Toán - Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
1
CHUYÊN ĐỀ 1. 
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến 
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 0 0M( , ) ( ) : ( )x y C y f x  
 * Tính ' ' ( )y f x ; tính ' 0( )k f x (hệ số góc của tiếp tuyến) 
 * Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x tại điểm  0 0;M x y có phương trình 
 0 0y k x x y   với 0 0( )y f x 
Bài 1: Cho hàm số 3 3 5y x x   (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 
a) Tại điểm A (-1; 7). 
b) Tại điểm có hoành độ x = 2. 
c) Tại điểm có tung độ y =5. 
Bài 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 3 22 2 4y x x x    . 
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0. 
Bài 3: Cho hàm số 3 3 1y x x   (C) 
 a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2. 
 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N. 
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 
2
1
x
y
x



 tại các giao điểm của (C) với 
đường thẳng (d): 3 2y x  . 
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số ( )y f x (C) khi biết trước hệ số góc của 
nó 
+ Gọi 0 0( , )M x y là tiếp điểm, giải phương trình 
'
0 0( )f x k x x   , 0 0( )y f x 
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: 
0 0( )y k x x y   
 Các dạng biểu diễn hệ số góc k: 
*) Cho trực tiếp: 
3
5; 1; 3; ...
7
k k k k       
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a. 
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b
1
1ka k
a

     . 
Bài 5: Cho hàm số 3 23y x x  (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số 
góc của tiếp tuyến k = -3. 
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 23 1y x x   (C). Biết tiếp tuyến đó 
song song với đường thẳng y = 9x + 6. 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
2
Bài 7: Cho hàm số 3 3 2y x x   (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến 
đó vuông góc với đường thẳng 
1
9
y x

 . 
Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: 4 2
1
2
4
y x x  , biết tiếp tuyến 
vuông góc với đường thẳng (d): 5 2010 0x y   . 
Bài 9: Cho hàm số 
2
2 3
x
y
x



 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến 
cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc 
tọa độ. 
Bài 10: Cho hàm số y = 
2 1
1
x
x


 có đồ thị (C). 
 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần 
lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. 
1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm (tham khảo) 
 Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua 
điểm ( ; )A   . 
Cách giải 
 + Tiếp tuyến có phương trình dạng: 0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x   , (với x0 là hoành độ 
tiếp điểm). 
 + Tiếp tuyến qua ( ; )A   nên 0 0 0( ) '( )( ) (*)f x f x x    
 + Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến. 
Bài 11: Cho đồ thị (C): 3 3 1y x x   , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 
đi qua điểm A(-2; -1). 
1.4. Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao. 
Bài 12: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 3 3 2y x x   sao cho tiếp tuyến 
của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . 
Bài 13: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 
2 1
1
x
y
x



 sao cho tiếp tuyến của 
(C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10 . 
Bài 14: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) 
cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại 
D và E vuông góc với nhau. 
Bài 15: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: 
2 2
1
x
y
x



, biết rằng 
khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
3
Bài 16: Cho (C) là đồ thị hàm số 
1
2 1
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp 
tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân 
tại gốc tọa độ O. 
Bài 17: Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp 
tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2). 
Bài 18: Cho hàm số 
2
( )
1
x
y C
x


 tìm điểm M ( )C sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 
1
4
Bài 19: Cho hàm số 3 23 2 5 ( )y x x x C    . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có 
hoành độ x = 1 
Bài 20: Cho hàm số 3
1 2
3 3
y x x   , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông 
góc với đường thẳng 
1 2
( )
3 3
y x d   
Bài 21: Cho hàm số 3 23 9 5 ( )y x x x C    . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm 
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 
Bài 22: Cho hàm số 4 2 6y x x    . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 
tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 
1
1
6
y x  
Bài 23: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số 
2 1
1
x
y
x



. Biết tiếp tuyến đi 
qua điểm A(-1; 3). 
Bài 24: Cho hàm số: y = 
2
2
x
x


 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua 
A(-6,5) 
Bài 25: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ 
điểm 
23
; 2
9
A
 
