Toán học - Bài tập bất đẳng thức

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
A)Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. 	Cho a, b > 0 chứng minh: 
2. 	Chứng minh: 
3. 	Cho a + b ³ 0 chứng minh: 
4. 	Cho a, b > 0 . Chứng minh: 
5. 	Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: 
6. 	Chứng minh: ; a , b , c Î R
7. 	Chứng minh: 
8. 	Chứng minh: 
9.	Chứng minh: 
10.	Chứng minh: 
11. 	Chứng minh: 
12. 	Chứng minh: 
13. 	Chứng minh: 
14. 	Chứng minh: 
15.	Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: 
16.	Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a.	 ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
b.	 abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c.	 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
B)Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
17.	Chứng minh: 
18.	Chứng minh: 
19.	Chứng minh: với a , b , c ³ 0
20.	Cho a, b > 0. Chứng minh: , với m Î Z+
21.	Chứng minh: 
22.	Chứng minh: 
23.	Chứng minh: .
24.	Chứng minh: 	, a > 0
9.	Chứng minh: .
10.	Cho a , b, c > 0. Chứng minh: 
11.	Cho a , b ³ 1 , chứng minh: .
12.	Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13.	Cho a > b > c, Chứng minh: .
14.	Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a)	b + c ³ 16abc.
b)	(1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc
c)	
15.	Cho x > y > 0 . Chứng minh: 
16.	Chứng minh:
a)	 ,"x Î R	b)	 , "x > 1	c)	
17.	Chứng minh: 
18.	Chứng minh: , "x , y Î R
19.	Chứng minh: ; a , b , c > 0
20.	Cho a , b , c > 0. C/m: 
21.	Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a.	 	với a , b , c , d ³ 0	(Côsi 4 số)
b.	 	với a , b , c ³ 0 , 	(Côsi 3 số )
22.	Chứng minh: ; a , b , c > 0
23.	Chứng minh: 
24.	Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25.	Cho . Định x để y đạt GTNN.
26.	Cho . Định x để y đạt GTNN.
27.	Cho . Định x để y đạt GTNN.
28.	Cho , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29.	Cho , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30.	Tìm GTNN của , x > 0.
31.	Tìm GTNN của , x > 0.
32.	Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33.	Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
34.	Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN
35.	Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN
36.	Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , £ x £ . Định x để y đạt GTLN
37.	Cho . Định x để y đạt GTLN
38.	Cho . Định x để y đạt GTLN
C)Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1.	Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2)
BĐT Bunhiacopxki
2.	Chứng minh: 
3.	Cho 3a – 4b = 7. 	Chứng minh:	3a2 + 4b2 ³ 7.
4.	Cho 2a – 3b = 7. 	Chứng minh: 	3a2 + 5b2 ³ .
5.	Cho 3a – 5b = 8. 	Chứng minh: 	7a2 + 11b2 ³ .
6.	Cho a + b = 2. 	Chứng minh: 	a4 + b4 ³ 2.
7.	Cho a + b ³ 1	Chứng minh: 
D) ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1.	(CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:
2. 	(CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. 
Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z.
3.	(CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A = x + y + z + 
4.	(CĐSPHCM khối ABTDM 2006)Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	
A = .
5.	(CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
< 2
6.	(CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2³ 16.
7.	(CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: 
8.	(CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x2 + x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9.	(CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10.	(Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì:	
11.	(ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh:
12.	(ĐH Kiến trúc HN 2001)
Cho các số a, b, c thoả: 
Chứng minh: 
13.	(Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
14.	(ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
15.	(ĐH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: 
16.	(ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax.
Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
17.	(ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng:	(*)
18.	(ĐH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:	3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13
19.	(ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: 	
20.	(ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng:	8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
21.	(ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:	
22.	(ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: 
23.	(ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
a) 	a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca	b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)
24.	(ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	P = 
25.	(ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 
26.	(ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.
27.	(ĐH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)
28.	(ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 
29.	(ĐH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n
30.	(CĐSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	A = 
31.	(CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác 	không:	
BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng.
32.	(ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:	
33.	(ĐH Hàng hải 1999)
Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
34.	(ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3	(*)
35.	(Đại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
	(a, b, c là các cạnh của DABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36.	(Đại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	S = 
37.	(Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất đẳng thức: và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = .
38.	(Đại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
39. 	(Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng:
40.	(Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:	y = sin5x + cosx
41.	(Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = .
42.	(Đại học khối A 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : .
Chứng minh rằng:	
43.	(Đại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. 	(Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. 	(Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: ³ 6
46.	(Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ³ 256
Đẳng thức xảy ra khi nào?
47.	(Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng:
Khi nào đẳng thức xảy ra?
48.	(Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
49.	(Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:	
50. 	(Đại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
(x + y)xy = x2 + y2 – xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	A = .
51. 	(Đại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =