Toán học - Bài tập phương trình vi phân

1BA`I TAˆ. P PHU
.
O
.
NG TRI`NH VI PHAˆN
1) Gia' i phu.o.ng trnh: 2xy′y” = y′2 − 1
HD gia’ i: D- a
.
t y′ = p : 2xpp′ = p2 − 1
Vo
.
i x(p2 − 1) 6= 0 ta co: 2pdp
p2 − 1 =
dx
x
⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ±
√
C1x+ 1
p =
dy
dx
=
√
C1 + 1⇒ y = 2
3C1
(C1x+ 1)
3
2 + C2
2) Gia' i phu.o.ng trnh: √y.y” = y′
HD gia’ i: D- a
.
t y′ = p⇒ y” = pdp
dy
(ham theo y). Phu
.
o
.
ng trnh tro
.
'
thanh:
√
yp
dp
dy
= p
Vo
.
i p 6= 0 ta du.o.
.
c phu
.
o
.
ng trnh: dp =
dy√
y
⇒ p = 2√y + C1 ⇔ dy
dx
= 2
√
y + C1 ⇒
dx =
dy
2
√
y + C1
Tu
.
do nghie^
.
m to^
'
ng quat: x =
√
y − C1
2
ln |2√y + C1|+ C2
Ngoai ra y = c: hang cu~ng la nghie^
.
m.
3) Gia' i phu.o.ng trnh: a(xy′ + 2y) = xyy′
HD gia’ i: a(xy′ + 2y) = xyy′ ⇒ x(a− y)y′ = −2ay
Ne^

u y 6= 0, ta co phu.o.ng trnh tu.o.ng du.o.ng vo.i a− y
y
dy = −2a
x
dx⇔ x2ayae−y = C
Ngoai ra y = 0 cu~ng la nghie^
.
m.
4) Gia' i phu.o.ng trnh: y” = y′ey
HD gia’ i: D- a
.
t y′ = p⇒ y” = pdp
dy
thay vao phu
.
o
.
ng trnh: p
dp
dy
= pey
Vo
.
ip 6= 0 : dp
dy
= ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ dy
dx
= ey + C1 ⇔ dy
ey + C1
= dx
Vo
.
i C1 6= 0 ta co:
∫ dy
ey + C1
=
1
C1
∫ ey + C1 − ey
ey + 1
dy =
1
C1
(y − ∫ eydy
ey + C1
) =
y
C1
−
1
C1
ln(ey + C1)
nhu
.
va^
.
y:
∫ dx
ey + C1
=
−e
−y neˆ´u C1 = 0
1
C1
(y − ln |ey + C1|) neˆ´u C1 6= 0.
Ngoai ra y = C : hang la mo^
.
t nghie^
.
m
5) Gia' i phu.o.ng trnh: xy′ = y(1 + ln y − lnx) vo.i y(1) = e
www.VNMATH.com
2HD gia’ i: D- u.a phu.o.ng trnh ve^: y′ =
y
x
(1 + ln
y
x
), da
.
t y = zx du.o.
.
c: xz′ = z ln z
• z ln z 6= 0⇒ dz
z ln z
=
dx
x
⇒ ln z = Cx hay ln y
x
= Cx⇔ y = xeCx
y(1) = e → C = 1. Va^
.
y y = xex
6) Gia' i phu.o.ng trnh: y”(1 + y) = y′2 + y′
HD gia’ i: D- a
.
t y′ = z(y)⇒ z′ = z dz
dy
thay vao phu
.
o
.
ng trnh:
dz
z + 1
=
dy
y + 1
⇒ z + 1 = C1(y + 1)⇒ z = C1y + C1 − 1⇔ dy
C1y + C1 − 1 = dx (∗)
• C1 = 0⇒ (∗) cho y = C − x
• C1 6= 0⇒ (∗) cho 1
C1
ln |C1y + C1 − 1| = x+ C2
Ngoai ra y = C la nghie^
.
m.
Tom la
.
i nghie^
.
m to^
'
ng quat: y = C, y = C − x; 1
C1
ln |C1y + C1 − 1| = x+ C2
7) Gia' i phu.o.ng trnh: y′ = y2 − 2
x2
HD gia’ i: Bie^n do^'i (3) ve^ da
.
ng: x2y′ = (xy)2 − 2 (∗)
D
-
a
.
t z = xy ⇒ z′ = y + xy′ thay vao (∗) suy ra:
xz′ = z2 + z − 2⇔ dz
z2 + z − 2 =
dx
x
⇔ 3
√
z − 1
z + x
= Cx
Va^
.
y TPTQ:
xy − 1
xy + 2
= Cx3.
8) Gia' i phu.o.ng trnh: yy” + y′2 = 1
HD gia’ i: D- a
.
t y′ = z(y)⇒ y” = z.dz
dy
Bie^

