Toán 8 - Phương pháp đổi biến số

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 
Dạng 1: Đặt x = u(t) u() = a ; u() = b 
b
a
f (x).dx = f[u(t)].u (t).dt


 
Ví dụ 1: Tính tích phân sau : 
a) 
1
2
0
1 x .dx Đặt x = Sin t  dx = Cos t.dt t  [ 2
 ;
2
 ] 
 Khi x = 0  t = 0 
 x = 1  t = /2 
1
2
0
1 x .dx = 2
0
/ 2
1 Sin t.cos t.dt

 =
0
/ 2
cos t .cos t.dt

 = 
= 1
2
0
/ 2
(1 cos 2t).dt

 =
1
2
(t+ sin 2t
2
)
/2
0

= 1
2
(
2
 + sin
2
 )=
4
 
b) 
1
2
0
dx
1 x Đặt x = tant  dx = (tan
2 t+ 1).dt ; t  (
2
 ;
2
 ) 
 Khi x = 0  tan t =0  t = 0 
 x = 1  tan t = 1  t = /4 
 I = 
2
2
0
/ 4 (tan 1).dt
(tan 1)
 

t
t
= 
0
/ 4
dt

 =(t)
/4
0

=
4
 
c) 
3
2
2
0
dx
1 x
 Đặt x = Sin t  dx = Cos t.dt t  ( 2
 ;
2
 ) 
 Khi x = 0  t = 0 
 x = 3
2
  t = /3 
3
2
2
0
dx
1 x
 = 2
0 0 0
/ 3 /3 /3Cos t.dt Cos t.dt dt
Cos t1 Sin t
  
 

   =(t)
/3
0

=
3
 
 Khi x = 1  t = 0 
 x = e  t = /6 
Dạng 2: Đặt : t = v(x) => dt = v/(x).dx 
Khi đó biến đổi f(x) thành một biểu thức có dạng g[v(x)].v/(x) 
Đổi cận : x = a  t = v(a) 
 x = b  t = v(b) 
ba
f (x).dx = 
v(b)
v(a)
g[v(x)].v (x).dx 
Ví dụ 2: Tích các tích phân sau : 
a) 
3
2
1
x. 3 2x .dx Đặt t =3+2x2 => dt = 4xdx => 
dt
4
=x.dx 
 Khi x = 1  t = 5 
 x = 3  t =9 
3
2
1
x. 3 2x .dx =
1
4
9
5
t .dt =
1
4
. 2
3
3t
9
5
= 1
6
(27 35 ) 
b) 
1
2
1
3-xx .e .dx

 Đặt t = x3 => dt = 3x.dx => 
dt
3
=x.dx 
 Khi x = 1  t = 1 
 x = 1  t = 1 
1
2
1
3-xx .e .dx

 =
1
3
1
t
1
e .dt

 =
1
3
et 
1
1

 = 1
3
.e1 + 1
3
e= 1
3
(e 1
e
) 
c) 
3e
e
dx
x lnx Đặt t =lnx => dt =
1
x
dx 
 Khi x = e  t = 1 
 x = e3  t = 3 
3e
e
dx
x lnx =
3
1
dt
t =ln t
3
1
=ln3 
d)
1
2
0
6x 2 .dx
3x 2x 7

 
 Đặt t= 3x2 2x+7 => dt=(6x2).dx 
 Khi x = 0  t = 7 
 x = 1  t = 8 
1
2
0
6x 2 .dx
3x 2x 7

 
=
8
7
dt
t =ln t
8
7
=ln8 ln7 
Bài tập : 
Bài 1: Tính các tích phân : 
a) 
1
5
0
(3x 2) dx =
6(3x 2)
3.6
 1
0
 = 1
18

6( 2)
18
 = 
b) 
1
2 6
0
x(x 1) dx Đặt t =x2+1 => dt = 2xdx => 
dt
2
=x.dx 
 Khi x = 0  t = 1 
 x = 1  t = 2 
1
2 6
0
x(x 1) .dx =
1
2
2
6
1
t .dt =
1
2
7t
7
2
1
=
72
14

1
14
c) 
2
7
1
(2x 1) dx =
8(2x 1)
2.8
 2
1
=
85
16

83
16
d) 
0
2
1
x x 3.dx

 Đặt t =x2 +3 => dt = 2xdx => 
dt
2
=x.dx 
 Khi x = 1  t = 4 
 x = 0  t =3 
0
2
1
x x 3.dx

