Toán - Chinh phục Hình hoïc tọa độ phẳng oxy

CHINH PHUïC 
 HÌNH HOïC 
tọa độ phẳng Oxy 
(phaàn 1) 
https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 1 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bài 1: ABC∆ nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; 1)− là trung điểm cạnh BC. 
Đường cao kẻ từ B của ABC∆ đi qua điểm E( 1; 3)− − , điểm F(1;3) nằm trên đường thẳng 
AC. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh BC biết D(4; 2)− 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Trước hết, khi gặp loại bài tập mà 
tam giác nội tiếp đường tròn, dữ kiện 
bài cho đường cao của tam giác thì ta 
thường nghĩ đến việc tạo ra 1 hình 
bình hành bằng cách: 
- Nếu tam giác có 2 đường cao thì ta 
chỉ việc kẻ 1 đường kính đi qua đỉnh 
còn lại (không chứa 2 đường cao kia). 
- Nếu tam giác có đường kính đi qua 
đỉnh và 1 đường cao thì ta sẽ kẻ đường 
cao thứ 2 
(bài toán này ta sẽ làm như vậy) 
+ Với bài toán này ta sẽ tạo ra điểm H 
là trực tâm ABC∆ ⇒ ta chứng minh 
được BHCD là hình bình hành (cái này 
quá quen rồi phải không - tự làm nhé) 
+ Công việc chuẩn bị đã xong, bây giờ 
ta sẽ làm theo các bước suy luận sau nhé: 
- Thấy ngay H là trung điểm AC H(2;0)⇒ 
- Lập được phương trình BH (qua 2 điểm H và E) BH : x y 2 0⇒ − − = 
- Lập được phương trình DC (qua D và // BH) DC : x y 6 0⇒ − − = 
- Lập được phương trình AC (qua F và BH⊥ ) AC : x y 4 0⇒ + − = 
- Tọa độ C AC DC= ∩ , giải hệ C(5; 1)⇒ − 
- Lập phương trình BC đi qua 2 điểm M và C BC : y 1 0⇒ + = 
- Lập phương trình AH (qua H và BC⊥ ) AH : x 2 0⇒ − = 
- Tọa độ A AH AC= ∩ , giải hệ A(2;2)⇒ 
Bài 2: Cho ABC∆ nội tiếp đường tròn (C), đường phân giác trong và ngoài của 
A cắt 
đường tròn (C) lần lượt tại M(0; 3), N( 2;1)− − . Tìm tọa độ các điểm B, C biết đường thẳng 
BC đi qua E(2; 1)− và C có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Trước hết ta thấy ngay AN AM⊥ (t.c phân giác của 2 góc kề bù) ⇒ đường tròn (C) sẽ 
có tâm I( 1; 1)− − là trung điểm MN, bán kính ( ) ( )2 2MNR 5 (C) : x 1 y 1 5
2
= = ⇒ + + + = 
+ Như vậy đến đây thấy rằng để tìm tọa độ B, C ta cần thiết lập phương trình đường 
thẳng BC rồi cho giao với đường tròn (C). 
F(1;3)
H
M(3;-1)
E(-1;-3)
D(4;-2)
C
B
A ?
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 2 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
x
N(1;1)
M(-1;0)
O(0;0)
3x+y-1=0
C
B
A
+ Quan sát tiếp thấy BC qua E(2;-1) rồi, giờ thì ta cần tìm VTCP hoặc VTPT nữa là ổn 
đúng không ! 
Nếu vẽ hình chính xác thì ta sẽ dự đoán được BC MN⊥ !!! (ta sẽ chứng minh 
nhanh nhé:    1 2A A MB MC= ⇒ = ⇒ M là 
điểm chính giữa BC H⇒ là trung điểm BC 
( H MN BC= ∩ ) BC MN⇒ ⊥ (q. hệ giữa 
đường kính và dây cung - hình học lớp 9)) 
+ Như vậy, tóm lại, đường thẳng BC qua E, 
MN BC : x 2y 4 0⊥ ⇒ − − = 
+ Cuối cùng, ta chỉ cần giải hệ phương trình 
gồm 6 7(C) BC B( 2; 3),C ;
5 5
 