n do^
'
i phu
.
o
.
ng trnh ve^

:
z
1− z2dz =
dy
y
⇔ z2 = 1 + C1
y2
⇒ dy
dx
= ±
√
1 +
C1
y2
⇔ ± ∫ dy√
1 +
C1
y2
= dx⇒ y2 + C1 = (x+ C2)2
Nghie^
.
m to^
'
ng quat: y2 + C1 = (x+ C2)
2
9) Gia' i phu.o.ng trnh: 2x(1 + x)y′ − (3x+ 4)y + 2x√1 + x = 0
HD gia’ i: y′ − 3x+ 4
2x(x+ 1)
.y = − 1√
x+ 1
; x 6= 0, x 6= −1
Nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t:∫ dy
y
=
∫ 3x+ 4
2x(x+ 1)
dx =
∫
(
2
x
− 1
2(x+ 1)
)dx⇔ y = Cx
2
√
x+ 1
www.VNMATH.com
3Bie^

n thie^n ha

ng so^

: C ′ = − 1
x2
⇒ C = −1
x
+ ε.
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat: y =
x2√
x+ 1
(
1
x
+ ε)
10) Gia' i phu.o.ng trnh: y” = e2y thoa'
{
y(0) = 0
y′(0) = 0
HD gia’ i: D- a
.
t z = y′ → y” = z.dz
dy
phu
.
o
.
ng trnh tro
.
'
thanh z.
dz
dy
= e2y ⇔ z
2
2
=
e2y
2
+ ε
y′(0) = y(0) = 0⇒ ε = −1
2
. Va^
.
y z2 = e2y − 1. Tu. do:
z =
dy
dx
=
√
e2y − 1⇒
∫
dy√
e2y − 1 = x+ ε. d¯oˆ
’i bieˆ´n t =
√
e2y − 1
arctg
√
e2y − 1 = x+ ε
y(0) = 0⇒ ε = 0. Va^
.
y nghie^
.
m rie^ng thoa
'
die^

u kie^
.
n de^

bai: y =
1
2
ln(tg2x+ 1).
11) Tm nghie^
.
m rie^ng cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: xy′ + 2y = xyy′
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(−1) = 1.
HD gia’ i: Vie^t phu.o.ng trnh la
.
i: x(1− y)y′ = −2y; do y(−1) = 1 ne^n y 6≡ 0. D- u.a ve^
phu
.
o
.
ng trnh tach bie^

n:
1− y
y
dy = −2dx
x
tch pha^n to^
'
ng quat: x2ye−y = C. Thay die^u kie^
.
n vao ta du
.
o
.
.
c C =
1
e
. Va^
.
y tch pha^n
rie^ng ca^

n tm la: x2ye1−y = 1.
12) Bang cach da
.
t y = ux, ha~y gia' i phu.o.ng trnh: xdy − ydx−√x2 − y2dx = 0. (x > 0)
HD gia’ i: D- a
.
t y = ux; du = udx + xdu thay vao phu.o.ng trnh va gia'n u.o.c x: xdu −√
1− u2dx = 0. Ro~ rang u−±1 la nghie^
.
m. khi u 6≡ ±1 du.a phu.o.ng trnh ve^ tach bie^n:
du
1− u2 =
dx
x
. TPTQ: arcsinu− lnx = C (do x > 0).
Va^
.
y NTQ cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: y = ±x; arcsin y
x
= ln x+ C.
13) Tm nghie^
.
m rie^ng cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: xy′ =
√
x2 − y2 + y
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(1) = 0.
HD gia’ i:
xy′ =
√
x2 − y2 + y ⇐⇒ y′ =
√
1− y
2
x2
+
y
x
da
.
t u =
y
x
hay y = ux suy ra y′ = xu′ + u
phu
.
o
.
ng trnh thanh: xu′ =
√
1− u2 ⇐⇒ du√
1− u2 =
dx
x
www.VNMATH.com
4⇐⇒ arcsinu = lnCx
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(1) = 0 khi C = 1. Va^
.
y nghie^
.
m y = ±x.
14) Tm nghie^
.
m rie^ng cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: y′ sin x = y ln y
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(
pi
2
) = e.
HD gia’ i:
y′ sin x = y ln y ⇐⇒ dy
y ln y
=
dx
sin x
⇐⇒ ln y = C tan x
2
⇐⇒ y = eC tan
x
2
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(
pi
2
) = e khi C = 1. Va^
.
y y = e
tan
x
2
.
15) Tm nghie^
.
m rie^ng cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y − 1)dy = 0
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(0) = 1.
HD gia’ i: D- a
.
t x+ y = z =⇒ dy = dz − dx
phu
.
o
.
ng trnh thanh: (2− z)dx+ (2z− 1)dz = 0; gia' i ra x− 2z− 3 ln |z− 2| = C. Va^
.
y
x+ 2y + 3 ln |x+ y − 2| = C
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(0) = 1 khi C = 2.
16) Bang cach da
.
t y =
1
z
ro^

