Toán 9 - Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BĐT – CỰC TRỊ HAY
Cõu 1: Cho a, b, c là cac số dương thoả món điều kiện: a + b + c = 2013.
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: Q = 
Trước hết ta chứng minh BĐT: 
Thật vậy: 
Đỳng với mội số dương a, b. Dấu “=” xảy ra khi a = b
Chứng minh tương tự ta cú:.Dấu “=” xảy ra khi c = b.
.Dấu “=” xảy ra khi a = c.Cộng vế với vế ba BĐT (1), (2), (3) ta được: 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b= c.Vậy maxQ = 2013 
Cõu 2:Cho cỏc số dương a, b, c thoả món điều kiện: a + b + c = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Do 
Ta c/m BĐT sau: . Thật vậy
Dấu bằng trong (2) xảy cú dấu bằng trong (1) a = b
Lý luận tương tự ta cú. Dầu “ =” xảy ra khi b= cDấu “ =” xảy ra khi a = c
Cộng vế với vế ba BĐT trờn ta được:
P =
Vậy minP = 
Câu 3: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1. Chứng minh rằng:
áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương, ta có: 
 1 + x3 + y3 (1)
Tương tự: (2) (3)
Từ (1), (2) & (3), suy ra: (*)
Mặt khác: (**)
Từ (*) & (**) suy ra: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.
Câu 4: Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương, ta có: 
 x3 + y2 => (*)
Mặt khác: => (**)
Từ (*)&(**) suy ra: (1)Tương tự, ta có: (2)
 (3)
Từ (1), (2) & (3), suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.
Cõu 5:Với x, y là những số thực dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ta chứng minh hai bất đẳng thức: (1) (2)
Thật vậy BĐT (1) (đỳng với mọi x, y)
 BĐT (2) 
Ta cú: .Nờn 
Suy ra BĐT (2) luụn đỳng.Từ (1) và (2) ta được 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.Vậy min P = 1 khi x = y.
Câu 6: Cho các số x, y, z thoả mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = 
Ta có: (a - b)2(1 - ) 0 Với mọi a, b và mọi 
 ú a2 + b2 2ab + (a - b)2 (*)
áp dụng bất đẳng thức (*) cho x, y và , ta được: x2 + y2 2xy + z2(x - y)2 (1)
Tương tự, ta có: y2 + z2 2yz + x2(y - z)2 (2)
 z2 + x2 2zx + y2(z - x)2 (3)
Từ (1), (2) & (3), suy ra: x2 + y2 + z2 
 Suy ra: Q 1.Vậy max Q = 1 khi x = y = z = .
Cõu 7: Cho x, y là cỏc số thực dương thỏa món xy = 1.Chứng minh rằng: (x + y + 1)(x2 + y2) + 8
Ta cú : (x + y + 1)(x2 + y2) + = (x + y + 1)(x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + 
 = ( x + y )( x2 + y2 ) + (x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + 
	 = ( x + y ) (x2 + y2 – 1) + (x2 + y2) + ( x + y ) + 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương :
 x + y 2 = 2 ( do xy = 1 ) . Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1
	x2 + y2 2xy = 2 . Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1
	( x + y ) + 4 . Dấu “ = “ xảy ra (x + y)2 = 4 x = y = 1.
Do đú : (x + y + 1)(x2 + y2) + 2.(2 – 1) + 2 + 4 = 8 Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1
Cõu 7: Cho các số dương a, b c thoả mãn a+b+c=abc.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Tacó 
Tươngtự ;
áp dụng BĐT (với A,B >0) ; Dấu “=” xảy ra khi A=B
 Ta có 
Cõu 8:Cho cỏc số thực thoả món: và . 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức .
Đặt ; ta cú: là cỏc số dương và .
Khi đú: 
.Suy ra: hay (1).
Tương tự: (2); (3).
Nhõn vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được: .
Dấu “=” xảy ra, khi và chỉ khi: 
Vậy, max khi 
Cõu 9: Cho ba số thực khụng õm x, y, z thỏa món điều kiện . Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si, ta cú: 
Chứng minh tương tự với y, ta cú: (2)
Mặt khỏc, ta cú:
Từ (1), (2) & (3) suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (Thỏa món ĐK )
Vậy .
Câu 10:Cho ba số dương x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng:
Do nên ú (*)
Mà (áp dụng BĐT Cô - si)
 => => (**)
Từ (*)&(**) suy ra: (1)
Tương tự, ta có: (2)
 (3)
Từ (1), (2) & (3), suy ra: 
Dấu “=” xảy ra ú ú .
Cõu 11:Cho cỏc số thực x, y, z thoả món điều kiện: 
 Chứng minh rằng: 
Đặt a = x2, b= y2, c = z2Khi đú a, b, c khụng õm và a + b + c . 
Ta cần chứng minh : Thật vậy : . Dấu ‘=’ xẩy ra khi a = 1. 
Tương tự . Dấu ‘=’ xẩy ra khi b = 1. . Dấu ‘=’ xẩy ra khi c = 1
Cộng từng vế của cỏc bất đẳng thức trờn ta cú ĐPCM 
Cõu 12:Cho cỏc số thực dương thoả món điều kiện: 
 Chứng minh rằng: 
Ta cú: 
Tương tự và 
Cộng (2), (2), (3) ta cú: 
Cõu 14: Cho a, b, c là các số dương và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
 .
