Toán 9 - Bất đẳng thức và giá tri lớn nhất, nhỏ nhất

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN
1)Cho x, y, z và . Chứng minh:
GIẢI
	Ta cú: VT + 3 = 
	0.25
 	0.25
	0.25
(đpcm)
( Dṍu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)	
2)Cho x, y, z là cỏc số thực dương lớn hơn 1 và thoả món điều kiện xy + yz + zx ³ 2xyz
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
GIẢI
Ta cú nờn 
Tương tự ta cú 
Nhõn vế với vế của (1), (2), (3) ta được 
vậy Amax = 
3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện . Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ
 nhất của biểu thức .
G
Đặt . Ta cú: 
 Và . ĐK:. 
 Suy ra : .
 Do đú: , 
 và .
 KL: GTLN là và GTNN là ( HSLT trờn đoạn )
4)Với mọi số thực dương thỏa điều kiện . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu
 thức: . 
G
Áp dụng BĐT Cụ-si : (1). Dấu bằng xóy ra khi . 
 Tương tự: (2) và (3).
 Mà: (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta cú: .
 . KL: GTNN của P là .
5. Chứng minh với mọi số dương . 
G
 Ta cú: (1)
 Tương tự: (2), (3).
 Cộng (1), (2), (3), ta cú: 
6)Cho x, y, z là cỏc số dương thỏa món . CMR: 	
+Ta cú : ;;
+ Lại cú : 
cộng cỏc BĐT này ta được đpcm.
7) Cho a, b, c và . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
GIẢI
Ta cú: P + 3 = 
Để PMin khi a = b = c = 1
8. Cho cỏc số thực dương a,b,c thay đổi luụn thoả món : a+b+c=1.Chứng minh rằng : 
GIẢI
 .Ta cú :VT =	
Từ đú tacú VT
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3
9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa món : x +3y+5z .Chứng minh rằng: 
++ 45xyz.
GIẢI
Bất đẳng thức
++ 
VT . 
Đặt t = 
ta cú do đú t 1 
Điều kiện . 0 < t 1. Xé hàm số f(t)= + =45 
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y= ; z=. 
10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
GIẢI
Để ý rằng ; 
và tương tự ta cũng cú 
Vỡ vậy ta cú:
11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giỏc. Chứng minh
GIẢI
Vỡ a, b, c là ba cạnh tam giỏc nờn:. 
Đặt .
Vế trỏi viết lại:
Ta cú: .
Tương tự: 
Do đú: .
Tức là: 
12. Cho hai số dương thỏa món: .
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
GIẢI
Cho hai số dương thỏa món: .
Thay được: 
 bằng khi Vậy Min P = 
Lưu ý:
Cú thể thay sau đú tỡm giỏ trị bộ nhất của hàm số 
13. Cho x, y, z thoả món x+y+z > 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
GIẢI
Trước hết ta cú: (biến đổi tương đương) 
Đặt x + y + z = a. Khi đú 
(với t = , )
Xột hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t. Cú
Lập bảng biến thiờn
 GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
14. Chứng minh: với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn .
GIẢI
Ta cú:.
Suy ra : 
15.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số .
GIẢI
 TXĐ: ; .
 y’= 0 ; y(1) = 0 vỡ là HSĐB 
 Khi 0 1 . 
 KL: miny = 0.
16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
GIẢI
Để ý rằng ; 
và tương tự ta cũng cú 
Vỡ vậy ta cú:
vv
17. Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món: x2 + y2 + z2 Ê 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
2/. Ta cú: 
Vậy GTNN là Pmin = khi x = y = z
ị 
18. Cho a, b, c là cỏc số thực thoả món Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
GIẢI
Theo cụ – si cú . Tương tự 
Đặt 
Vậy Dấu bằng xảy ra khi 
19. Cho x, y, z thoả món x+y+z > 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
GIẢI
	Trước hết ta cú: 
Đặt x + y + z = a. Khi đú 
(với t = , )
Xột hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t. Cú
Lập bảng biến thiờn
 GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
20.Xột cỏc số thực dương x, y, z thỏa món điều kiện x + y + z = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
GIẢI
Ta cú : (*)
Nhận thấy : x2 + y2 – xy ³ xy "x, y ẻ 
Do đú : x3 + y3 ³ xy(x + y) "x, y > 0 hay "x, y > 0
Tương tự, ta cú : 	 "y, z > 0 
 "x, z > 0 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trờn, kết hợp với (*), ta được:
P ³ 2(x + y + z) = 2 "x, y, z > 0 và x + y + z = 1
Hơn nữa, ta lại cú P = 2 khi x = y = z = . Vỡ vậy, minP = 2. 
21. Cho x, y, z thoả món x+y+z > 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
Trước hết ta cú: (biến đổi tương đương) 
Đặt x + y + z = a. Khi đú 
(với t = , )
Xột hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t. Cú
Lập bảng biến thiờn
 GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: 
* Ta cm với a, b > 0 cú a3 + b3 a2b + ab2 (*)
Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) 0
 (a + b)(a - b)2 0 đỳng
 Đẳng thức xẩy ra khi a = b.
* Từ (*) a3 + b3 ab(a + b) 
 b3 + c3 bc(b + c) 
 c3 + a3 ca(c + a) 
 2(a3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta cú:
 + + 3 = (2)
* Nhõn vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c. 
23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa món: . Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: .
 .
Vỡ , Áp dụng BĐT Cụsi ta cú: =
 Dấu bằng xảy ra . Vậy MaxP = 
24. Cho x,y ẻ R và x, y > 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy Ê (x + y)2 ta cú 
. Do 3t - 2 > 0 và nờn ta cú
Xột hàm số f’(t) = 0 Û t = 0 v t = 4.
t
2 4	+Ơ
f’(t)
 - 0	+
f(t)
 + Ơ	+Ơ
8
Do đú min P = = f(4) = 8 đạt được khi 
25.Cho . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
Đặt khi đú
Đặt 
Với 
Khi đú ; 
Vậy khi . Hay khi .
	Vậy : 
26.Cho cỏc số thực khụng õm x, y thay đổi và thỏa món x + y = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
G.	S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
	= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
	= 16x2y2 – 2xy + 12 
	Đặt t = x.y, vỡ x, y ³ 0 và x + y = 1 nờn 0 Ê t Ê ẳ 
	Khi đú S = 16t2 – 2t + 12 
	S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 Û t = 
	S(0) = 12; S(ẳ) = ; S () = . Vỡ S liờn tục [0; ẳ ] nờn :
	Max S = khi x = y = 
	Min S = khi hay 
27.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả món x(x + y + z) = 3yz, ta cú:.
 Giải:
Từ giả thiết ta cú: 
x2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz
Đặt a = x + y và b = x + z
Ta cú: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz
 Mặt khỏc
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2
	= 
	= 
	= 
Ta lại cú:
3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)
3(y + z)2 . (y + z) = 3(y + z)3 	(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta cú điều phải chứng minh
28. Cho a, b, c và . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
Ta cú: P + 3 = 
Để PMin khi a = b = c = 1
29.Cho x, y, z là cỏc số thực dương lớn hơn 1 và thoả món điều kiện 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
Ta cú nờn 
Tương tự ta cú 
Nhõn vế với vế của (1), (2), (3) ta được 
vậy Amax = 
30. Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 
Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab
 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
Tơng tự ta có
, 
Cộng theo vế ta có
=++
 =
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1