i da
.
t z = ux,ha~y gia' i
phu
.
o
.
ng trnh: (x2y2 − 1)dy + 2xy3dx = 0
HD gia’ i: D- a
.
t y =
1
z
du
.
o
.
.
c: (z2 − x2)dz + 2zxdx = 0; ro^i da
.
t z = ux, du.o.
.
c
(u2 − 1)(udx+ xdu) + 2udx = 0
⇐⇒ dx
x
+
u2 − 1
u3 + u
du = 0
⇐⇒ ln |x|+ ln u
2 + 1
|u| = lnC ⇐⇒
x(u2 + 1)
u
= C
thay u =
1
xy
du
.
o
.
.
c nghie^
.
m 1 + x2y2 = Cy.
17) Tm nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh sau: y′ − xy = x+ x3
HD gia’ i:
D
-
a^y la phu
.
o
.
ng trnh tuye^

n tnh ca^

p 1 va co nghie^
.
m to^
'
ng quat la
y = Ce
x2
2 .
x2
2
+ 1
.
www.VNMATH.com
518) Tm nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a cac phu
.
o
.
ng trnh sau: y′ − y = y2.
HD gia’ i: D- a^y la phu.o.ng trnh tach bie^n va co nghie^
.
m to^
'
ng quat la
ln | y
y + 1
| = x+ C.
19) Tm nghie^
.
m cu
'
a cac phu
.
o
.
ng trnh sau: y′ +
y
x
= ex
HD gia’ i:
D
-
a^y la phu
.
o
.
ng trnh tuye^

n tnh ca^

p 1 va co nghie^
.
m to^
'
ng quat la y =
C
x
+ ex − e
x
x
.
20) Tm nghie^
.
m cu
'
a cac phu
.
o
.
ng trnh sau: y′ − y = y3.
HD gia’ i: D- a^y la phu.o.ng trnh tach bie^n va co nghie^
.
m to^
'
ng quat la
C + x = ln |y| − arctgy.
21) Gia' i phu.o.ng trnh: y′ = y
x
+ sin
y
x
, vo
.
i y(1) =
pi
2
HD gia’ i: y = zx ⇒ y′ = z′x+ z, phu.o.ng trnh tro.' thanh:
z′x = sinx⇔ dz
sin z
=
dx
x
⇔ ln |tg z
2
| = ln |x|+ lnC ⇔ tg z
2
= Cx
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat: tg
y
2x
= Cx; y(1) =
pi
2
⇒ C = 1.
Va^
.
y: tg
y
2x
= x.
22) Gia' i phu.o.ng trnh: (x− y cos y
x
)dx+ x cos
y
x
dy = 0
HD gia’ i: D- a
.
t
y
x
= z ⇒ y′ = z′x+ z phu.o.ng trnh du.o.
.
c du
.
a ve^

da
.
ng:
x cos z.z′ + 1 = 0⇔
∫
cos zdz = −dx
x
+ C ⇔ sin z = − ln |x|+ C
Va^
.
y TPTQ: sin
y
x
= − ln |x|+ C
23) Gia' i phu.o.ng trnh: (y′2 − 1)x2y2 + y′(x4 − y4) = 0
HD gia’ i: La phu.o.ng trnh da' ng ca^p nhu.ng gia'i kha phu.c ta
.
p.
www.VNMATH.com
6Xem phu
.
o
.
ng trnh ba^
.
c hai do^