Ta có: 
Suy ra 
Tương tự 
Cộng vế với vế của (1)(2)(3) ta được 
Bài 15Cho a, b, c là cỏc số dương cú tớch bằng 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
B = 
Vỡ a.b.c = 1 nờn đặt a = ; b = ; c = .Khi đú: suy ra x, y, z là cỏc số dương và x.y.z = 1
Biểu thức A trở thành: A = + + 
 = + + = 5
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số dương ta cú: (1)
Tương tự: (2) ; (3)
Cộng từng vế của cỏc bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được:
+ + x + y + z
Mặt khỏc x + y + z 3 mà xyz = 1 nờn x + y + z 3 .Do đú: A = 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z a = b = c = 1
Cõu 16:Cho ba số dương thoả món: 
 Chứng minh rằng: 
Vậy GTNN của biểu thức B là , đạt được khi a = b = c = 1.
Ta cú .
Suy ra
Đặt 
suy ra 
Suy ra 
Cõu 17:Với . Tỡm tất cả cỏc nghiệm của phương trỡnh:
.
 (1).
Giả thiết kết hợp với điều kiện xỏc định của (1), suy ra: (*).
Khi đú, ta cú: 
 .
Tương tự, ta cũng cú: và .
Suy ra: 
hay (1)
Mặt khỏc, từ , suy ra: (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: , kết hợp với điều kiện suy ra 
Vậy, phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất 
Cõu 18 : Cho x, y là cỏc số thực dương thoả món x + y = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Ta cú: .
Theo Cụsi: .Gọi Bo là một giỏ trị của B, khi đú, $x, y để: Û
Û 3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + 1 = 0	(1)Để tồn tại x, y thỡ (1) phải cú nghiệm xy Û D = Bo2 – 8Bo + 4 ³ 0 Û 
Để ý rằng với giả thiết bài toỏn thỡ B > 0. Do đú ta cú: .
Với Û
Û .
Vậy, , đạt được khi hoặc .
Cõu 19:Cho cỏc số thực dương thỏa món Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
Từ: 
ta cú: 
Lại cú 
và 
Đặt (với ).
Cú 
mà .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là khi 
Cõu 20: Cho cỏc số a, b, c, d đều thuộc đoạn . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
Áp dụng BĐT Cụ - si cho hai số dương, ta cú 
Từ đú, suy ra Do đú với a, b, c, d đều thuộc đoạn , ta cú 
 Suy ra (1)
Lại cú (2)
Từ (1)&(2) suy ra . Vậy max P = 1 khi và chỉ khi hoặc 
Cõu 21 : Cho cỏc số thực dương thỏa món . Chứng minh: 
Do nờn ta cú:
Áp dụng bất đẳng thức 
Tương tự và 
Cộng vế theo vế cỏc bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp ta cú bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=’’ khi .
Cõu 22: Cho cỏc số dương thỏa món . Chứng minh:
Hướng dẫn:Ta cú: 
Tương tự: Suy ra: 
Cõu 24:Với là cỏc số thực dương thỏa món đẳng thức Tỡm giỏ 
 trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Vỡ nờn ta cú:
 (Áp dụng BĐT Cụ-si)
.Suy ra: .Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Cõu 24: Cho 3 số a, b, c thỏa món . 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức .
Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do = >1z yx2
 Khi đú A= (x+y+z)()=3+
Đặt = t =>.
Do 
A Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thỡ A=10 nờn giỏ trị lớn nhất của A là 10
Cõu 25 Cho cỏc số thực dương x, y thoả món điều kiện .
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x+y
Do x, y > 0 và ta suy ra x > y > 0 . và xy(x-y)2 = (x+y)2 (1)
Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 4b)
Ta cú: (1)
 Suy ra: b-1 > 0 và Lại cú: 
 (theo bđt cụ si)
 Do đú: Mà a > 0 nờn 
 Dấu “=” xảy ra khi Khi đú: (Vỡ x > y)
 Vậy Min (x+y)=4 khi .
Cõu 26. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta luụn cú:
a) Ta cú: (do )
Ta cú:
Tương tự với 2 số hạng cũn lại, suy ra BĐT đó cho tương đương với:
Hoàn toàn chứng minh được BĐT cuối luụn đỳng do ỏp dụng BĐT Cụ-si cho 2 số dương.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Cõu 27:Cho ba số dương a, b và c thỏa . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Ta cú : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) Û
Ta cú: a2 + b2 + c2 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2) = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a.
Áp dụng bất đẳng thức Cụ – Si: 
a3 + b2a ≥ 2a2b ; b3 + bc2 ≥ 2b2c ; c3 + ca2 ≥ 2c2a , dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
suy ra: a2 + b2 + c2 = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a ≥ 3(a2b + b2c + c2a)
suy ra: 
Đặt : t = a2 + b2 + c2, ta cú : 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 = 1 Û t ≥ , dấu “=” xảy ra khi a = b = c = .
Ta được : A = .
Áp dụng bất đẳng thức Cụ – Si : dấu “=” xảy ra khi : t = .
Mặt khỏc : .Suy ra: A dấu “=” xảy ra khi : a2 + b2 + c2 = và a = b = c suy ra: a = b = c = .Vậy A đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng , khi a= b = c = .
Cõu 28:Cho cỏc số thực dương thỏa món . Chứng minh: 
c) Do nờn ta cú
Áp dụng bất đẳng thức 
Tương tự và 
Cộng vế theo vế cỏc bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp ta cú bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=’’ khi .