 
 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
4
2. Chủ đề 2: Cực trị của hàm số. 
2.1. Kiến thức cơ bản 
2.1.1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: 
QUY TẮC I QUY TẮC II 
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính  /f x . Xác định các điểm tới 
hạn. 
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận. 
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính  /f x . Giải phương trình 
 / 0f x  và kí hiệu ix ( 1, 2,...i  ) là các 
nghiệm của nó. 
Bước 3: Tính  / /f x và  / / if x . Kết luận 
2.1.2. Sự tồn tại cực trị 
 a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0: 
0
0
'( ) 0
' dôi dau qua x
y x
y



 hoặc 





0)(''
0)('
0
0
xy
xy
 b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0: 
0
0
'( ) 0
' doi dau tu .
y x
y sang qua x


 
 hoặc 





0)(''
0)('
0
0
xy
xy 
 c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0: 
0
0
'( ) 0
' doi dau tu .
y x
y sang qua x


 
 hoặc 

0
0
y '(x ) 0
y ''( x ) 0
 d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): 
 y’= 0 có hai nghiệm phân biệt  a 0
0


 
 e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 
 2.1.3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. 
Phương pháp: 
 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
 Biễu diễn điều kiện của bài toán qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, 
từ đó đưa ra điều kiện của tham số. 
2.2. Ví dụ và bài tập 
Bài 1: Tìm m để hàm số:    3 2 2 21 2 3 1 5
3
y x m m x m x m        đạt cực tiểu tại x  
2. 
Bài 2: Cho hàm số: 3 23( 1) 9y x m x x m     , với m là tham số thực.Xác định m để hàm 
số đã cho đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 2 2x x  . 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
5
Bài 3: Cho hàm số  3 2( ) 3 1 1y f x mx mx m x      , m là tham số. Xác định các giá trị 
của m để hàm số ( )y f x không có cực trị 
Bài 4: Cho hàm số 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x        (m là tham số) có đồ thị là 
(Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục 
tung 
Bài 5: Tìm m để hàm số      3 21 11 3 2
3 3
f x mx m x m x      đạt cực trị tại x1, x2 thỏa 
mãn 1 22 1x x  
Bài 6: Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m      (1). Tìm m để hàm số (1) có cực 
trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O 
Bài 7: Cho hàm số  4 2 22 1 my x m x C   (1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là 
ba đỉnh của một tam giác vuông cân 
Bài 8: Cho hàm số 4 2 22 1y x m x   (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có 
ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích) 
Bài 9: Cho hàm số 4 22 1y x mx m    (1), với m là tham số thực. Xác định m để hàm 
số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác 
có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 
Bài 10: Cho hàm số  3 22 3 1 6y x m x mx    .Tìm m để hàm số có cực trị. 
Bài 11: Cho hàm số    3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x      . Tìm m để hàm số đạt cực 
đại tại 0x  . 
Bài 12: Tìm m để hàm số  3 2 22 22 3 1
3 3
y x mx m x     có hai điểm cực trị 1x và 
2x sao cho:  1 2 1 22 1x x x x   
Bài 13: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  3 2 21 1 3
3 2
y x mx m x    có cực 
đại tại xCĐ cực tiểu tại CTx sao cho xCĐ, CTx là độ dài các cạnh góc vuông tại một tam giác 
vuông có độ dài cạnh huyền bằng 
5
2
. 
Bài 14: Xác định m để hàm số  3 23 1 9y x m x x m     đạt cực trị tại 1 2, x x sao 
cho 1 2 2x x  . 
Bài 15: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 33 3y x mx m   có hai điểm cực trị A và B sao cho 
tam giác OAB có diện tích bằng 48. 
Bài 16: Cho hàm số 3 2 33 4y x mx m   (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm 
số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho 2 2 20OA OB  . 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
6
Bài 17: Cho hàm số    3 2 2 23 3 1 3 1 1y x x m x m       Tìm m để hàm số (1) có cực 
đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một 
tam giác vuông tại O. 
Bài 18: Tìm m để hàm số    3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x      đạt cực trị tại x1, x2 thỏa 
mãn 
 x1 + 2x2 = 1. 
Bài 19: Tìm m để hàm số  4 2 29 10y mx m x    có 3 điểm cực trị. 
Bài 20: Tìm m để đồ thị hàm số y = -x4 +2(m+2)x2 –2m –3 chỉ có cực đại, không có cực 
tiểu. 
Bài 21: Tìm m để (C):    4 2
1
3 1 2 1
4
y x m x m     có 3 điểm cực trị lập thành một tam 
giác có trọng tâm là gốc tọa độ. 
Bài 22: Cho hàm số 4 22( 1)y x m x m    (1), m là tham số. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc 
tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. 
Bài 23: Cho hàm số 4 22 4y x mx    có đồ thị  mC . ( m là tham số thực) 
Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị  mC nằm trên các trục tọa độ. 
Bài 24: Cho hàm số  4 2 2 42 1y x m x m m    , m là tham số thực. 
Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1 
Bài 25: Cho hàm số  4 24 1 2 1y x m x m     có đồ thị  mC 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số khi 
3
2
m  . 
 b) Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều 
Bài 26: Cho hàm số  4 2 2 42 1y x m x m m    , m là tham số thực. 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m   . 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích 
bằng 32. 
Bài 27: Cho hàm số    4 2 22 2 5 5y f x x m x m m       
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1. 
 b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 
tam giác vuông cân. 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
7
3. Chủ đề 3: Bài toán tương giao 
3.1. Kiến thức cơ bản 
3.1.1. Bài toán tương giao tổng quát: 
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 
nghiệm của phương trình 
 f(x, m) = g(x,m) (1). 
 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. 
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C). 
3.1.2. Bài toán cơ bản: 
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1) 
Chú ý: 
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có 
Dạng: y – y0 = k(x – x0). 
+ Khai thác tọa độ giao điểm ( ( ; )M MM x y của (C) và d, ta cần chú ý: Mx là nghiệm 
của (1);M thuộc d nên M My ax b  
+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet 
 Phương pháp hàm số 
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m. 
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m. 
3.2. Ví dụ và bài tập 
Bài 1 : Cho hàm số 3 23 1y x x    
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. 
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 23 0x x m   . 
Bài 2 : Cho hàm số 4 23x 1y x    có đồ thị (C) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình 4 2x 3x 0m   có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài 3 : Cho hàm số 
2 1
2
x
y
x