i vo
.
i y′: 4 = (x4 + y4)2 ⇒ y′1 =
y2
x2
; y′2 = −
x2
y2
.
Tu
.
do co hai ho
.
nghie^
.
m to^
'
ng quat: y =
x
C1x+ 1
; x3 + y3 = C2
24) Gia' i phu.o.ng trnh: y2 + x2y′ = xyy′
HD gia’ i: Vie^t phu.o.ng trnh la
.
i y′ =
y2
x2
y
x
− 1 da^y la phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t, gia
'
i
ra du
.
o
.
.
c nghie^
.
m to^
'
ng quat: y2 = Cxe
y
x
25) Tm nghie^
.
m rie^ng cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: (x+ y − 2)dx+ (x− y + 4)dy = 0
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(1) = 0.
HD gia’ i: D- a
.
t
{
x = u− 1
y = v + 3.
thay vao phu
.
o
.
ng trnh du
.
o
.
.
c:
(u+ v)du+ (u− v)dv = 0, da^y la phu.o.ng trnh thua^n nha^t co tch pha^n to^'ng quat la:
u2 + 2uv − v2 = C.
Va^
.
y tch pha^n to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh ban da^

u la: x2 + 2xy − y2 − 4x+ 8y = C
26) Gia' i phu.o.ng trnh (x+ y − 2)dx+ (x− y + 4)dy = 0.
HD gia’ i: D- a
.
t
{
x = X − 1
y = Y + 3
, phu
.
o
.
ng trnh thanh:
(X + Y )dX + (X − Y )dY = 0
da
.
t Y = uX du.a phu.o.ng trnh ve^
dX
X
+
1− u
1 + 2u− u2du = 0.
Gia
'
i ra X2(1 + 2u− u2) = C hay x2 + 2xy − y2 − 4x+ 8y = C.
27) Tm tch pha^n to^'ng quat cu'a phu.o.ng trnh sau: b) y′ = 2xy
x2 − y2 .
HD gia’ i: D- a^y la phu.o.ng trnh da' ng ca^p, ta da
.
t z =
y
z
. Khi do phu
.
o
.
ng trnh tre^n
tro
.
'
thanh xz′ =
z(1 + z2)
1− z2 . Hay (
1
z
− 2z
1 + z2
)dz =
dx
x
. Suy ra nghie^
.
m cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh
nay la
z
1 + z2
= Cx, C 6= 0.
Va^
.
y nghie^
.
m cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh da
~
cho la x2 + y2 = C1y, C1 6= 0.
28) Tm nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a cac phu
.
o
.
ng trnh sau: y′ =
2x+ y − 1
4x+ 2y + 5
.
HD gia’ i: D- a
.
t u = 2x+ y phu.o.ng trnh du.a ve^ da
.
ng
du
dx
=
5u+ 9
2u+ 5
.
www.VNMATH.com
7Gia
'
i phu
.
o
.
ng trnh nay ta du
.
o
.
.
c nghie^
.
m 10u+ 7 ln |5u+ 9| = 25x+ C.
Va^
.
y nghie^
.
m cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh da
~
cho la 10y + 7 ln |10x+ 5y = 9| − 5x = C.
29) Tm tch pha^n to^'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau:
(x− y + 4)dy + (y + x− 2)dx = 0
HD gia’ i: D- a^y la phu.o.ng trnh du.a ve^ da
.
ng da
'
ng ca^

p du
.
o
.
.
c ba

ng cach da
.
t x =
u + 1, y = v − 3, ta du.o.
.
c
dv
du
=
u+ v
−u+ v . Gia'i phu
.
o
.
ng trnh ta co nghie^
.
m cu
'
a phu
.
o
.
ng
trnh la v2 − 2uv − v2 = C.
Va^
.
y nghie^
.
m cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh da
~
cho la y2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1.
30) a) Tm mie^n ma trong do nghie^
.
m cu
'
a bai toan Cauchy cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh
sau da^y to^

n ta
.
i va duy nha^

t y′ =
√
x− y.
b) Tm tch pha^n to^
'
ng quat cu
'
a cac phu
.
o
.
ng trnh sau: (x2 − y2)dy − 2xydx = 0.
HD gia’ i:
a) Bai toan Cauchy co duy nha^

t nghie^
.
m trong mie^

n
D = {(x, y) ∈ R2|x− y ≥ δ} vo.i δ > 0 tuy y.
b) D
-
u
.
a phu
.
o
.
ng trnh ve^

da
.
ng
dy
dx
=
xy
x2 − y2 . D
-
a^y la phu
.
o
.
ng trnh da
'
ng ca^

p, ta da
.
t
z =
y
x
. Khi do phu
.
o
.
ng trnh tre^n tro
.
'
thanh
xz′ =
z(1 + z2)
1− z2 .
Hay (
1
z
− 2z
1 + z2
)dz =
dx
x
.
Suy ra nghie^
.
m cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh nay la
z
1 + z2
= Cx, C 6= 0.
Va^
.
y nghie^
.
m cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh da
~
cho la x2 + y2 = C1y, C1 6= 0.
31) a) Chu.ng minh rang he^
.
cac vecto
. {e2x, xe2x, x2} la he^
.
do^
.
c la^
.
p tuye^

n tnh.
b) Tm tch pha^n to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh sau: (x− y)dy − (x+ y)dx = 0;
HD gia’ i:
a) Dung di
.
nh ngh
~
a kie^
'
m tra he^
.
do^
.
c la^
.
p tuye^

n tnh .
b) D
-
u
.
a phu
.
o
.
ng trnh ve^

da
.
ng y′ =
x+ y
x− y . D
-
a^y la phu
.
o
.
ng trnh da
'
ng ca^

p, ta da
.
t
z =
y
x
. Khi do phu
.
o
.
ng trnh tre^n tro
.
'
thanh
xz′ =
1 + z2
1− z .
Gia
'
i phu
.
o
.
ng trnh nay ta du
.
o
.
.
c√
x2 + y2 = Cearctg
y
x .
32) a) Chu.ng minh rang he^
.
cac vecto
. {cos2 2x, sin2 2x, 2} la he^
.
phu
.
thuo^
.
c tuye^

n tnh.
Tnh di
.
nh thu
.
c Wronski cu
'
a chung.
b) Tm tch pha^n to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh sau: (x− 2y + 1)dy − (x+ y)dx = 0.
www.VNMATH.com
8HD gia’ i:
a) He^
.
nay phu
.
thuo^
.
c tuye^

n tnh v 2 cos2 2x+ 2 sin2 2x− 2 = 0.
b) Phu
.
o
.
ng trnh nay co the^
'
du
.
a ve^

da
.
ng da
'
ng ca^

p, ta du
.
o
.
.
c
y′ =
x+ y
x− 2y + 1 .
D
-
a
.
t u = x− 1
3
, v = y +
1
3
, khi do phu
.
o
.
ng trnh tre^n tro
.
'
thanh
v′ =
u+ v
u− 2v .
Gia
'
i phu
.
o
.
ng trnh nay ta du
.
o
.
.
c
√
u2 + 2v2 = Ce
1√
2
arctg(
√
2u
v
)
.
Hay
√
(3x− 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1e
1√
2
arctg(
√
2 3x−1
3y+1
)
.
33) Gia' i phu.o.ng trnh: y2 + x2y′ = xyy′
HD gia’ i: Phu.o.ng trnh thua^n nha^t: da
.
t y = zx → y′ = z′x+ z
Phu
.
o
.
ng trnh tro
.
'
thanh
z − 1
z
dz =
dx
x
→ z − ln |z| = ln |x|+ C
y
x
− ln |y
x
| = ln |x|+ C
34) Gia' i phu.o.ng trnh y2 + x2y′ = xyy′.
HD gia’ i: Vie^t phu.o.ng trnh la
.
i y′ =
y2
x2
y
x
− 1 da^y la phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t, gia
'
i
ra du
.
o
.
.
c nghie^
.
m to^
'
ng quat: y2 = Cxe
y
x
35) Gia' i phu.o.ng trnh: y” cos y + (y′)2 sin y = y′
HD gia’ i: y = C : hang la mo^
.
t nghie^
.
m.
y 6= C (hang). D- a
.
t y′ = p⇒ y” = pdp
dy
(ham theo y)
thay vao (2):
dp
dy
cos y + p sin y = 1: phu.o.ng trnh tuye^n tnh.
Phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t co nghie^
.
m to^
'
ng quat: p = C cos y.
bie^

n thie^n ha

ng so^

du
.
o
.
.
c C = tgy + C1.
tu
.
do p =
dy
dx
= sin y + C1 cos y ⇔ dy
sin y + C1 cos y
= dx
tch pha^n di de^

n:
1√
C21 + 1
ln
∣∣∣ tg
y
2
+
√
1 +
1
C21
− 1
C1
−tg y
2
+
√
1 +
1
C21
+
1
C1
∣∣∣ = x+ C2
36) Gia' i phu.o.ng trnh: y′ + 1
2x− y2 = 0
HD gia’ i: Coi x = x(y) la ham cu'a y ta co: y′ =
1
x′
thay vao phu
.
o
.
ng trnh:
www.VNMATH.com
91
x′
+
1
2x− y2 = 0⇔ x
′ + 2x = y2 : phu.o.ng trnh tuye^n tnh.
Nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t: x = Ce−2y
Bie^

n thie^n ha

ng so^

: C ′(y) = y2e2y ⇒ C(y) = 1
2
y2e2y − 1
2
ye2y +
1
4
e2y + C
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: x = Ce−2y +
1
2
y2 − 1
2
y +
1
4
37) Gia' i phu.o.ng trnh: xy” = y′ + x2
HD gia’ i: D- a
.
t y′ = p, (1) tro.' thanh: xp′ − p = x2 tuye^n tnh
Nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t: p = Cx
Bie^

n thie^n ha

ng so^
 → C(x) = x+ C1
Suy ra:
dy
dx
= x(x+ C1) → y = x
3
3
+ C1.
x2
2
+ C2
38) Gia' i phu.o.ng trnh: y′2 + yy” = yy′
HD gia’ i: D- a
.
t p = y′(p 6= 0), phu.o.ng trnh tu.o.ng du.o.ng vo.i: p2 + ypdp
dy
= yp
⇔ p+ ydp
dy
= y, xet y 6= 0 du.a phu.o.ng trnh ve^: dp
dy
+
p
y
= 1 (tuye^n tnh)
NTQ cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t: p =
C
y
, bie^

n thie^n ha

ng so^

⇒ C(y) = y
2
2
+ C1
Nhu
.
va^
.
y: p =
y2 + 2C1
2y
⇒ dy
dx
=
y2 + 2C1
2y
⇒ 2ydy
y2 + 2C1
= dx
⇒ y2 = A1ex + A2.
Chu y: Ve^

trai (yy′)′ = yy′ ⇔ yy′ = C1ex ⇔ ydy = C1exdx⇔ y2 = 2C1ex + C2
39) Gia' i phu.o.ng trnh: yey = y′(y3 + 2xey) vo.i y(0) = −1
HD gia’ i: y′x =
1
x′y
bie^

n do^
'
i phu
.
o
.
ng trnh ve^

: x′ − 2
y
x = y2e−y
Nghie^
.
m to^
'
ng quat: x = y2(C − e−y)
y(0) = −1⇒ C = e.
Va^
.
y x = y2(e− e−y)
40) Gia' i phu.o.ng trnh: xy” = y′ + x
HD gia’ i: D- a
.
t y′ = p; phu.o.ng trnh tro.' thanh: p′ − 1
x
p = 1
Nghie^
.
m to^
'
ng quat: p = Cx bie^n thie^n hang so^: C = ln |x|+ C1
www.VNMATH.com
10
⇒ p = dy
dx
= (ln |x|+ C1)x⇒ y =
∫
(ln |x|+ C1)xdx+ C2
= C1x
2 +
x2
2
ln |x| − x
2
4
+ C2
41) Gia' i phu.o.ng trnh: y′ + xy = x3
HD gia’ i: Nghie^
.
n to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t y = Ce−
x2
2
bie^

