Toán học 12 - Phương pháp toạ độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
$1. MẶT PHẲNG
===================
Dạng 1. Bài tập cơ bản
 Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(1;0;0) và C(-1;2;0)
1. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. 
2. Tìm chu vi và diện tích DABC
3. Tìm tọa độ trung điểm các cạnh và tọa độ trọng tâm DABC
4. Tính đừng cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác.
5. Tính các góc của tam giác ABC.
Cho 3 điểm A(1;0;1), B(-1;-1,0) và C(2;1;1)
1. Chứng minh rằng 3 vectơ không đồng phẳng
2. Tính thể tích hình chóp OABC.
3. Tìm trên mặt phẳng Oyz các điểm cách đều A, B, C.
4. Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC).
Cho 4 điểm A(1;6;2), B(4;0;6), C(5;4;0), D(5;1;3).
a. Chứng minh 4 điểm đã cho là 4 đỉnh của một tứ diện.
b. Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng AD và BC.
c. Tính thể tích tứ diện ABCD và chiều cao tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Bài 4: Cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3).
CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tìm m, n để điểm M(2m-1; 2; n+2) thẳng hàng với A và C.
Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
Tìm độ dài đường phân giác ngoài của góc B của ABC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD biết A(1; 2; -3), B(0; 2; -4), C(8; 4; 6), D(5; 3; 2).Tìm toạ độ đỉnh S biết S thuộc trục Ox và thể tích tứ diện S.ABD bằng 6.Tính thể tích hình chóp S.ABCD.Tính đường cao hình chóp S.ABCD vẽ từ đỉnh S.
Bài 6: (CĐXD SỐ 3 - 2004)
	Cho 4 điểm A(-1; 2; 3), B(0; 4; 4), C(2; 0; 3), D(5; 5; -4)
Chứng tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của đỉnh D trên mp(ABC).
Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Dạng 2. Phương trình mặt phẳng 
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn
1. Đi qua điểm A(1;-1;3) và có véc tơ pháp tuyến (1;0;-3).
2. Đi qua điểm B(2;0;1) và có cặp véc tơ chỉ phương là (1;-1;0), (-2;1;2)
3. Đi qua các hình chiếu của M(1;-1;3) trên các trục tọa độ.
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;-1;3) và thỏa mãn
1. Vuông góc với trục tung
2. Song song với mặt phẳng (Oxz)
3. Song song với mặt phẳng (P): 2x + 3y – z + 3 = 0
4. Vuông góc với các mặt phẳng (Q): x – y + 1 = 0 và (R): -4x + 2y + 4z – 1 = 0
5. Chứa trục Ox
6. Chắn ra trên các trục tọa độ các đoạn thẳng bằng nhau và khác 0.
7. Vuông góc với (Q): 2x – y + z - 1 = 0 và song song với trục tung.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB, với A(3;5;-2), B(-1;1;4).
Bài 4. Cho 4 điểm A(-1;2;0), B(1;0,3), C(0;0;5. và D(-2;3;1)
1. Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện.
2. Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
3. Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện.
4. Tính thể tích của tứ diện.
5. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD.
6. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD. Từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CD.
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(2;-3;1), B(-1;0;2) và:
1. Song song với trục hoành.
2. Vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 1 = 0.
Bài 6. Cho DOAB đều trong mp(Oxy) có cạnh bằng a, đường thẳng AB // Oy, điểm A Î góc phần tư thứ nhất của mp(Oxy). Xét điểm S(0;0;a/3) 
1. Xác định tọa độ các điểm A, B và trung điểm E của đoạn OA. Sau đó viết phương trình mặt phẳng (P) chứa SE và song song với Ox.
2. Tính khoảng cách từ O đến mp(P), từ đó suy ra khoảng cách từ Ox đến SE.
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;4;3) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(-4;-9;12) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B, C sao cho OB = 1 + OC (B, C ¹ O)	
$2. ĐƯỜNG THẲNG
===================
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng biết rằng
Đường thẳng đi qua A(-1;2;4) và song song với d:
Đường thẳng đi qua A(-1;2;4) và // với d: 
Đường thẳng đi qua B(-2;1;1) và vuông góc (P): 2x – y + z – 3 = 0.
Bài 2. Cho điểm M(0;3;1) và N(-3;2;-2).
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M, N.
Tìm điểm P trên đường thẳng MN sao cho đoạn PQ nhỏ nhất, trong đó Q(-1;1;-1).
Bài 3. Cho điểm A(2;-3;1) và mặt phẳng (P): x – 3y + z = 0.
Tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (P).
Tìm điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P).
Bài 4. Cho điểm A(2;-3;1), mặt phẳng (P): x – 2y + 3z +2 = 0 và đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, //(P) và ^ d.
