z z 1.  Hãy tính 
1 2
3z z . 
Giải 
a) Ta có: 
     1 i z 2 i z 4 i *     
Gọi z a bi (a,b )   
       
a 2
* 1 i a bi 2 i a bi 4 i 3a 2b bi 4 i
b 1
z 5
 
              
 
  
b) Đặt z a bi, (a,b )   . Khi đó theo giả thiết ta có: 
   
1
a 1
a bi 3 a bi 1 2i 4a 2bi 1 2i z i4
4
b 1
1 17
z 1
16 4


            
 
  
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 12 
c) Đặt z a bi, (a,b )   
    
 
2 2 2
2 2
22 2
2
z 1 i z 11i a b 2abi 1 i a bi 11i
a b 2abi a b a b 11 i
a b a 2
a b
2a 2a 11 0 (VN) b 3a b a b
a b 1
a b 1 a 32ab a b 11
2ab a b 11
b 22b 2b 12 0
         
       
     
    
                                   
Vậy 2 2z a b 13   . 
d) Gọi  z a bi a,b   . Ta có: 
         
   
z
4 3i z 26 6i 2 i a bi 5 4 3i a bi 5 26 6i
2 i
22a 16b 14a 18b i 130 30i
           

      
22a 16b 130 a 3
14a 18b 30 b 4
   
  
     
Vậy z 3 4i z 5    
Cách 1. 
  
    
   
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2
2 2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
z 3z 4 z 3z 16 z 3z z 3z 16
z 3z z 3z 16 z z 3 z z z z 9z z 16
z 3 z z z z 9 z 16 1 3 z z z z 9 16
z z z z 2
        
        
         
  
Ta có: 
     
 
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
3z z 3z z 3z z 3z z 3z z
9z z 3 z z z z z z 9 3.2 1 4
      
       
Vậy 
1 2
3z z 2.  
Cách 2. Đặt  
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
z x y i, z x y i, x ,y ,x ,y     
Ta có 
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
z z 1 x y x y 1       
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 13 
   
   
   
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
z 3z 4 x 3x y 3y 16
x y 9 x y 6 x x y y 16
6 x x y y 6 x x y y 1
      
      
     
Lúc đó: 
   
     
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
3z z 3x x 3y y
9 x y x y 6 x x y y 10 6 4
    
        
Do đó: 
1 2
3z z 2.  
Ví dụ 7. a) Tìm số phức z thỏa mãn:   2 2z i z z 0   . 
b) Tìm số phức z thỏa mãn 
  z 1 1 iz
i
1
z
z
 


. 
c) Tìm số phức z thỏa mãn 
 
 
1 i
z 1 i z .
1 i z

  

d) Tìm số phức z thỏa mãn   
2z i
z 1 1 i z
1 i

   

. 
e) Tìm số phức z thỏa mãn 
2 iz z 2i
2z
2 i 1 2i
 
 
 
. 
Giải 
a) Ta có: 
  
 
 
2
2 2
2
z i 0 1
z i z z 0
z z 0 2
  
   
  
 Giải (1): Đặt  z x yi, x,y   . Phương trình (1) trở thành: 
 
 
2 2 2 2
2 2
x y 2xyi i 0 x y 2xy 1 i 0
x y
x y 0
x y
2xy 1 0
2xy 1 0 *
        
 
   
    
    
Với x y thay vào (*) ta được: 22x 1 0  (vô nghiệm) 
Với x y  thay vào (*) ta được: 2
2
2x 1 0 x
2
      
Vậy 
1 2
2 2 2 2
z i, z i.
2 2 2 2
     
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 14 
 Giải (2): Đặt  z a bi, a,b   . Phương trình (2) trở thành: 
 
 
2 2 2 2
2 2
2 2
a b 2abi a bi 0 a b a 2ab b i 0
a b a 0 **
a b a 0 b 0
2ab b 0 1
a
2
          
   

            
Với b 0 thay vào (**) ta được:  2
a 0
a a 0 a a 1 0
a 1
 
      

Vậy ta được 
3 4
z 0, z 1  
Với 
1
a
2
  thay vào (**) ta được: 2 2
1 1 3 3
b 0 b b
4 2 4 2
        
Vậy ta được 
5 6
1 3 1 3
z i, z i.
2 2 2 2
      
b) Điều kiện: z 0, z 1  . 
     
  
   
   
2
2
z z 1 1 iz z z 1 1 iz
PT i i z 1 iz z 1 i
z 1 z 1z 1
z i z z 1 i *
   
       
 
   
Giả sử z x yi; x,y   . Khi đó  * trở thành: 
 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
x yi x y i x y 1 i x x y x y y 1 i 0
x 0
x 0 x 0
y 1
y y y 1 0x y x y y 1 0
y 1 2
   
                
   
 
     
      
             
Nếu x 0,y 1 2   thì  z 1 2 i  , thỏa mãn điều kiện. 
Nếu x 0,y 1  thì z i  , khi đó z 1 không thỏa mãn điều kiện. 
Vậy số phức cần tìm là  z 1 2 i  . 
c) Đặt (z x yi  với 2 2x,y ;x y 0   ). Ta có 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 15 
 
   
  
 
 
 
 
 
   
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 i 1 i
z 1 i z z.z z 1 i z
1 i1 i z
x y i x y x y x y i
x y x y x y x y x y
1 x y x y x y x y 1
x y 0 1
xy 0
x y x y 1 2
 
      

       
 
       
  
         
  


 

   
+) Với x 0, tac có   22 y y 1 y 1,      thỏa mãn (1). Suy ra z i  
+) Với y 0, tac có   22 x x 1 x 1,      không thỏa mãn (1), loại 
d) Đặt z x yi  với x,y . Khi đó   
2z i
z 1 1 i z
1 i

   

  
  
   
 
2 2
2 2
2 2
2
x 1 yi 1 i
x 1 yi 1 i x y
2
3x 1 y 3x 1 y i 2 x y
x 0,y 1
y 3x 13x 1 y 2 x y
3 1
x ,y10x 3x 03x 1 y 0
10 10
  
      
       
            
    
        
Vậy z i  hoặc 
3 1
z i
10 10
   
e) Ta có         
2 iz z 2i
2z 2 iz 1 2i z 2i 2 i 2 2 i 1 2i z
2 i 1 2i
 
          
 
      2 4i 2 i z 4 3i z      (1). 
+) Gỉa sử  z a bi a,b   . 
Lúc đó: (1)        2 4i 2 i a bi 4 3i a bi        
       2 2a b 4 a 2b i 4a 3b 3a 4b i
2 2a b 4a 3b 3a 2b 1 a 1
z 1 i
4 a 2b 3a 4b a b 2 b 1
         
        
       
        
Vậy số phức cần tìm là z i 1  . 
Ví dụ 8. a) Tính môđun của số phức z biết 3z 12i z  và z có phần thực dương. 
Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 16 
b) Tìm số phức z có phần ảo bằng 164 và *n thỏa :
z
4i
z n


 . 
c) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z 1 2i z 3 4i     và 
z 2i
z i


 là một số thuần ảo. 
d) Tìm số phức z thỏa mãn:    z 1 . z