Toán 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng

Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
1 
 Chuyên đề: 
Bất đẳng thức và các ứng dụng 
Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) 
 Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) 
I ) Khái niệm bất đẳng thức cơ bản : 
1.1 Số thực dương, số thực âm 
 Nếu a là số thực dương, ta ký hiệu 0a 
 Nếu a là số thực âm, ta ký hiệu 0a 
 Nếu a là số thực dương hoặc 0a , ta nói a là số thực không âm, ký 
hiệu 0a 
 Nếu a là số thực âm hoặc 0a , ta nói a là số thực không dương, ký 
hiệu 0a 
Chú ý: 
 Với hai số thực ,a b chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra: 
 a b hoặc a b hoặc a b 
 Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0a " 
 Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " 0a " 
 Tính chất quan trọng 
 i) 2: 0  x R x (đẳng thức xảy ra khi 0x  ) 
 ii) 2 0, ,   kx k N x R (đẳng thức xảy ra khi 0x  ) 
 iii) 2 2 21 2 ... 0, ,      
k k k
n ix x x k N x R (đẳng thức xảy ra khi 
1 2
... 0
n
x x x    ) 
1.2 Định nghĩa 1 
 Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a b là một số 
dương, tức là 0a b  . 
 Khi đó ta cũng ký hiệu b < a 
 Ta có: 0a b a b    
 Nếu a b hoặc a b , ta viết ba  . Ta có: 
 0 a b a b    
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
2 
1.3 Định nghĩa 2 
Giả sử A, B là hai biểu thức (bằng số hoặc chứa biến) 
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu A B 
 " A nhỏ hơn B ", ký hiệu A B 
 " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B 
 " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B 
được gọi là một bất đẳng thức 
Quy ước : 
 Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu 
rằng đó là một bất đẳng thức đúng. 
 Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó 
đúng 
1.4 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
1.4.1 Tính chất 1. 
a b
a c
b c

 

 (Bắc cầu) 
1.4.2 Tính chất 2. a b a c b c     (Cộng hai vế với 
cùng một số) 
 Hệ quả 1. a b a c b c     (Trừ hai vế với cùng 
một số) 
 Hệ quả 2. a c b a b c     (Chuyển vế) 
1.4.3 Tính chất 3. 
a b
a c b d
c d

   

 (Cộng hai vế hai 
bđt cùng chiều) 
1.4.4 Tính chất 4. 
 khi c > 0
 khi c < 0
ac bc
a b
ac bc

  

 (Nhân hai vế với 
cùng một số) 
 Hệ quả 3. a b a b   (Đổi dấu hai vế) 
 Hệ quả 4. 
 khi c > 0
 khi c < 0
a b
c c
a b
a b
c c


  
 

 (Chia hai vế với cùng 
một số) 
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
3 
1.4.5 Tính chất 5. 
0
0
a b
ac bd
c d
 
 
 
 (Nhân hai vế hai 
bđt cùng chiều) 
1.4.6 Tính chất 6. 
1 1
0 0a b
a b
     (Nghịch đảo hai vế) 
1.4.7 Tính chất 7. nn baNnba  *,0 (Nâng lũy thừa 
bậc n) 
1.4.8 Tính chất 8. n baNnba  n *,0 (Khai căn bậc 
n) 
 Hệ quả 5. Nếu a và b là hai số dương thì : 
 22 baba  (Bình phương hai 
vế) 
 Nếu a và b là hai số không âm thì : 
 22 baba  (Bình phương hai vế) 
2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối 
 Tính chất. 
2 20 , x , x x , -x xx x    
 Với mọi Rba , ta có : 
 a b a b   
 a b a b   
 . 0a b a b ab     
 . 0a b a b ab     
3. Bất đẳng thức trong tam giác 
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : 
 a > 0, b > 0, c > 0 
 b c a b c    
 c a b c a    
 a b c a b    
 a b c A B C     
II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ cơ bản : 
TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi 
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
4 
 1 , a b R 
2 2
2
a b
ab

 
 a = b 
 2 , a b R 
2
2
a b
ab
 
  
 
 a = b 
 3 , 0a b  
2
a b
ab

 
 a = b 
 4 , a b R      
2 2 22a b a b 
a b 
 5 , , a b c R 2 2 2a b c ab bc ca     
 4 4 4a b c abc a b c     
a b c  
 6 , , a b c R    
22 2 23 a b c a b c     
a b c  
 7 , , a b c R    
2
3a b c ab bc ca     a b c  
 8 
, a b R và 
1ab 2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+ ³
+ + +
a b hoặc 
1ab 
 9 
, 0a b  
 
1 1
4a b
a b
 
   
 
1 1 4
a b a b
 

a b 
 10 
, , 0a b c  
  
1 1 1
9a b c
a b c
 
     
 