 Bài 5. Cho A(1;-3;-2), các mặt phẳng (P): x – 2y +3z +2 = 0 và (Q): 4x–3z = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và song song với (P), (Q).
Bài 6. Cho điểm A(1;-2;3), đường thẳng d: , D: . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, ^ với d và ^ D .
Bài 7. Cho điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mp(P): 3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng đi qua A, B với mp(P).
Tìm tọa độ điểm C trên mp(P) sao cho DABC là tam giác đều.
Bài 8. Cho 3 điểm A(0;-1;1), B(3;1;0), C(-2;2;-1) 
Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều A, B, C.
Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm DABC và ^ (ABC).
Dạng 2.Điểm, đường thẳng,mặt phẳng
Bài 1. Cho phương trình đường thẳng d: và (P): x + y + z = 0
Xác định giao điểm A của d và (P)
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với d và nằm trong (P).
Bài 2. Cho đường thẳng d1:, d2: và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0.Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mp(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
Bài 3. Cho điểm A(1;-2;2) và phương trình đường thẳng 
	d1:và d2: 
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt đường thẳng d2.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2.
Tính góc tạo bởi d1 và d2.
Bài 4. Cho phương trình đường thẳng d: và mp(P): x – 2y + z – 1 = 0.
Tìm giao điểm của d và mp(P).
Tìm góc tạo bởi d và mp(P).
Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d lên mp(P).
Bài 5. Cho phương trình đường thẳng d1: và d2: 
Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
 Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2.
Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d1 lên mặt phẳng (P): 3x – 2y - 2z -1 = 0 theo phương d2.
Bài 6. Cho điểm A(1;2;1), B(2;1;3) và mp(P): x – 3y + 2z – 6 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B đồng thời vuông góc với mp(P).
Tìm điểm H trên mp(P) sao cho khoảng cách AH ngắn nhất.
Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mp(P).
Tìm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Tìm M trên mặt phẳng (P) sao cho nhỏ nhất.
Bài 7. Cho phương trình đường thẳng d: và (P): x – 2y + z – 1 = 0.
Tìm điểm M trên d sao cho khoảng cách từ nó đến (P) bằng 1.
Tìm điểm đối xứng của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d.
Tìm m để góc tạo bởi d và mp(Q): 2x – y + m.z – 1 = 0 bằng 450.
Bài 8. Cho tứ diện có bốn đỉnh là A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) và gốc tọa độ O.
Chứng minh rằng SB ^ OA.
Chứng minh rằng hình chiếu của SB lên mp(OAB) là đường thẳng ^ OA. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA. Xác định tọa độ K ?
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SO và AB. Tìm M trên đường thẳng SB sao cho đường thẳng PQ và KM cắt nhau.
9.ĐHD’02. Cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và dm: . Xác định m để đường thẳng dm // mp(P).
10.ĐHB’03. Cho A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho =(0;6;0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
11.ĐHD’03. Cho (P): x – y – 2z + 5 = 0 và dm:. Xác định m để đường thẳng dm ^ (P).
12.ĐHB’04. Cho A(-4;-2;4) và d: . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với d.
13.ĐHA’05. Cho mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 và đường thẳng d: 
1. Tìm tọa độ điểm I trên d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2.
2. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mp(P). Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mp(P), biết D đi qua A và ^ d.
14. ĐHB’06. Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng , 
	1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.
	2. Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
15. ĐHD’06. Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz, cho điểm A(1;2;3) v à hai đường thẳng .
	1. Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.
	2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
16. ĐHA’07. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: và 
	1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
	2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y-4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
17. ĐHD’07. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng .
	1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).
	2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.
Bài 1. Cho các mặt phẳng 
(P): x – 2y + z – 1 = 0
(Q): 3x + y + m.z + 2 = 0 
(R): 2x + 2y – z = 0.
1. Tìm m để (P) ^ (Q).
2. Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), đồng thời ^ (R), với m tìm được ở trên.
Bài 2. Cho phương trình đường thẳng d: và (P): 2x + 5y + 3z + 5 = 0
1. Chứng minh rằng d // (P).
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và // mp(P).
Bài 3. Cho phương trình đường thẳng d1: và d2: 
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và ^ d2
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và // d2.
Bài 4. Cho A(-1;0;2) và đường thẳng d:
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d 
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cách A một khoảng bằng 1.
Bài 5. Cho phương trình đường thẳng d:và mp(P): 3x + 4y - 6 = 0.
1. Tìm góc tạo bởi đường thẳng d và mp(P).
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc 600.
6.ĐHA’02. Cho các đường thẳng D1:và D2:
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng D1 và // đường thẳng D2.