 có đồ thị (C). 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại 
hai điểm phân biệt. 
Bài 4 : Cho hàm số  3 23 4y x x C   .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với 
hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao 
điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. 
Bài 5 : Cho hàm số  
2 1
1
x
y C
x



Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị 
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 . 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
8
Bài 6 : Cho hàm số  3 22 3 4y x mx m x     (1). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt 
đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. 
(Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ). 
Bài 7 : Cho hàm số 3 23( 1) 3 2y x m x mx     và đường thẳng : 5 1.d y x  Tìm m để 
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3; ;x x x thỏa mãn 
2 2 2
1 2 3 21x x x   
Bài 8 : Cho hàm số 3 23 ( 1) 1y x mx m x m      và đường thẳng : 2 1.d y x m   Tìm 
m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1. 
Bài 9: Cho hàm số: 
2 3
2
x
y
x



 có đồ thị ( C ). 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ). 
b)Xác định m để đường thẳng (d): y x m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, 
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ). 
Bài 10: Cho hàm số: y = 
2 1
1
x
x


 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ). 
 b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao 
cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ). 
Bài 11: Cho hàm số  
2 4
1
x
y C
x



. 
 a) Khảo sát hàm số 
 b) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C 
) tại hai điểm M, N và 3 10MN  . 
Bài 12: Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



 có đồ thị (C). 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Tìm m để đường thẳng y x m  cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho 4AB  . 
Bài 13: Cho hàm số 
2 1
2
x
y
x



 có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m 
luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 
Bài 14: Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



 có đồ thị là (C). 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
 b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao 
cho tam giác OAB vuông tại O. 
Bài 15: Cho hàm số 
2
2 1
x
y
x