∩ ⇒ − − − 
 
Bài 3: Cho ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm O(0;0). Gọi M(-1;0, N(1;1) lần lượt là các 
chân đường vuông góc kẻ từ B, C của ABC∆ . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của ABC∆ , 
biết điểm A nằm trên đường thẳng ∆ có phương trình : 3x + y - 1 = 0 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Ta thấy A A(a;1 3a)∈ ∆ ⇒ − , bây giờ cần 
thiết lập 1 phương trình để tìm a. 
+ Vẽ hình chính xác các ta sẽ dự đoán được 
AO MN⊥ (Thật vậy: ta sẽ c.minh nhanh 
như sau: kẻ tiếp tuyến Ax AOAx⇒ ⊥ (*), 
có  
sdAC
xAC ABC
2
= = , mà  ABC AMN= (do 
tứ giác MNBC nội tiếp) 
 xAC AMN / /MNAx⇒ = ⇒ (**). Từ (*) và 
(**) AO MN⇒ ⊥ ) 
Giải phương trình : 
AO.MN 0 a 1 A(1; 2)= ⇒ = ⇒ −
 
+ Đường thẳng AB đi qua A, N 
AB : x 1 0⇒ − = 
+ Đường thẳng AC đi qua A, M 
AC : x y 1 0⇒ + + = 
+ Đường cao BM đi qua M và 
AC BM : x y 1 0⊥ ⇒ − + = 
+ Tọa độ B AB BM B(1;2)= ∩ ⇒ , tương tự C( 2;1)⇒ − 
Như vậy điểm quan trọng nhất đối với bài này là phát hiện ra AO MN⊥ 
21
H
I
E(2;-1)
N(-2;1)
M(0;-3)
C
B
A
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 3 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bây giờ ta cùng vận dụng PP trên làm bài tương tự sau nhé: 
Bài 4 : Cho ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), bán kính R = 5. Chân đường cao kẻ từ 
B, C lần lượt là H(3;3), K(0;-1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, 
biết A có tung độ dương” 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = 5 có phương 
trình ( ) ( )2 2x 1 y 2 25− + − = 
+ Ta thấy ngay đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK 
có tâm M là trung điểm BC, đường kính BC (do 
  0BKC BHC 90= = ). Như vậy vấn đề quyết định của 
bài toán này là đi tìm tọa độ B, C. 
+ Theo bài toán đã giới thiệu lần trước, do ta chứng 
minh được AI KH⊥ ⇒ AI là đt qua I, AI KH⊥ ⇒AI 
có phương trình: 3x 4y 11 0+ − = 
+ Tọa độ A AI (C)= ∩ , giải hệ có A( 3;5)− 
+ Đường thẳng AB đi qua A, K AB : 2x y 1 0⇒ + + = 
+ Tọa độ B AB (C)= ∩ , giải hệ có B(1; 3)− , suy luận 
tương tự có C(6;2) 
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M là trung điểm BC, đường kính 
BC có phương trình: 
2 27 1 25
x y
2 2 4
   
− + + =   
   
Bài 5: (KD-2014) Cho ABC∆ nội tiếp đường tròn, D(1;-1) là chân đường phân giác của 

A , AB có phương trình 3x 2y 9 0+ − = , tiếp tuyến tại A có phương trình ∆ : x 2y 7 0+ − = . 
Hãy viết phương trình BC. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Với dữ kiện đề bài 
cho, trước hết ta xác 
định được ngay tọa độ 
A AB A(1;3)= ∆ ∩ ⇒ 
+ Đường thẳng BC đi 
qua D(1;-1) nên để lập 
phương trình BC ta cần 
tìm tọa độ một điểm 
nữa thuộc BC. 
Gọi 
E BC= ∆ ∩
( )E E 7 2x;x⇒ ∈ ∆ ⇒ − 
∆
3x+2y-9=0
x+2y-7=0
E
A
C
B D(1;-1)
1 1
2
1
K(0;-1)
H(3;3)
I(1;2)
C
D
B
A
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 4 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
+ Bây giờ cần thiết lập 1 phương trình để tìm x, vẽ hình chính xác sẽ cho ta dự đoán 
EAD∆ cân tại E ⇒ giải phương trình ED = EA sẽ tìm được x 1 E(5;1)= ⇒ . 
(chứng minh EAD∆ cân tại E như sau:  
 1 1D C DAC= + (góc ngoài ADC∆ ), mà 

