Toán học - Chủ đề 4: Một số dạng toán về chứng minh số phức

 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 1 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 2 
MỤC LỤC 
CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨC ........ 3 
I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
 .................................................. 3 
II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ............. 12 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3 
CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨC 
Phương pháp: Ta nhắc lại một số cơng thức cơ bản sau: 
Cho số phức    z x yi, x,y . Lúc đĩ 
  z x yi . 
  2 2z x y . 
 
2
z z.z . Cơng thức này chứng minh dễ dàng như sau: 
            
 
2
22 2 2z.z x yi x yi x y x y z . 
I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 
 
 
       
 
1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2 2
z z
a) z z z z ; b) z .z z .z ; c) , z 0
z z 
Áp dụng: Cho ba số phức 1 2 3z ,z ,z đều cĩ mơđun bằng 1. Chứng minh 
    1 2 3 1 2 2 3 1 3z z z z z z z z z . 
Giải 
Giả sử:      1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i, z x y i, x ,x ,y ,y 
a) Ta cĩ: 
 1 1 1z x y i và 
 2 2 2z x y i nên        1 2 1 2 1 2z z x x y y i 
Mà                  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z x x y y i z z x x y y i 
Vậy 
  1 2 1 2z z z z . 
b) Ta cĩ: 
            1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i 
Mặt khác: 
            1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x y i x y i x x y y x y x y i 
       1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z x x y y x y x y i 
Vậy 
1 2 1 2z .z z .z . 
c) Ta cần chứng minh bổ đề sau:  

   
1
1z z , z 0
Vì 

1
z. 1
z nên ta cĩ 
 

          
   
1
11 1z. 1 z. 1 z z
z z 
Áp dụng bổ đề trên, ta cĩ: 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 4 
 

                   
     
1
11 1
1 1 1 2 1 2
2 2 2 2
z z1 1
z . z . z .z z . z .
z z z z (ĐPCM) 
Áp dụng: Vì 
1 2 3z z z 1nên 
   
      
        
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
1 2 2 3 3 1
1 2 3 1 2 31 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
z z z z z z z z z z z z 1 1 1
z z z z z z
z z z z z zz z z
z z z z z z z z z
Lưu ý: Ta cĩ cơng thức tổng quát sau: Cho n số phức 1 2 n
z ,z ,...,z
 bất kỳ. 
Ta luơn cĩ: 
         
 
1 2 3 n 1 2 3 n
1 2 3 n 1 2 3 n
z z z ... z z z z ... z
z z z ...z z .z .z ...z . 
Trước hết ta chứng minh: 
        1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z 
Giả sử:    k k kz a b i, k 1,2,3,...,n và 

  
n
k
k 1
z z a bi 
Trong đĩ: 
 
  
n n
k k
k 1 k 1
a a , b b 
Ta cĩ: 
 
   
         
n n n n
k k k k k
k 1 k 1 k 1 k 1
z a bi a b a b i z 
Hay         1 2 3 n 1 2 3 nz z z ... z z z z ... z 
Bây giờ ta chứng minh  1 2 3 n 1 2 3 nz z z ...z z .z .z ...z * * bằng quy nạp 
Với n 2 : Giả sử    1 1 1 2 2 2z a b i, z a b i 
Ta cĩ:             1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b i 
Suy ra:       1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a a b b a b a b i 
Mặt khác:             1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z .z a b i a b i a a b b a b a b i 
Vậy với n 2 đẳng thức đúng. 
Giả sử (**) đúng với   n k, n 2 ta sẽ chứng minh hệ thứ đúng với  n k 1 
Thật vậy: 
Đặt  1 2 kz z z ...z , ta cĩ:  1 2 3 n 1 2 3 kz z z z ...z z .z .z ...z 
Với hai số phức z và k 1z ta cĩ:    k 1 k 1 1 2 3 k k 1z.z z.z z .z .z ...z .z 
Hệ thức cuối được chứng minh với  n k 1. 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 
a) 1 2 1 2z .z z . z ; b) 
11
2 2
zz
z z
Áp dụng: Tìm mơ đun các số phức sau: 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 5 
 
 
  
  
  
