Toán 9 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông nâng cao

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG NÂNG CAO
BÀI 1: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh:
 a) b) c) d) 
BÀI 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của AB, kẻ IH vuông góc BC tại H. Chứng minh: a)	 b)
BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm thuộc cạnh huyền BC. Chứng minh 
BÀI 4:Cho ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. 
 a)Chứng minh: AB.AE = AC.AF
 b)Chứng minh: AH3= BC . BE . CF
Bài 5: Cho rABC vuơng tại A cĩ AB = 15cm , AC = 20cm và đường cao AH.
 a) Tính độ dài BC, AH và BH
 b) Vẽ HD và HE lần lượt vuơng gĩc với AB và AC (D thuộc AB , E thuơc AC) Chứng minh AD.AB = AE. AC
 c) Vẽ AM là phân giác của gĩc BAC. Tính độ dài AM
 d) Chứng minh 
Bài 6: Cho ∆ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm
 a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuơng
 b. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho:  . Tính độ dài các cạnh và số đo các gĩc của ∆MPN.
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD; sinDAC = 0,8; AD = 42mm, Kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥ AC
 a. AC cắt BD ở O, tính sinAOD
 b. Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nĩ
 c. Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nĩ.
Bài 8: Cho tam giác vuơng ABC ( A = 900). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC. Nối AF và BE
 a. Chứng minh AF = BE.cosC
 b. Biết BC = 10cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE
 c. AF và BE cắt nhau tại O. Tính sinAOB
Bài 9: Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và ND cắt nhau tại P.
 a. Chứng minh CM ⊥ DN
 b. Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của CMN
 c. Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của MDN  và diện tích tam giác MDN.
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD cĩ đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Kẻ CH ⊥ AD, CK ⊥ AB
 a. Chứng minh ∆CKH ∽ ∆BCA
 b. Chứng minh HK = AC.sinBAD
 c. Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD = 600 , AB = 4cm và AD = 5 cm
ĐÁP ÁN
Bài Tập 1 : Cho ABC vuơng tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuơng gĩc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3
Giải: a) Trong cĩ HB2 = BE . BA (1) ; 
 cĩ HC2 = CF . CA (2 ) 	
Từ (1) và (2) cĩ : . (1')	
Trong cĩ :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra (2')
Từ (1') và (2'). Ta cĩ : .
b) . 
Thay (3) 
Tương tự ta cũng cĩ ( 4) . 
Từ (3) và (4) Ta cĩ : BE .CF = .
 Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = = AH3