n thie^n ha

ng so^

: C(x) = (x2 − 2)e−x22 + ε
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat: y = εe−
x2
2 + x2 − 2.
42) Gia' i phu.o.ng trnh: (x2 − y)dx+ xdy = 0
HD gia’ i: Phu.o.ng trnh vie^t la
.
i: xy′−y = −x2, phu.o.ng trnh thua^n nha^t: xy′−y = 0
co nghie^
.
m to^
'
ng quat: y = Cx bie^n thie^n hang so^ suy ra C = −x+ ε
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat : y = −x2 + εx
43) Gia' i phu.o.ng trnh: y′ − 2
x
y =
3
x2
vo
.
i y(1) = 1
HD gia’ i: Phu.o.ng trnh tuye^n tnh: y = Cx2; C ′ =
3
x4
⇒ C = − 1
x3
+ ε
y = εx2 − 1
x
; y(1) = 1⇒ ε = 2
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat: y = 2x2 − 1
x
44) Gia' i phu.o.ng trnh: (x+ 1)(y′ + y2) = −y
HD gia’ i: Xet y 6= 0, bie^n do^'i phu.o.ng trnh ve^ da
.
ng y′ +
1
x+ 1
.y = −y2
D
-
a
.
t
1
y
= z ⇒ y′ = − z
′
z2
= −y2z′ du.a phu.o.ng trnh ve^ z′ − 1
x+ 1
.z = 1.
Nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh thua^

n nha^

t: z = C1(x + 1) bie^n thie^n hang so^
C1 = ln |x+ 1|+ ε.
Va^
.
y nghie^
.
m: z = (x+ 1)(ln |x+ 1|+ ε)
ngoai ra y = 0 cu~ng la nghie^
.
m.
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat: y =
1
(x+ 1)(ln |x+ 1|+ ε) va y = 0 nghie^.m k di..
45) Gia' i phu.o.ng trnh: 2xy′ + y = 1
1− x
HD gia’ i: D- u.a phu.o.ng trnh ve^ da
.
ng y′ +
1
2x
y =
1
2x(1− x) phu
.
o
.
ng trnh tuye^

n
tnh ca^

p 1
www.VNMATH.com
11
Nghie^
.
m to^
'
ng quat: y =
C√
x
, bie^

n thie^n ha

ng so^

:
C ′(x) =
√
x
2x(1− x) ⇒ C =
1
2
ln |
√
x+ 1√
x− 1 |+ ε
Va^
.
y nghie^
.
m to^
'
ng quat: y =
1√
x
(1
2
ln |
√
x+ 1√
x− 1 |+ ε
)
46) Gia' i phu.o.ng trnh: xy′ − y = x2 sin x
HD gia’ i: y′ − y
x
= x sinx, phu.o.ng trnh tuye^n tnh. NTQ: y = Cx bie^n thie^n hang
so^

:
Nghie^
.
m to^
'
ng quat: y = (C − cosx)x
47) Gia' i phu.o.ng trnh: y′ cos2 x+ y = tgx thoa' y(0) = 0
HD gia’ i: Phu.o.ng trnh tuye^n tnh → NTQ y = Ce−tgx; y = tgx − 1 (mo^
.
t nghie^
.
m
rie^ng)
⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx− 1
y(0) = 0⇒ C = 1. Va^
.
y nghie^
.
m rie^ng ca^

n tm: y = tgx− 1 + e−tgx.
48) Gia' i phu.o.ng trnh: y′
√
1− x2 + y = arcsinx thoa' y(0) = 0
HD gia’ i: Nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh tuye^

n tnh thua^

n nha^

t: y = Ce−arcsinx
De^
~
tha^

y nghie^
.
m rie^ng: y = arcsinx− 1
⇒ NTQ: y = Ce−arcsinx + arcsinx− 1
y(0) = 0⇒ C = 1⇒ nghie^
.
m rie^ng ca^

n tm: y = e−arcsinx + arcsinx− 1
49) Tm nghie^
.
m rie^ng cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh: y′ =
1
2x− y2
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(1) = 0.
HD gia’ i: Xem x la a^'n ham, thay y′ =
1
x′
, phu
.
o
.
ng trnh thanh
1
x′
=
1
2x− y2 ⇐⇒ x
′ − 2x = −y2
D
-
a^y la phu
.
o
.
ng trnh tuye^

n tnh ca^

p mo^
.
t, nghie^
.
m to^
'
ng quat cu
'
a phu
.
o
.
ng trnh tuye^

n
tnh thua^

n nha^

t tu
.
o
.
ng u
.
ng la x = Ce−2y. Bie^n thie^n hang so^ du.o.
.
c NTQ:
x = Ce−2y +
y2
2
− y
2
+
1
4
thoa
'
ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u y(1) = 0 khi C =
3
4
.
Va^
.
y nghie^
.
m tho
'
a ma
~
n die^

u kie^
.
n da^

u: x =
3
4
e−2y +
y2
2
− y
2
+
1
4
.
www.VNMATH.com
12
50) Gia' i phu.o.ng trnh sau da^y, bie^