 ( C ) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
9
b) Tìm m để (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C). 
Bài 16: Cho hàm số y = 
2 4
2
x
x


 (1). Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 - 2m cắt đồ 
thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau. 
Bài 17: Cho hàm số y = 
2
1
x
x


(C) và đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị  C tại các điểm A 
và B sao cho tam giác IAB nhận điểm  4; 2H  làm trực tâm. Với I là giao điểm của hai 
đường tiệm cận 
Bài 18: Cho hàm số 
2
x m
y
x
 


 (C). Tìm số thực dương m để đường thẳng 
  : 2 2 1 0d x y   cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 
trong đó O là gốc tọa độ. 
4. Phép biến đổi đồ thị 
4.1. Kiến thức liên quan 
Đồ thị chứa dấu trị tuyệt đối 
y = f(x) có đồ thị (C)  y f x có đồ thị (C’)  y f x có đồ thị (C’’) 
   0,y f x x D    . 
Ta cã: y = f( x ) = 
( ) 0.
( ) 0.
f x khi x
f x khi x


 
Do đó: 
+Ta phải giữ nguyên phần (C) 
phía trên trục Ox 
+Lấy đối xứng qua Ox với phần 
phía dưới trục Ox. 
+Bỏ đi phần (C) nằm ở phía dưới 
Ox 
 y f x có 
   f x f x  , x D  
nên đây là hàm số chẵn do 
đó có đồ thị đối xứng qua 
trục tung Oy. 
Do đó: 
+) Ta phải giữ nguyờn phần 
(C) bên phải Oy 
+Bỏ đi phần (C) nằm ở bên 
trái Oy 
+Lấy đối xứng qua Oy vớí 
phần đồ thị (C) ở bờn phải 
Oy 
x
y
(C)
x
y
(C')
x
y
(C '')
4.2. Ví dụ và bài tập : 
Bài 1 : Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
10
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối A- 2006) 
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số: 
a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 
b) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 
Bài 2 : Cho hàm số 
1
1
x
y
x


 
có đồ thị (C) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số. 
 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
1
.
1
x
m
x


 
Bài 3 : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 2 2
1
m
x x
x
  

Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 34 3y x x  
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
3
4 3x x m  
Bài 5 : a) Vẽ đồ thị hàm số 3 23 6y x x   (C) 
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 23 6x x m   
5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
5.1 Kiến thức liên quan: 
a. trên khoảng (a; b) : 
*Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên (a;b)) 
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn của hàm số trên thuộc khoảng (a; b) 
* Lập bảng biến thiên 
* Dựa vào bảng biến thiên kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
b. trên khoảng [a; b] : 
* Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên [a;b]) 
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn xi của hàm số trên thuộc khoảng (a; b) 
* Tính ( ); ( ); ( )if x f a f b 
* 
 
 
;
( ) ( ); ( ); ( )i
a b
Max f x Max f x f a f b , 
 
 
;
( ) ( ); ( ); ( )i
a b
Min f x Min f x f a f b 
* KL 
5.2 Ví dụ và bài tập: 
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số   3 21 2 3 7
3
f x x x x    trên đoạn [0;2] 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 22 3 12 2x x x   trên đoạn 
[ 1;2] 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x4 – 2x3 + x2 trên đoạn [-1;1] 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 3 22 3 12 1y x x x    trên đoạn [1;3] 
GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544 
THPT GANG THÉP 
11
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 28 16 9y x x x    trên đoạn [1; 
3]. 
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3( ) 3 1f x x x   trên đoạn [0 ; 2]. 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2( ) 2 1f x x x   trên đoạn [0; 2]. 
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2( ) 2 4 3f x x x    trên đoạn [0; 
2] 
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2( ) 2 6 1f x x x   trên đoạn [1; 1]. 
Bài 10: Tìm giá tr