1 1 1 9
a b c a b c
  
 
a b c  
 11 
, 0a b  
 
2
2 2
1 1
8a b
a b
 
   
 
( )
22 2
1 1 8
a b a b
+ ³
+
a b 
12 , , a b c R
, 
, , x y z R 
     2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z       
 (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) 
a b c
x y z
  
13 , , a b c R , 
, , x y z R 
 
22 2 2 x y zx y z
a b c a b c
 
  
 
(Hệ quả bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) 
a b c
x y z
  
14 a, b, c, x, y, z, 
m, n, p > 0 
     33 3 3 3 3 3 3 3 3a b c x y z m n p axm byn czp         
 (Hệ quả bất đẳng thức Holder) 
Các dãy tương 
ứng tỉ lệ 
* Các bất đẳng thức quan trọng và mở rộng : 
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
5 
Bất đẳng thức AM - GM _________________________________________________ 
Nếu 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm thì 
1 2
1 2
...
...n n n
a a a
a a a
n
  
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 
 Bất đẳng thức AM - GM suy rộng ________________________________________ 
Cho các số dương 1 2, ,..., nw w w thoả mãn 1 2 ... 1nw w w    . 
Nếu 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm thì 
1 2
1 1 2 2 1 2... ...
nww w
n n nw a w a w a a a a    
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 
 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz __________________________________________ 
Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có: 
    2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b          
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
   
 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ______________________________ 
Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có: 
 
222 2
1 21 2
1 2 1 2
...
...
...
nn
n n
a a aaa a
b b b b b b
  
   
  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
   
 Bất đẳng thức Holder ____________________________________________________ 
Với m dãy số dương      1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, ,1 ,2 ,, ,... , , ,..., ... , ,...,n n m m m na a a a a a a a a ta có: 
, ,
1 11 1
m
m mn n
m
i j i j
j ji i
a a
  
  
     
   
   
Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ. 
+Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m = 2. 
 Bất đẳng thức Minkowski ________________________________________________ 
Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có: 
   
2 22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b              
 Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng ____________________________________ 
 Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có: 
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
6 
    1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n nn n n na a a bb b a b a b a b     
Dấu ‘‘=’’ của bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz. 
 Bất đẳng thức Vonicur Schur _____________________________________________ 
Cho các số thực không âm a, b, c. Nếu r  0, thì 
         0r r ra a b a c b b c b a c c a c b        
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a = 0, b = c và các hoán vị. 
Với bất đẳng thức này ta có các hệ quả sau: 
 Trong trường hợp r = 1, ta có các dạng tương đương sau: 
 a. 
3 3 3 3 ( ) ( ) ( )a b c abc ab a b bc b c ca c a         
 b. 
3 3 3 34( ) 15 ( )a b c abc a b c      
 c. 
2 2 2 9 2( )
abc
a b c ab bc ca
a b c
     
 
 d. 
4
2
( )( )( )
a b c abc
b c c a a b a b b c c a
   
     
Trong trường hợp r = 2, ta có các dạng tương đương: 
 a. 
4 2 2( ) ( )a abc a b c ab a b      
 b. 
2 26 ( ) (2 )( )abc a b c ab a a ab        
 Bất đẳng thức Bernolli _________________________________________________ 
Với mọi số nguyên r  0 và x > -1 
 1 1
r
x rx   
III ) Một số kỹ thuật cơ bản trong bất đẳng thức : 
1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: 
Ví Dụ 1:Cho 3x  . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
1
A x
x
  
Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng 2a b ab  ta có: 
1 1
2 . 2A x x
x x
    
Ta thấy lời giải trên sai vì trong đánh giá trên , dấu bằng xảy ra khi 
1
x
x
 , vì vậy 
x=1, tuy nhiên x=1 lại không nằm trong khoảng giá trị 3x  mà bài toán đã quy 
định. Vì vậy với lời giải trên thì ta đã tìm sai điểm rơi cho bài toán. 
Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ra thì ta có lời giải như sau: 
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
7 
8 1 8.3 1 24 2 10
2 .
9 9 9 9 9 3 3
x x x
A
x x
 
        
  
Ra thêm:
Ví Dụ 2:Cho 1x  . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1
3
2
B x
x
 
Ví Dụ 3:Cho x>2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1
4 3
4
C x
x
  

Ví Dụ 4:Cho a,b >0 và a+2b = 3 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2D ab 
Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: 
6a b b c c a      
2) Kỹ thuật đổi biến : 
Ví Dụ 1: Cho x,y,z > 0 , xyz=1. Chứng minh rằng : 
1 1 1 3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  
(Lê Việt Hưng) 
Lời giải : Từ xyz=1 ta có thể đặt :
; ;
a b c
x y c
b c a
  