 

1 1
sdABC A
2
= = , 
     
2 1 1 2DAC A D A A EAD EAD= ⇒ = + = ⇒ ∆ cân tại E) 
+ Đường thẳng BC đi qua 2 điểm E và D BC : x 2y 3 0⇒ − − = 
Bây giờ ta cùng vận dụng PP trên làm bài tương tự sau nhé: 
Bài 6 : “Cho ABC∆ có đỉnh A(1;5) . Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC∆ lần 
lượt là 5I(2;2), K ;3
2
 
 
 
. Tìm tọa độ B, C” 
Hướng dẫn tìm lời giải 
Mỗi bài hình học tọa độ phẳng trong thi ĐH đều có một “nút thắt” riêng, làm thế nào 
để tìm được “nút thắt” đó và “cởi nút thắt”. Câu trả lời là : Phải học nhiều, làm nhiều, 
chịu khó tổng hợp kiến thức và tư duy theo kinh nghiệm đã tích lũy . 
SAU ĐÂY TA SẼ ĐI TÌM “NÚT THẮT” CỦA BÀI TOÁN LẦN TRƯỚC NHÉ ! 
+ Ta lập được ngay đường tròn (C) ngoại 
tiếp ABC∆ có tâm K, bán kính AK. 
( )
2
25 25(C) : x y 3
2 4
 
⇒ − + − = 
 
+ Đường thẳng AI qua A, I 
5 1AI :3x y 8 0 D AI (C) D ;
2 2
 
⇒ + − = ⇒ = ∩ ⇒  
 
+ Bây giờ ta cần chứng minh 
BD DI CD (*)= = ⇒ B, C nằm trên đường 
tròn (T) tâm D, bán kính DI ⇒ tọa độ B, C 
là giao của 2 đường tròn (C) và (T) 
(Thật vậy, bây giờ ta chứng minh ý (*) - đây 
là yếu tố quyết định của bài toán này !!! 
- Ta có    1 2A A DB DC DB DC (1)= ⇒ = ⇒ = 
- Mà 
  
1 1 1I A B= + (góc ngoài ABI∆ ), lại có 
   

1 2 2 3
sdDCA A ,A B
2
= = = , 

 
1 2B B= 

   
1 2 3I B B IBD BDI⇒ = + = ⇒ ∆ cân tại D DB DI (2)⇒ = 
- Từ (1) và (2) BD DI CD (*)⇒ = = ) 
+ Như vậy đường tròn (T) tâm D, bán kính DI có phương trình: 
2 25 1 10
x y
2 2 4
   
− + − =   
   
+ { } B(4;1),C(1;1)B,C (C) (T)
B(1;1),C(4;1)

= ∩ ⇒ 

1
(C)
2
1
3
2
1
K( 52 ;3)
I(2;2)
C
D
B
A(1;5)
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 5 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bài 7: Cho ABC∆ có tâm đường tròn bàng tiếp của góc A là K(2; 9)− , đỉnh 
B( 3; 4),A(2;6)− − . Tìm tọa độ đỉnh C 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Ta thấy C AC BC= ∩ , vậy ta cần đi tìm 
phương trình đường thẳng AC và BC 
* Bước 1: Tìm phương trình AC 
- Đường thẳng AC đi qua A và B’ (trong 
đó B’(7;4) là điểm đối xứng của B qua 
phân giác AK: x - 2 = 0) 
AC :⇒ 2x 5y 34 0+ − = 
(Trong quá trình học ta đã có được kinh 
nghiệm: khi gặp đường phân giác và 1 
điểm, ta sẽ lấy điểm đối xứng qua đường 
phân giác - hy vọng bạn còn nhớ) 
* Bước 2: Tìm phương trình BC 
Suy luận tương tự ta cũng có: Đường 
thẳng BC đi qua B và A’ (trong đó A’ là 
điểm đối xứng của A qua phân giác BE) 
+ Giải hệ C AC BC= ∩ . Đáp số C(5;0) 
Bài 8: ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5. Trực tâm H(-1;-1), độ dài 
BC = 8. Hãy viết phương trình BC 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đây là 1 bài toán quen thuộc “tam giác nội tiếp 
đường tròn, cho biết trực tâm”, vậy ta sẽ nghĩ ngay 
đến việc tạo ra hình bình hành bằng cách kẻ đường 
kính AD BHCD⇒ là hình bình hành (bạn hãy tự 
xem lại cách chứng minh nhé) MI⇒ là đường 
trung bình của AHD∆ 
AH 2.MI⇒ = (một kết quả rất quen thuộc) 
+ Với các suy luận trên, ta sẽ tìm được tọa độ A 
trước tiên. Thật vậy, gọi A(x;y) 
Ta có: 
2 2 2 2AH 2.IM 2. CI BM 2 5 4 6
AI 5
 = = − = − =