2 22 2
4 4
x y i 2xyx y 2xyi
u , w , x,y .
x y 2i xyxy 2 i x y
Hướng dẫn giải 
a) Cách 1. Đặt      1 1 1 2 2 2 1 2 1 2z x y i, z x y i, x ,x ,y ,y 
Ta cĩ: 
 2 21 1 1z x y và 
 2 22 2 2z x y 
Từ đĩ: 
  
 
     
   
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
z z x y , x y x y x y
x x y y x y y x 1
Mặt khác:             1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x y i x y i x x y y x y y x i 
Do đĩ: 
            
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z .z x x y y x y y x x x y y x y y x 1 
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh 
Cách 2. Vì 
2
z z.z nên 
   
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2z .z z .z .z .z z .z .z .z z .z .z .z z . z 
Suy ra: 1 2 1 2z .z z .z 
b) Cách 1. Trước hết ta chứng minh bổ đề: 
  
11 *z z ,z 
Thật vậy:     
1 1 1 1
z. 1 z . 1
z z z z
 hay 
  
11 *z z ,z 
Áp dụng bổ đề trên ta cĩ: 
     
1 11 11
1 1 2 1 2 1 2
2 2 2
zz 1
z . z .z z z z z
z z z
Cách 2. 
Vì 2 2z z nên      
1 2 1 2 1 2 11 1 2 1 2
2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
z .z z . z z . z zz z .z z .z
z zz .z z z z z
Lưu ý: Khơng cĩ cơng thức: Với mọi số phức 1 2z ,z :   1 2 1 2z z z z . Tuy nhiên ta cĩ bất 
đẳng thức sau:   1 2 1 2z z z z 
Thật vậy, gọi 1u biểu diễn 1z , 2u biểu diễn 2z thì 1 2u u biểu diễn 1 2z z 
Ta cĩ:   1 2 1 2z z u u 
* TH 1: Khi 1 2z z 0 thì : 
   
   
        
      
22 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
u u u u u u 2u .u u u 2 u u cos u , u
u u 2 u u u u z z
Do đĩ: 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 6 
    1 2 1 2 1 2z z u u z z 
* TH 2: Khi 1 2z z 0 thì rõ ràng   1 2 1 2z z z z 
Vậy     1 2 1 2 1 2z z z z , z ,z 
Áp dụng: Ta sẽ áp dụng  11
2 2
zz
z z
Ta cĩ: 
 
 
 
   
  
    

 

2
2 2 2 22 22 2
4 4 2 2 4 44 4
2
2 2
2
2 2
x y 4x yx y 2xyix y 2xyi
u
xy 2 i x y 2x y x yxy 2 i x y
x y
1
x y
Tương tự: 
   
 
 
   
   
    
2 2 22 2
2 2
x y i 2xy x yx y 2xy
w 1.
x y 2i xy x y 4xy x y
Ví dụ 3. a) Chứng minh: Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z . 
Vận dụng: Cho hai số phức 1 2z ,z đều cĩ mođun bằng 1,  1 2z .z 1 . Chứng minh 



1 2
1 2
z z
z
1 z z
 là số thực. 
b) Chứng minh: Số phức z là số ảo khi và chỉ khi  z z 
Vận dụng: Chứng minh hai số phức phân biệt 1 2z ,z thỏa 1 2z z khi và chỉ khi 


1 2
1 2
z z
z z 
là số ảo. 
Giải 
Đặt    z a bi, a,b 
a) Ta cĩ:          z z a bi a bi 2bi 0 b 0 z là số thực. 
Vậy, z là số thực khi và chỉ khi z z 
Vận dụng: Ta cĩ: 
   
2
1 1 1 1
1
1
z z z 1 z
z , tương tự ta cĩ 
2
2
1
z
z 
Xét  

   
     
   
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 2 1 2
1 2
1 1
z z z z z z z z z z
z z ĐPCM
1 11 z z 1 z z1 z z 1 z .z 1 .
z z
b) Ta cĩ: 
            z z a bi a bi 2a 0 a 0 z là số ảo. 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 7 
Vậy, z là số ảo khi và chỉ khi  z z 
Vận dụng: Ta cĩ 


1 2
1 2
z z
z z
 là số ảo 
   
       
 
     
        
     
      
      
        