 
1 1 1 3
2
b c a
a c b a c b a c a b b c
b b c c a a
     
  
  
(Bất đẳng thức Nesbit) 
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 
Ví Dụ 2:Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng: 
2 2 2 1
3 3 3
a b c a b c bc ca ab
a b c
    
    
  
(NguyenDungTN) 
Lời giải :Từ đây ta đặt: 
; ;
bc ca ab
x y z
a b c
  
Từ đó ta cần chứng minh: 3 3
xy yz zx x y z   

Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
8 
   
2
3 xy yz zx x y z    
( Đây là 1 dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) 
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 
Ví Dụ 3: Cho x,y,z > 0 , abc=1 . Chứng minh rằng : 
     
1 1 1 3
21 1 1a b b c c a
  
  
(Sưu tầm) 
Lời giải : Từ abc=1 ta có thể đặt 
; ;
x y z
a b c
y z x
  
, khi đó : 
VT
1 1 1 3
2
( 1) ( 1) ( 1)
yz zx xy
x y y z z x xy zx yz xy zx yz
y z z x x y
      
  
  
(Nesbit) 
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1 
Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Chứng minh rằng: 
1 1 1
1 1 1 1a b c
b c a
     
           
      
(IMO 2000) 
Lời giải :Từ abc=1 ta có thể đặt
; ;
x y z
a b c
y z x
  
Ta có: 
( )( )( )
1
x y z y z x z x y
VT
xyz
     
 
 ( )( )( )x y z y z x z x y xyz       (Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) 
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 
Ví Dụ 5: Cho a,c>0 và 0b  .Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2
2 2 2 2 2
a c a b
T
aa c b c

  
 
(Nguyễn Phúc Tăng) 
Lời giải : 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
1
2 2
1 1
a c a b b
T
a aa c b c c b
a c
 
       
    
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
9 
Đặt : ;
c b
x y
a c
  
Ta được: 2 2
1 1 1
21 1
xy
T
x y

  
 
Từ đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức phụ: 2 2
1 1 2
11 1 xyx y
 
 
 2 2
1 1 1 2 1
2
2 1 21 1
xy xy
T
xyx y
 
     
 
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 tại x=y=1 
Ví Dụ 6:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Chưng minh rằng: 
2
1
1
1 a b

 
 
Lời giải: Đặt: 
3 3 3; ;a x b y c z   , ta được: 
3 6
1
1
1 x y

 
 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 
   
 
 
4 4
4 2 2 2
2 2
3 6 2 2
2 2 2 2 2 2
3 6 4
2
1 1
1
1 1
1
z x z x
x x yz z xy y
x y x y z x y zx y z x
y
   
 
  
          
 

   
Vậy ta chỉ cần chứng minh: 
   
 
     
2
2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 21 1 1
0
2 2 2
x y z x y z xyz x y z
x y y z z x xyz x y z
xy yz yz zx zx xy
      
     
      
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 
Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 
2 2 2
1 1 1
1
1 1 1a a b b c c
  
     
(Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) 
Lời giải: Vì a,b,c nên ta có thể đặt: 2 2 2; ;
xy yz zx
a b z
z x y
   
Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: 
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
10 
4 4 4
2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4
1
x y z
y z x yz x z x xy z y x y xyz z
  
     
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 
 
 
2
2 2 2
4 4 4
2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2
x y zx y z
y z x yz x z x xy z y x y xyz z x y z xyz x y z
 
  
          
Vậy ta chỉ cần chứng minh: 
   
 
     
2
2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 21 1 1
0
2 2 2
x y z x y z xyz x y z
x y y z z x xyz x y z
xy yz yz zx zx xy
      
     
      
 
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 
Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
1 1 1c bc a ca b ab
  
     
(Lê Việt Hưng) 
Lời giải: Vì abc=1 nên ta có thể đặt: ; ;
x y z
a b c
y z x
   
Bất đẳng thức được viết lại thành: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
1
1
x y z
x z yz y x zx z y xy
x y z
x x z x yz y x y xy z z y z xyz
  
     
   
     
Chứng minh bất đẳng thức trên tương tự như ví dụ 7. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 
3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : 
 Ví Dụ 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 
1 1 1 1
3.
2a b c a b
  

 
(ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) 
Lời giải : 
1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9
; ;
2 2 2a b b a b b c c b c c a a c a
        
  
(Cauchy-Swcharz) 
 1 1 1 1 1 13 9
2 2 2a b c a b b c c a
   
       
     
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
11 
 1 1 1 1 1 13
2 2 2a b c a b b c c a
 
     
   
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c 
Ví Dụ 2: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 1 1 1 1
1 1 1b c c a a b
  