=
, 
giải hệ này 
x 1
A( 1;5) D(5; 3) M(2; 2)
y 5
= −
⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒ −
=
 (do I là trung điểm AD, M là trung điểm HD) 
+ Như vậy, sau khi có điểm A, M ta thấy đường thẳng BC đi qua M, vuông góc với AH 
BC : y 2 0⇒ + = 
K(2;-9)
B(-3;-4)
A'
C
B'
E
A(2;6)
I
C
H
B
A
D
M
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 6 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bài 9: ABC∆ nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1). Xác định tọa độ 
C biết C có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Hoàn toàn với phương pháp lập luận như bài 
trên, ta cũng có được kết quả 
AH 2.MI AH 2.IM= ⇒ =
 
, nếu gọi M(x;y) thì giải 
phương trình AH 2.IM=
 
x 2, y 3 M( 2;3)⇒ = − = ⇒ − 
+ Đường thẳng BC đi qua điểm M, vuông góc với 
AH BC : y 3 0⇒ − = 
+ Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = IA có 
phương trình : ( )2 2x 2 y 74+ + = 
+ Tọa độ B, C là giao của BC và (C), giải hệ ta sẽ 
có ( )C 2 65;3− + (chú ý Cx 0> nhé) 
Như vậy qua bài toán trên, các bạn cần ghi nhớ 1 
kết quả quan trọng sau: Nếu H, I lần lượt là trực 
tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ , M là trung điểm BC thì ta có: AH 2.IM=
 
 (đây 
là điểm nút của vấn đề). Tiếp theo mạch tư tưởng đó, ta nghiên cứu bài sau cũng có cách 
khai thác tương tự. 
Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi 
E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH, BH và AD. Biết 
( )17 29 17 9E ; ;F ; ,G 1;5
5 5 5 5
   
   
   
. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABE∆ 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đây là bài toán phát triển theo mạch tư duy của 
dạng bài trên 
+ ABE∆ có F là trực tâm, vậy nếu gọi I là tâm 
đường tròn ngoại tiếp ABE∆ , M là trung điể AB 
thì ta đã chứng minh được 2.IMEF =
 
 (xem lại bài 
ở trên) 
Do tọa độ E, F đã biết, vậy để có I ta cần tìm tọa 
độ M, mà M là trung điểm AB nên ta cần tìm tọa 
độ A, B. (đây là điểm nút của bài toán này) 
+ Ta thấy ngay EF là đường trung bình của 
HCB AG FE∆ ⇒ =
 
. Như vậy nếu gọi A(x;y) thì 
giải phương trình AG FE x 1; y 1 A(1;1)= ⇒ = = ⇒
 
+ Tiếp theo lập được phương trình đt AE đi qua A, E AE : 2x y 1 0⇒ − + + = 
+ Đường thẳng AB qua A và vuông góc với EF AB : y 1 0⇒ − = 
+ Đường thẳng BH qua F và vuông góc với AE BH : x 2y 7 0⇒ + − = 
B BH AB B(5;1)⇒ = ∩ ⇒ M(3;1)⇒ 
+ Giải phương trình 2.IMEF =
 