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z z z z z z z z z z z
0 0
z z z z z z z z z z z z
z z .z z z z .z z 0
z z . z z z z . z z 0
2 z z z z 0 z z z z z z z z
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn 


2z 1
z 1
là số thực. Chứng minh rằng z là số thực. 
Giải 
Ta biết rằng số phức w là số thực  w w. Do đĩ 


2z 1
z 1
là số thực 
    
    
    
2z 1 2z 1 2z 1 2z 1
z 1 z 1 z 1 z 1
          
         
2z 1 z 1 2z 1 z 1
2zz 2z z 1 2zz 2z z 1 z z
 z là số thực. 
Ví dụ 5. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng: 
 
n n 2n
n6 17i 3 28i 13 6i
a) z ; b) z 3 4i
4 3i 5 6i 4 5i
       
          
       
Giải 
a) Ta cĩ 
   
n n
n n6 17i 3 28i
z 3 2i 3 2i
4 3i 5 6i
    
        
    
Suy ra: 
           
   
n nn n n n
n n
z 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i
3 2i 3 2i z
           
    
Vậy z là số thực. 
b) Ta cĩ 
         
      
2n n
n 2n n 2 n
nn n
n
13 6i
z 3 4i 2 i 3 4i 2 i 3 4i
4 5i
3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 25
                
        
Vậy z là số thực. 
Ví dụ 6. Chứng minh rằng
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 8 
       
  
2 2 2 2
a) z z' z z' 2 z z' , z,z'
           
2 22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2b) 1 z .z z z 1 z z z z , z ,z
c) Với mọi số phức 
1 2 3
z ,z ,z .
 Chứng minh rằng: 
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2
1 2 3
z z z z z z z z z z z z
4 z z z .
           
    
 
Giải 
a) Ta cĩ: 
   
      
 
         
     
       
    
2 2
2 2 2 2
VT z z' z z' z z' .z z' z z' .z z'
z z' z z' z z' . z z'
z.z z.z' z'z z'.z' zz z.z' z'z z'.z'
2 z 2 z' 2 z z' VP
b) Ta cĩ: 
   
     
 
         
     
   
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
VT 1 z .z z z 1 z .z .1 z .z z z .z z
1 z .z 1 z z z z z z
1 z z z z *
Mặt khác: 
   
 
   
         
2 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
VP 1 z z z z
1 2 z z z z z 2 z z z 1 z z z z * *
Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh. 
c) Ta cĩ 
      
 
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z 1
           
        
        
Tương tự 
      
 
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z 2
                
        
        
      
 
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z 3
           
        
        
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 9 
      
 
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
z z z z z z . z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z 4
           
        
        
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được 
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2
1 2 3
z z z z z z z z z z z z
4 z z z .
           
    
 
Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu số phức  3
3
1
z 2
z
 thì  
1
z 2.
z
Giải 
Ta cĩ: 
   
       
   
3
3
3
1 1 1
z z 3 z
z zz
 , mặt khác ta cĩ:   1 2 1 2z z z z . 
Do đĩ: 
 
            
 
3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1
z z 3 z z 3 z 2 3 z
z z z zz z
Đặt  
1
a z
z
 lúc đĩ ta được 
           
23 1a 2 3a a 2 a 1 0 a 2 hay z 2
z
Ví dụ 8. Chứng minh rằng nếu z 1 thì 



2z i
1
2 iz
 . 
Giải 
Giả sử    z a bi, a,b theo giả thiết ta cĩ     2 2 2 2a b 1 a b 1 
Khi đĩ: 
 
 
 
 
 
 
    
  
      
22
2 2
2a 2b 1 i 4a 2b 12a 2b 1 i2z i
2 iz 2 b ai 2 b ai 2 b a
Do đĩ: 
 
 
   
 
        

 
  
22
2 22 2
2 2
2 2
4a 2b 12z i
1 1 4a 2b 1 2 b a
2 iz
2 b a
a b 1
Ví dụ 9. Cho 
1
z và 
2
z là hai số phức thỏa 
1 2 1 2
z 2z 2z z .   Chứng minh rằng với mọi số 
thực a, ta cĩ: 
1 2 1 2
z az az z .   
Giải 
Giả sử 
1 2
z p qi, z r si    với p,q,r,s . Khi đĩ 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 10 
       
       
       