     
.Chứng minh rằng : 
a b c ab bc ca     
( Romania IBMO Team Selection Test 2007 ) 
Lời giải : Ta có: 
1
1
1 1
b c
b c b c

 
   
 2
1
b c
b c


 
 
Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: 
     
   
2
1
a b b c c a
VP
b c b c
     
 
   
 
 
2
2
1
a b c
a ab a
 

    
Từ đây ta suy ra được: a b c ab bc ca     
Ví Dụ 3: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
42 2 2a b b c c a
  
     
(Iranian IMO Team Selection Test 2009) 
Lời giải:Ta có: 
 
2 2
2 2 2 2
1 1
22 2 2
a b
a b a b

 
   
Viết lại thành:
2 2
2 2
3
22
a b
a b


 
 
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 
 
     
 
 
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 6
a b b c c a a b b c c a
VT
a b b c c a a b c
         
 
          
Ta lại có: 
       
         
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 3 3 9
a b b c c a a b c a b b c
a b c a bc a b c a b c a b c
          
              


Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
12 
 
 
2 2 2
2 2 2
3 9 3
22 6
a b c
VT
a b c
  
  
  
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 
Ví Dụ 4: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 2 2 2 3a b c   .Chứng minh rằng: 
 
2 2 2 2
9 1 1 1
2 2 2a b ca b c
  
   
Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 
:
     
 
   
2 2 2 2
2 22 2 2
2 2 2
2 2
1 1 1
2 1 1 1
3 2 9
b c b c
a a b c a b c
a b c
a b c a b c
   
 
      
  
 
   
  
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=b=c=1 
Ví Dụ 5:Cho , ,a b c > 0 thõa mãn 3 cba . Chứng minh rằng: 
1
111
222





 bacacbcba 
Lời giải : 
Sử dụng BĐT Bunhia-copsxki cho 3 cặp số ta được : 
      
 
 
2 2 22
2 31 1 1 2.3 3
1
91
a b cb c b c
a b c a b c b c a b c a b c
      
    
         
  
Bất đẳng thức đã được đã được chứng minh. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1 
Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
1
a b c a b b c
b c a b c a b
 
    
  
(Belarusian MO 1998) 
Lời giải: Có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: 
     
2
1
2
a a b b c c b
b b c c b c a a b a b
ca b bc a b
a bb b c c b c a a b
     
           
        

   
  
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
13 
       
   
 
2
2 2 2
.
b c a b cca b a c b a
b a b ab b c c b c c b c c b c c a b
  
            
Bất đẳng thức trên tương đương với: 
 
   
 
 
2
2
2
0
a b c bc a b
a bc a b a a b
a b c bc
a b
c a
b c a
ca
 
 
 

   

 
Từ đây , bất đẳng thức được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c 
Ví Dụ 7:Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
2 2 2
3
a b c
a b c a c a
  
   
(Chinese Western MO 2004) 
Lời giải:Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 
 
   
   
     
2
82 2 a b c ab bc caa a
a c
b c a b a c a b b c c a
      
       
           
  
Ta cần chứng minh: 
         8 9a b c ab bc ca a b b c c a       
Đây là 1 dạng bất đẳng thức quen thuộc 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c 
Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn 2 2 2 2a b c   . Chứng minh rằng: 
2
2
1
6
a
b ca



 
(Nguyễn Phúc Tăng) 
Lời giải: Ta có: 
2 2 21 a b c ab bc ca      
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 
     
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 2 1 1
1
a b c a b c a b
a
b ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca
          

 
          


Ta lại có: 
     2 21 1 1a b ab    
Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 
14 
       
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 3 2 2 2 6
5 2 2 2 4 6 6
6
a a b c ab bc ca
b ca a b c ab bc ca
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
       
 
     
           
  
         

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
1
3
a b c  
4 ) Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức : 
 Ví Dụ 1: Cho x,y > 0 và x + y = 2 . Chứng minh rằng : 
 3 3 3 3 2x y x y 
 (Sưu tầm) 
Lời giải : Ta được :      3 3 2 2 2 22x y x y x xy y x xy y        
Quy về bài toán chứng minh:  3 3 2 2 1x y x xy y   
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có: 
         
 
4
24
2 2
3 3 2 2 2 2 1
4 4
x yxy xy xy x xy y
x y x xy y xy xy xy x xy y
                   
    
Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh.
 Đẳng thức xảy khi và chỉ khi: x=y=1 
Ví Dụ 2: Cho a,b,c >0 .Chứng minh rằng: 
2 2
3
42
a
a b

 
 
(Nguyễn Phúc Tăng) 
Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 
   
2
2 2 2 2
2 2
2
2
1 1
.
22 1 12 1 1
1 1 3
2 41
a a a
a b a ba b
a
a
 
    
 
    
  

Đẳng thức xảy ra