Toán học - Bài tập thể tích khối đa diện tổng hợp

I. MỤC TIÊU:
	Kiến thức: 	
Nắm được khái niệm thể tích của khối đa diện.
Nắm được các công thức tính thể tích của một số khối đa diện cụ thể.
	Kĩ năng: 
Tính được thể tích của khối lăng trụ, khối chóp.
Tính được tỉ số thể tích các khối đa diện được tách ra từ một khối đa diện.
	Thái độ:
Liên hệ được với nhiều vấn đề trong thực tế với khối đa diện.
Phát huy tính độc lập, sáng tạo trong học tập.
 II. LÝ THUYẾT
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A:
2. Các công thức trong tam giác thường:
 - Định lý cô sin: 
 - Công thức đường trung tuyến: 
 Công thức diện tích:
3. Công thức thể tích: 
* Thể tích khối chóp, nón: V = 
*Thể tích khối lăng trụ : 
4. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng :
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) : là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (P)
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến
5. Khoảng cách
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa một điểm bất kì thuộc đường thẳng này tới mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó
- Có thể tính khoảng cách thông qua diện tích đáy và thể tích của khối đa diện
BÀI TẬP CƠ BẢN TÍNH THỂ TÍCH TRỰC TIẾP BẰNG CÔNG THỨC
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA =a và SA vuông góc với đáy. 
 a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. 
 b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). ; 	
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a
Tính thể tích của lăng trụ
Tính khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng ; 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B . Đường thẳng SA vuông góc với (ABC).
a) Tính thể tích của S.ABC
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) 	
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên SBC cân tại S, SB = SC = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. 
Tính theo a thể tích của chóp SABC
Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
ĐS: V = a3/2 , kẻ AK vuông góc với BC, d(A, (SBC)) = AK
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy. Biết thể tích của S.ABC là a3. Tính khoảng cách từ S đến (ABC). Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
ĐS: khoảng cách từ S đến (ABC) ; 
Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = 2a. Cạnh bên tạo với đáy một góc 600.
Tính thể tích của lăng trụ
Tính thể tích của tứ diện C.A’B’ C’
ĐS: a) Khoảng cách từ A’ đến (ABC) là , 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, SA = a và SA vuông góc với đáy
Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Tính khoảng cách từ A đến (SBC) 
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a có một góc bằng 60 
a) Tính thể tích của khối tứ diện A’.ABC 
b) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 	; VA’.ABC = 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, biết AB = a, SA = 2a. 
Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
ĐS: thể tích của khối chóp S.ABC = a3/3; 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, SA vuông góc với (ABC), SB tạo với đáy góc 450, SBC là tam giác đều cạnh a
Tính AB, AM với M là trung điểm của BC
Tính thể tích khối chóp S.ABC 
ĐS: AB = AC = a, AM = ; 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BAC = 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính thể tích S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
Cho hình chóp S.ABCD có , đáy là hình thoi cạnh . Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). 
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SA = a, SA vuông góc với ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC. I = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD); AB = a; SA = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. CMR: SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a và cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) 450 . Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích của khối chóp S.BDE theo a. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm của DE. Biết góc giữa SA và mặt đáy (ABCD) bằng 60o. Tính theo a thể tích của khối chóp. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh AB. Góc giữa SC và đáy (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối chóp theo a. 
Cho hình chóp S.ABC, SA = a, SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. 
a. Tính thể tích S.ABC.
b. Chứng minh SC vuông góc với mp(AB’C’) 
c. Tính thể tích của S. AB’C’
Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, SA= . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của hình chóp. 
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của hình chóp. 
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm của DC.
a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD
b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC. Tính thể tích khối chóp MABC 
; b. 
Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 6a, AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 2MS = MC. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM. 
Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 600. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và BC theo a 
Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2, Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Cho hình chóp S.ABCD có AB=5a, BC=6a, CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và 
(SAB) ⊥ (ABCD).Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh rằng AC ⊥ SK và tính thể tích của tứ diện SBCK 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = 	. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a. 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đểu cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = , SB = a. Gọi K là trung điểm của CB. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK.
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a, các cạnh bên SA = a, SB = và mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SM và DN theo a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết rằng AB = 3, BC = 2 và SA = 6. Tính thể tíchkhối chóp S.ADE. 
 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SA= a, SB hợp với đáy một góc 300 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với mặt đáy. Góc , BC = a, SA= . Gọi M là trung điểm SB.
1) Chứng minh rằng (SAB) vuông góc (SBC).
2) Tính thể tích khối chóp MABC 
Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C,
 SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm cạnh AB.
1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC ) .
2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
(Trích đề thi ĐH khối D – 2011) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > 0 . Đường chéo . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
(Trích đề thi ĐH khối A – 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, SA=a, , và , (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABCD có
AB = a, góc giữa (SAC) và mặt phẳng (ABCD) bằng , tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) . gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.DHM
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và đáy (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (Trích đề thi ĐH khối A – 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB=2CD=4a, 
 , biết mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SAB) là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BD=a. Trên cạnh
AB lấy điểm M sao cho BM=2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh . Mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC); mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) một góc 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 450 . 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SB 
ĐS: tam giác OAD đều, , , , VS.ABCD = a3, 
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa 
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 450, hình chiếu của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm của A’B’. Gọi M là trung điểm của B’C’ 
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 
Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng A'M và AB'
ĐS: . Gọi N là trung điểm của BC, khi đó A’M // AN, góc giữa hai đường thẳng A'M và AB' là góc giữa hai đường thẳng AB’ và AN. Xét tam giác AB’N, tính độ dài các cạnh có AB’ = . Tìm cách dựng hình để gắn B’N vào một tam giác vuông, gọi K là trung điểm của AB’, KB’N là tam giác vuông, tính được 
B’N = ; 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = 3a/2. Hình chiếu vuông 
góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn AD. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HKvà SD
ĐS: SH = a, Thể tích S.ABCD = a3/3. khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD là a/3
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm 
cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 600. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)
a) 
Cho hình lăng trụ ABC .A’B ‘C ‘ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C ‘C ) bằng 450. Tính thể tích của khối lăng trụ này.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a, . Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng ((AA'C'C) một góc 300 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a. 
Cho hình lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a. Góc giữa đường chéo A’C và đáy là 60o . Tính thể tích khối lăng trụ và diện tích xung quanh khối lăng trụ đã cho. 
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Khoảng cách từ trọng tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng a/6. Tính thể tích của khối lăng trụ đều đó. 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. A’ cách đều A,B,C. AA’ tạo đáy góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ, chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của AA’, mặt phẳng MB’C’ chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó
PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH GIÁN TIẾP
 Cho khối chóp SABC, ABC là tam giác vuông cân tại B, . Gọi I là điểm thuộc SB sao cho . Tính thể tích của khối tứ diện SAIC 
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, . Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là điểm H thuộc AC sao cho AC = 4AH. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC, chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của SMBC. 
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật , SA vuông góc với đáy, M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC. I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích của ANIM 
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật , SA = SB = SC = SD = . E thuộc SC sao cho SE = 2EC, F thuộc SD sao cho FD = 3SF. Tính thể tích của SABEF 
Hình chóp SABCD có đáy là hình thang , 
. M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích của SBCMN
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng ABCD, . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I. Tính thể tích khối chóp S.AHIK
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính VSBCNM. (Trích đề khối A - 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, . Gọi M là trung điểm của SC
Tính thể tích khối chóp S.AMB
Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB)
a) b) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc .
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 
b) Gọi M là trung điểm của SA, mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N . Mặt phẳng (MBCN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó 
ĐS: a (đvtt)
b) (2)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. 
Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và 
Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
ĐS: 	 (đvtt)