I(3;3)⇒ 
I
C
H
B
A
D
M
M
I
D
C
A
G
H
B
F
E
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 7 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bài 11: Cho ABC∆ có trực tâm H, đường tròn ngoại tiếp HBC∆ có phương trình 
( )2 2x 1 y 9+ + = . Trọng tâm G của ABC∆ thuộc Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của ABC∆ biết 
BC có phương trình x y 0− = và B có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Trước hết ta có tọa độ B, C là giao điểm của đường tròn ( )2 2x 1 y 9 (C)+ + = và đường 
thẳng BC : x y 0− = . 
Giải hệ phương trình 
1 17 1 17B ; ;
2 2
1 17 1 17C ;
2 2
 
− + − +
⇒   
 
 
− − − −
  
 
+ Bây giờ việc khó khăn sẽ là tìm 
tọa độ A(x;y) theo trình tự suy luận 
sau: 
- Điểm G(0;a) thuộc Oy là trọng 
tâm ABC∆ , sử dụng công thức 
trọng tâm A( 1; y)⇒ − 
- Gọi O và I lần lượt là tâm đường 
tròn ngoại tiếp ABC∆ và HBC∆ ⇒ 
I và O đối xứng nhau qua BC (*), 
từ đây ta lập được phương trình OI 
qua I(-1;0) và vuông góc BC 
OI : x y 1 0⇒ + + = . 
- Ta có, tọa độ 
1 1M OI BC M ; O(0; 1)
2 2
 
= ∩ ⇒ − − ⇒ − 
 
- Mặt khác OA = 3 (bằng với bán kính đường tròn (C)) - do đường tròn tâm O và đường 
tròn tâm I đối xứng nhau qua BC nên bán kính bằng nhau. Giải phương trình 
( )OA 3 A 1; 1 2 2= ⇒ − + hoặc ( )A 1; 1 2 2− − 
Chắc bạn sẽ thắc mắc chỗ (*), bây giờ ta sẽ cùng giải thích nhé: 
+ Do tứ giác BHCD là hình bình hành (vấn đề này chứng minh hoài rồi) M⇒ là trung 
điểm HA’ 
+ Gọi D là điểm đối xứng của H qua BC  0ADA ' 90⇒ = (do KM là đường trung bình 
HDA '∆ , mà KM HD DA ' HD⊥ ⇒ ⊥ ) D (O)⇒ ∈ (O)⇒ ngoại tiếp BDC∆ . 
+ Đường tròn (I) ngoại tiếp BHC∆ , mà BHC∆ đối xứng với BDC∆ qua BC ⇒ đường 
tròn tâm I và đường tròn tâm O đối xứng nhau qua BC ⇒ I và O đối xứng nhau qua BC 
(*) 
K
A'
M
D
I
OGH
CB
A
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 8 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bài 12: ABC∆ cân tại A, gọi D là trung điểm của AB, D có tung độ dương, điểm 
11 5I ;
3 3
 
 
 
 là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . Điểm 13 5E ;
3 3
 
 
 
 là trọng tâm ADC∆ . Điểm 
M(3; 1) DC, N( 3;0) AB− ∈ − ∈ . Tìm tọa độ A, B, C 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Trước tiên ta viết phương trình 
DC đi qua M và vuông góc với 
EI DC : x 3 0⇒ − = 
(Tôi sẽ giải tích DC EI⊥ để bạn 
hiểu: 
- Gọi F, H, K lần lượt là các 
trung điểm BC, AC, AD 
E DH CK⇒ = ∩ . 
- Gọi G là trọng tâm ABC∆ 
G CDAF⇒ = ∩ 
- Ta có 
CE CG 2 GE / /AB
CK CD 3
= = ⇒ , mà 
AB DI GE ID⊥ ⇒ ⊥ 
- Lại có 
DE / /BC
GI DE I
GI BC

⇒ ⊥ ⇒⊥ 
 là trực 
tâm DGE∆ .. ) 
+ Tiếp theo ta tìm tọa độ D : do 
D DC D(3; x)∈ ⇒ , giải phương 
trình DN.DI 0 x 3 D(3;3)= ⇒ = ⇒
 
