Toán học 12 - Các công thức nguyên hàm mở rộng

CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
1. = ln + C	2. =ln + C
3. = ( + ln) + C	4. =( + ln) + C	
5. = + C	6.= + C
7. = + C	8. = ln|x2 + a| + C
9. = ln|x2 - a| + C	10. = + C
11. = + C	12. =( x+ a2) + C
13. = ( x- a2) + C 14. = xlnx - x + C
15. = - ln|cosx| + C 	16. = ln|sinx| + C
Lưu ý:
1. du = u'.dx 
VD: d(ax+b) = d(ax) = adx; 	d(sinx) = cosxdx; 	d(cosx) = -sinxdx
 d(tan) = (tan)'dx = ()' = = ; ...
2. Nếu = F(u) + C thì = F(au + b) + C (a 0)
VD: = ln|au + b| + C; = + C (-1) ; ...
3. Biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan: sinx =; cosx = ; tanx = ; dx = 
4. =(- )
5. ; 	Đặt x = atant
6. 	Đặt x = 
7. 	Đặt x = asint
Chứng minh
1. I = = = = = ln + C
Cách 2: === -= - 
 = - (-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = + C
Rõ ràng = = = nên hai kết quả trên, đều đúng!. 
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx = ; thay sinx = (cosx = ; tanx =)
I = = = = ln|t| + C = ln|tan| + C
Phương pháp này là biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan, chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số 
2. = = = 
 ==ln + C
Cách 2: === = 
 = (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = + C 
Rõ ràng = = = = 
Cách 3: Đặt t = tan dt = dx dx = ; thay cosx = 
 I = = = = = = -ln|1-t| + ln|1+t| + C = + C
 = ln + C
3. I = Đặt u = du = dx; dv = v = tanx
AD CT NH TP : I = - = - = - I1
Với I1 = = = -= I - 
Từ đó I = - I1 = - (I - ln) 
 2I = + ln + C I = ( + ln) + C
4. Đặt 
Tính 
5. === + C
6. I = Đặt x = atant dx = ; === 
=== ln + C , với t = arctan.
Cách 2: Đặt t = x+ dt = (1+)dx = dx = dx dx = dt
Từ đó I = == = ln|t| + C = + C
7. I = Đặt x = dx = ; = = a.tant
= = = ln + C, với t = arccos.
Cách 2: Đặt t = x + dt = (1+)dx = dx = dx 
 dx = dt Từ đó I = == = ln|t| + C = + C
8. = = ln|x2 + a2| + C 9. = = ln|x2 - a2| + C
10. === + C = + C
11. === + C = + C
12. Đặt x = atant dx = ; === 
 = = a2 = a2.( + ln) + C, với t = arctan.
Cách 2: I = = = + = I1 + I2
Với I1 = = a2 (chọn C = 0)
I2 = = Đặt u = x du = dx; dv = dx v = 
ADCT NHTP I2 = x- = = x- I
I = I1 + I2 = a2 + x- I I = ( x+ a2) + C
13. I = =( x- a2 ) + C 
Đặt x = dx = ; = = a.tant
I = = = a2 = a2= a2( - )
Với =( + ln) + C; = ln + C
Cách 2: I = = = - = I2 - I1
Với I1 = = a2. (chọn C = 0)
I2 = = Đặt u = x du = dx; dv = dx v = 
ADCT NHTP I2 = x- = = x- I
I = I2 - I1 = x- I - a2 I = ( x- a2) + C
14. I = 
Đặt u = lnx du = ; dv = dx v = x
ADCT NH TP : I = xlnx - = xlnx - x + C
15. 
16. 
= Good luck! =