2. Cho điểm M(2;1;4). Tìm H Î D2 sao cho MH có độ dài nhỏ nhất.
7.ĐHD’05. Cho d1: và d2: 
1. Chứng minh rằng d1 // d2. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng trên.
2. Mặt phẳng (xOz) cắt d1 và d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích DOAB.
Dạng 3. Hai đường thẳng
Bài 1. Cho phương trình đường thẳng d1:và d2: 
Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau.
Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó.
Bài 2. Cho phương trình đường thẳng d1:và d2: 
Chứng minh rằng hai đường thẳng trên là chéo nhau.
Tính khoảng cách giữa chúng.
Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
Bài 3. Cho phương trình đường thẳng d1:và d2: 
Chứng minh rằng hai đường thẳng trên là chéo nhau.
Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều d1 và d2.
4.ĐHD’05. Cho các đường thẳng d1: và d2: 
1. cmr d1 // d2. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng trên.
2. mp (xOz) cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích DOAB.
$3. MẶT CẦU
================
Dạng 1. Phương trình mặt cầu
Bài 1. Cho điểm I(2;-1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + z + 2 = 0.
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là I và tiếp xúc với mp(P).
2. Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài 2. Cho mp(P): 5x – 4y + z – 6 = 0 , mp(Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng d: 
1. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mp(P).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và (S) cắt mp(Q) theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20p.
Bài 3. Cho điểm I(1;-2;-1). và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và (S) cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 4.
Bài 4. Cho A(3;2;6)., B(3;-1;0), C(0;-7;3) và D(-2;1;1).
1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
2. Chứng minh rằng tứ diện đó có các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Bài 5. Cho mặt cầu có phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 4z = 0
1. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.
2. Cọi A, B, C lần lượt là các giao điểm ( khác gốc tọa độ) của (S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
3. Xác định tọa độ chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu xuống mp(ABC).
Bài 6. ( Phương trình đường tròn trong không gian) 
Cho mp(P): x + z + 1 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 4z = 0
1. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.
2. Viết phương trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và mp(P). Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của (C).
7.ĐHD’04. Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mp(P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm trên mp(P).
Dạng 2. Bài toán tiếp xúc
Bài 1. Cho phương trình mặt phẳng (P): (8 + m)x – (11+m)y + 2(4–m)z – 30 = 0 và (S): x2 + y2 + z2 –2x–6y + 4z – 15 = 0. Tìm m để (P) tiếp xúc với (S).
Bài 2. Cho (S): (x+1)2 + y2 + (z–2)2 = 2 và d: , (m ¹ 0).Tìm m để d tiếp xúc với (S).
3.TN’05. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 
d1:và d2: 
1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. 
2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó // với d1 và d2.
4.TN’06. Cho A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm DABC. 
1. Viết phương trình đường thẳng OG.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC. 
3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với (S).
4. Viết pt mặt cầu đường kính OG.
$4. GIẢI TOÁN HHKG BẰNG CÁCH CHỌN HỆ TỌA ĐỘ
================
Bài 1. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng mp(OMN) ^ mp(OMP) khi và chỉ khi .
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c. Từ A’ và B hạ các đường A’P và BQ vuông góc và cắt đường chéo AC’. Tính độ dài PQ theo a, b, c.
Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới các mặt của tứ diện bằng hằng số k2 cho trước.
Bài 4.Cho hệ toạ độ Đề các vuông góc xoyz. Trên các nửa trục ox, oy, oz lấy các điểm tương ứng A(2a,0,0), B(0,2b,0), C(0,0,c) với a,b,c > 0.
	1. Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) theo a,b,c.
	2. Tính thể tích khối đa diện OABE theo a,b,c trong đó E là chân đường cao AE trong ∆ ABC.
4.ĐHA’02. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích DAMN, biết rằng mp(AMN) ^ mp(SBC). 
5.ĐHB’02. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a.
1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
6.ĐHD’02. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD ^ mp(ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD).
7.ĐHA’03. 
1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo góc phẳng nhị diện [B,A’C,D].
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc O, B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b), a > 0, b > 0. Gọi M là trung điểm CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Tìm tỉ số a/b để (A’BD) ^ (MBD).
8.ĐHD’03. Cho hai mp(P) và mp(Q) vuông góc nhau, có giao tuyến là đường thẳng D. Trên D lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC và BD cùng vuông góc với D và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a.
9.ĐHA’04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, AC cắt BD tại O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2). Gọi M là trung điểm SC.
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
10.ĐHD’04. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AA’ và CC’. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mp. Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
 11.ĐHD’04. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B’(-a;0;b), a > 0, b > 0. 
1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C.
2. Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C là lớn nhất.