 
1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
z 2z 2z z p 2r i q 2s 2p r i 2q s
p 2r q 2s 2p r 2q s
p 2r q 2s 2p r 2q s
p 4pr 4r q 4qs 4s 4p 4pr r 4q 4qs s
r s p q 1
          
       
       
           
   
Ta cĩ: 
       
       
       
   
       
1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
z az az z p ar i q as ap r i aq s
p ar q as ap r aq s
p ar q as ap r aq s
p 2apr a r q 2aqs a s a p 2apr r a q 2aqs s
p q a p q r s a s r
a 1 p q a 1 r s 2
          
       
       
           
       
     
(2) đúng, dẫn đến điều phải chứng minh. 
Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , cĩ ít nhất 1 trong hai bất đẳng thức sau 
xảy ra  
1
z 1
2
 hoặc  2z 1 1
Hướng dẫn giải 
Giả sử ta cĩ đồng thời  

 

  

2
1
z 1
2 *
z 1 1
 . 
Đặt    z a bi, a,b . Lúc đĩ 
 
 
 
   
     
        
  
         
2 2 22
22 2 2 2 22 2 2 2
1
2 a b 4a 1 0 11 a b
2*
a b 2 a b 0 21 a b 4a b 1
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được: 
  
2
2 2a b   
2
2a 1 0 (vơ lý). Từ đĩ ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 10*. Cho 
1 2 3
z ,z ,z là ba số thực phân biệt sao cho 
1 2 3
z z z r 0    . Chứng minh rằng: Nếu 
1 2 3 2 3 1 3 1 2
z z z , z z z , z z z   là các số thực thì r 1 và 
1 2 3
z z z 1. 
Hướng dẫn giải 
Vì 
1 2 3
z ,z ,z là ba số thực phân biệt và 
1 2 3
z z z r 0    nên 
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z , z , z , z z , z z , z z   đều khác khơng 
và 2
1 1 2 2 3 3
z z z z z z r   . 
Nếu 
1 2 3 2 3 1 3 1 2
z z z , z z z , z z z   là các số thực thì ta cĩ 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 2 3 1 2 3 1
3 1 2 3 1 2 3 1 2
z z z z z z z .z z
z z z z z z z .z z
z z z z z z z .z z
    
    
    
Do đĩ: 
 
 
     2 2 22
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 2 2
1 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3 3 3 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3
r z z z r z z z r z z z z z zr
z z z z z .z z .z z z z z r z r z z z z r zz z z z z z
   
   
  
Tương 
tự:
2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
z z z z z z z z zr
z z z z z r z z z r z z z r z
  
  
  
. 
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức 
a c a c
b d b d

 

Ta cĩ: 
 
 
  
  
2
1 2 3 2 3 1 1 2 31 2 3 1
2 22 2 2
1 2 3 1 2 3 11 2 3 2 3 1 2 3 1
z z z z z z z 1 z zz z z z 1r
z z z z z r z z rz z r z z z r z z z z r
     
   
     
Tương tự: 
 
 
2 2
1 231 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 21 2 3 1 2
z 1 z 1z 1z 1 z 1 z zr r
1
z z z z z z z zz r z r z r z r z r
    
      
     
Suy ra: 
2
21 2 3 2
1 2 3
1 2
1 2 31 2 32 1 1
1
z z z r
z z z r r 1r 1
z 1
z z z 11 z z z 1z 1 z r
z r
 
       
     
        
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 12 
II. BÀI TẬP VÀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
Câu 1. Cho số phức  z x yi, x,y   . 
1.1. Phần thực của số phức z bằng: 
A. z z B. z z C.  1 z z
2
 D.  1 z z
2
1.2. Phần ảo của số phức z: 
A.  1 z z
2i
 B.  1 z z
2i
 C.  1 z z
2
 D.  1 z z
2
Hướng dẫn giải 
Đặt       z x yi, x,y z x yi.
 
 

    
 
    

1
x z zz z 2x 2Từ đó
1z z 2yi y z z
2i
Vậy chọn đáp án 1.1.D và 1.2 B 
Câu 2. Cho số phức    z a bi, a,b . Khẳng định nào sau đây đúng 
A. a z và b z . B. a z và b z . 
C. a z và b z . D. a z và b z . 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ 
   
   
   
2
2 2
2
z a a a
z a b
z b b b
Vậy a z và b z . 
Vậy chọn đáp án A. 
Câu 3. Cho z là số phức thỏa mãn 


z 1
z 1
 là số ảo. Tìm khẳng định đúng 
A. z 5 B. z 1 C. z 2 D. z 2 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ: 


z 1
z 1
 là số ảo
     
       
     
z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
0 0
z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
   
       
      
            
2
z 1 .z 1 z 1 .z 1 0
z 1 . z 1 z 1 . z 1 0 z.z 1 z 1 z 1
Vậy z 1. Vậy chọn đáp án B. 
Câu 4. Cho 1 2z ,z . Khẳng định nào sau đây sai 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 13 
A. 1 2 1 2z z z .z là số thực B.  
2
2
z z là số thực 
C. 
 
3
3
z z
z z


 là số ảo 
D. 
 
2
2
z z
1 z.z


 là số thực 
Hướng dẫn giải 
Định hướng: Ta sử dụng kết quả sau:   z z z và z là số ảo khi và chỉ khi z z  
Ta cĩ: 
      
   
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
A) z z z .z z z z .z z .z z .z z .z z z
z z z .z z z z .z
Vậy 1 2 1 2z z z .z là số thực 
B)    
2 22
2 2 2
z z z z z z .     Vậy  
2
2
z z là số thực 
C) 
     
3 3 3
3 3 3
z z z z z z
z z z z z z
  
  
  
. Vậy 
 
3
3
z z
z z


 là số ảo 
D) 
     
2 2 2
2 2 2
z z z z z z
.
1 z.z 1 z.z 1 z.z
  
  
  
Vậy 
 
2
2
z z
1 z.z


 là số ảo. Vậy đáp án D sai. 
Vậy chọn đáp án D. 
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn 
2z 1
z 2


 là số thực. Khẳng định nào sau đây sai 
A. z B. z là số ảo C. z z D. z z 
Hướng dẫn giải 
2z 1
z 2


 là số thực
2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1
z 2 z 2 z 2 z 2z 2 z 2
      
     
     
2z.z 4z z 2 2z.z z 4z 2 5z 5z z z            
Vậy z là số thực. 
Vậy chọn đáp án B. 
Câu 6. Đẳng thức 
 
       
 
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1
z z z z i z iz i z iz
4
 bằng 
A. 1
2
z
z
B. 
1 2
z .z C. 
1 2
z z D. 
1 2
z z 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. TP Huế Page 14 
   
   
      
       
       

2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
z z z z i z iz i z iz
z z z z z .z z .z z z z z z .z z .z
iz z z z z .z iz .z iz z z z z .z iz .z
4z z
Suy ra: 
 
          
 
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
z z z z z z i z iz i z iz , z ,z .
4 
Vậy chọn đáp án B. 
Câu 7. Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau: 
A.        
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z
B. 
       
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z 1 z z 1 z 1 z
C. 
       
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z
D. 
       
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2b) z z 1 z z 1 z 1 z
Hướng dẫn giải 
  
          
  
2 22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2
2 2
1 2
z z 1 z z z z z z z z 1 z z z z z z
1 z 1 z
Vậy chọn đáp án A. 
Câu 8. Cho số phức z thỏa điều kiện 
6z i
1
2 3iz



. Tìm khẳng định đúng 
A. z 1 B. z 3 C. 
1
z
3
 D. 
1
z
3
 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ: 
6z i
1 6z i 2 3iz
2 3iz

    

     2 2
2
6z i 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz
1 1
27z.z 3 z z
9 3
         
     
Vậy chọn đáp án C. 
Câu 9. Gọi z là số phức khác 0 sao cho 3
3
8
z 9.
z
  Tìm khẳng định đúng 
 Chuyên Đề Số Phức 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 15 
A. 
2
z 3.
z
  B. 
2
z 3.
z
  C. 
2
z 3.
z
  D. 
2
z 3.
z
  
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ: 
     
             
     
3
3 3
3 3
2 8 2 2 8 2
z z 3z. z z 6 z
z z z zz z
 , mặt khác ta cĩ: 
  1 2 1 2z z z z . 
Do đĩ: 
 
     
 
        