+ Ta sẽ viết tiếp phương trình 
AB (qua N, D) 
AB : x 2y 3 0⇒ − + = 
+ Đường thẳng AF qua I và 
vuông góc với DE 
: x y 2 0AF⇒ − − = 
+ Giải hệ A AB A(7;5) B( 1;1)AF= ∩ ⇒ ⇒ − (do D là trung điểm AB) 
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với IA BC : x y 0⇒ + = 
+ Giải hệ C BC C(3; 3)CD= ∩ ⇒ − 
(Lưu ý là đường thẳng CD đi qua M và D - bạn tự viết nhé) 
G
M(3;-1)
N(-3;0)
K
F
HE
I
CB
D
A
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 9 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bài 13: Cho ABC∆ vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. G là trọng tâm ABM∆ , 
điểm D(7;-2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA GD= . Tìm tọa độ điểm A, lập 
phương trình AB, biết hoành độ của A nhỏ hơn 4 và AG có phương trình 3x - y - 13 = 0 
Hướng dẫn tìm lời giải 
Bước 1: Tìm tọa độ A 
+ Ta tính được ngay khoảng cách 
d(D;AG) 10= 
+ A AG A(a;3a 13)∈ ⇒ − 
+ Ta có gọi N là trung điểm AB, do BMA∆ 
vuông cân tại M nên NM là đường trung trực 
của AB GA GB⇒ = , mà 
GA GD(gt) GA GB GD= ⇒ = = ⇒ G là tâm 
đường tròn ngoại tiếp 
  0ABD AGD 2.ABD 90∆ ⇒ = = (liên hệ giữa góc 
ở tâm và góc nội tiếp trong đường tròn tâm G 
ngoại tiếp ABD∆ ) AGD∆ vuông cân tại 
G 2 2AD 2.DG 2.10 20⇒ = = = (giải thích chút 
xíu: AGD∆ vuông tại G d(D;AG) DG 10⇒ = = ). 
Giải phương trình 2 a 5 4AD 20
a 3 A(3; 4)
= >
= ⇒ 
= ⇒ −
Bước 2: Lập phương trình đường thẳng AB 
Đường thẳng AB không dễ gì lập được nên trong TH này ta sẽ dựa vào góc giữa 2 đường 
thẳng để giải quyết. 
+ Gọi VTPT của đường thẳng AB là ABn (a;b)=

, đường thẳng AG có VTPT là 
AGn (3; 1)= −

+ Ta có  ( )AB AG 2 23a bc NAG c n ;n a b . 10os os
−
= =
+
 
+ Mặt khác ( )22 2 21 1NG NM NA, AG NA NG 3.NG NG NG. 10
3 3
= = = + = + = 

2 2
3a bNA 3 3
c NAG
AG 10 10a b . 10
os
−
⇒ = = ⇒ =
+
2 b 06ab 8b 0
3a 4b
=
⇒ + = ⇔ 
= −
- Với b = 0, chọn a = 1 AB : x 3 0⇒ − = 
- Với 3a = -4b, chọn a = 4, b = - 3 AB : 4x 3y 24 0⇒ − − = 
* Nhận thấy nếu AB có phương trình 4x 3y 24 0− − = thì d(A;AB) 10 G< ⇒ nằm ngoài 
ABC∆ (loại) 
N
3x-y-13=0
D(7;-2)
G
C
M
B
A
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 10 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB, AD tiếp xúc với đường tròn (C) có phương 
trình : 2 2x y 4x 6y 9 0+ + − + = , đường thẳng AC cắt (C) tại 16 23M ;
5 5
 
− 
 
 và N, với 
N Oy∈ . Biết ANDS 10∆ = . Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có hoành độ âm, D có hoành độ 
dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Công việc chuẩn bị: theo đề bài ta thì 
đường tròn (C) có tâm 
I( 2;3),R 2, N(0;3) Oy− = ∈ 
+ Lập được ngay phương trình AC (đi qua N 
và M) : x 2y 6 0+ − = 
+ ( )A AC A 6 2a;a∈ ⇒ − , chứng minh được 
APIQ là hình vuông (P, Q là tiếp điểm của 
AD, AB với (C)) 
2 2 2 2AI AQ QI 2 2 2 2⇒ = + = + = . 
Giải phương trình này 
A
a 5 A( 4;5)
13 4 13
a A ; , x 0
5 5 5
= ⇒ −
⇒   = ⇒ >   
+ Gọi VTPT của AD là n (m;n) AD : m(x 4) n(y 5) 0 mx ny 4m 5n 0= ⇒ + + − = ⇔ + + − =

Mà 
D
m 0 AD : y 5 0 D(d;5)
d(I;AD) 2 ... 2mn 0
n 0 AD : x 4 0 x 4 0
= ⇒ − = ⇒
= ⇒ ⇒ = ⇔ 
= ⇒ + = ⇒ = − <
+ Lại có AND
d 6 D(6;5)1S 10 .AD.d(N;AD) 10 ...
d 14 02∆
= ⇒
= ⇒ = ⇒ ⇒ 
= − <
+ Như vậy tiếp theo sẽ lập được phương trình DC đi qua A và D DC : x 6 0⇒ − = 
C AC CD⇒ = ∩ , giải hệ C(6;0)⇒ 
+ Chỉ còn tọa độ điểm B cuối cùng: bây giờ gọi E AC BD= ∩ ⇒ E là trung điểm của AC 
và BD 5E 1; B( 4;0)
2
 
⇒ ⇒ − 
 
Bài 15: Cho hình thang ABCD có đáy AD // BC, AD 3.BC= . Phương trình đường thẳng 
AD là x y 0− = . Điểm E(0;2) là trung điểm của AB, điểm P(1;-2) nằm trên đường thẳng 
CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang, biết hình thang có diện tích bằng 9 và điểm A, 
D có hoành độ dương. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Đường thẳng EF đi qua E và 
// AD : x y 2 0EF⇒ − + = 
+ Ta có 
BK 2.EH 2.d(E;AD) ... 2. 2= = = =
N
E
M
P
I(-2;3)Q
B C
DA
2
2
P(1;-2)
x-y=0
FE(0;2)
C
DKHA
B
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 11 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
+ Mặt khác ABCD
BC AD 9S 9 .BK 9 .BK 9
2 2 2
EF EF
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
+ Điểm F F(x;2 x)EF∈ ⇒ + , giải phương trình 
9 17F ;
4 49 9
x
4 9 12 2 F ;
4 4
EF
  
 
 = ⇒ = ± ⇒
  
− −  
 
* TH1: 9 17F ;
4 4
 
 
 
, ta lập được đường thẳng CD đi qua 2 điểm F, P CD : 5x y 7 0⇒ − + + = 
D CD AD⇒ = ∩ , giải HPT 7 7 11 27D ; C ;
4 4 4 4
   
⇒ ⇒   
   
 (do F là trung điểm CD) 
* TH2: Các bạn tự làm tương tự nhé. 
Bài 16: Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;-1) và điểm M thuộc CD sao cho MC 2.MD= . 
Đường thẳng AM có phương trình 2x y 5 0− − = . Tìm tọa độ đỉnh A. 
Hướng dẫn tìm lời giải 
+ Trước hết ta tính được ngay 
2IH d(I;AM) ...
5
= = = 
+ Do A AM A(x;2x 5)∈ ⇒ − , vấn đề bây giờ là phải 
thiết lập 1 phương trình để tìm x !!! 
+ Ta thấy AIH∆ vuông tại H, nếu tính được AI 
(hoặc AH) thì sẽ có được phương trình ẩn x. Thật 
vậy, em hãy quan sát suy luận sau đây: 
- Em sẽ chứng minh được 
   ( )   0 1 21 2 1 2
1 2
tan A tan AA A 45 tan A A 1 1
1 tan A .tan A
 (*)
+
+ = ⇒ + = ⇔ =
−
- Mà 2
DM 1
tan A
AD 3
= = , thay vào (*) 1 1tan A 2⇒ = 
- Lại có: AIH∆ vuông tại H  2 21
IH 4
tan A AH AI AH IH 2
AH 5
⇒ = ⇒ = ⇒ = + = 
- Bây giờ giải phương trình AI = 2 
13 13 1
x A ;
5 5 5
x 1 A(1; 3)
  
= ⇒  ⇒  
 = ⇒ −
I(1;-1)
H
2x-y-5=0
1
2
MD C
BA
MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
Trang 12 Nguồn: https://www.facebook.com/tulieugiaoduc24h 
Bây giờ chúng ta cùng xem lại đề thi khối A-2012 có cách khai thác làm tương tự 
(trong kh