 =
1
2
3
4
t .dt =
1
2
. 2
3
3t
3
4
= 1
3
( 27 8) 
e) 
/ 2
0
Sinx dx
1 3Cosx

 Đặt t = 1+3cosx  dt =3sinx.dx => 
dt
3
=sinx.dx 
 Khi x = 0  t = 4 
 x = /2  t = 1 
/ 2
0
Sinx dx
1 3Cosx

 =
1
3
1
4
dt
t =
1
3
ln t
1
4
= 1
3
ln1+ 1
3
ln4= 1
3
ln4 
f) 
0
/ 2
2 1 Cosx.Sinx.dx

 
 Đặt t = 1+cosx  dt =sinx.dx => dt=sinx.dx 
 Khi x = 0  t = 2 
 x = /2  t = 1 
0
/ 2
2 1 Cosx.Sinx.dx

 =2
1
2
t .dt =2.
2
3
3t
1
2
= 4
3
+ 4
3
8 
g) 
/ 4 tanx
2
0
e dx
Cos x

 Đặt t = tanx => dt = 2
1
cos x
dx 
 Khi x = 0  t = 0 
 x =/ 4  t = 1 
/ 4 tanx
2
0
e dx
Cos x

 =
1
t
0
e .dt =et
1
0
 =e1 
h) 
2e
e
dx
x lnx Đặt t =lnx => dt =
1
x
dx 
 Khi x = e  t = 1 
 x = e2  t = 2 
2e
e
dx
x lnx =
2
1
dt
t =ln t
2
1
=ln2 
Bài 2: Tích các tích phân sau : 
a) 
e 3
1
6 2ln x dx
x

 Đặt t =6+2lnx => dt =2.
1
x
dx => dt
2
= 1
x
dx 
 Khi x = 1  t = 6 
 x = e  t = 8 
e 3
1
6 2ln x dx
x

 =
1
2
8
3
6
t .dt =
1
2
. 3
4
3 4t
8
6
= 3
8
(16 3 46 ) 
b)
/ 2
3
/ 2
Cosx Cos x.dx


 =



/ 2
2
/ 2
Cosx(1 Cos x).dx =



/ 2
/ 2
Cosx. sinx .dx
=


0
/ 2
Cosx. sinx .dx +


/ 2
0
Cosx. sinx .dx 
=


0
/ 2
Cosx.sinx.dx +


/ 2
0
Cosx.sinx.dx 
Đặt t= cosx => dt = sinx.dx => dt =sinx.dx 
Đổi cận : Khi x = /2  t = 0 
 x = 0  t = 1 
x = /2  t = 0 
I= 
1
0
t .dt 
0
1
t .dt =2
1
0
t .dt =2.
2
3
3t
1
0
 = 4
3
c) 
/ 9
2
/12
2dx
3.Cos 3x


 =
2
3
. 1
3
tan3x
/ 9
/12


 = 2
9
(tan
3

tan
4
 )= 2
9
( 3 1) 
d) 
9
2
5
x.dx
x 144 
 Đặt t =x2+144  dt =2x.dx=>
dt
2
=x.dx 
 Khi x = 5  t = 169 
 x = 9  t = 225 
92
5
x.dx
x 144 
 =
1
2
225
169
dt
t =
1
2
ln t
225
169
= 1
2
(ln225ln169) =ln15ln13 
e) 
ln3 x
x
0
e .dx
5 e Đặt t = 5+e
x  dt =ex.dx 
 Khi x = 0  t = 6 
 x =ln3  t = 8 
ln3 x
x
0
e .dx
5 e =
8
6
dt
t =ln t
8
6
=ln8ln6 
f) 
5
1
x x 1.dx Đặt t= x 1 => x=t2 +1 => dx =2t.dt 
Đổi cận : Khi x = 1  t = 0 
 x = 5  t = 2 
5
1
x x 1.dx =
2
2
0
(t 1).t.(2t.dt) =
2
4 2
0
(2t 2t ).dt =(
52t
5
+
32t
3
)
2
0
 =
62
5
+
42
3
g) 
2
4
dx
x2
2
 
 Đặt t= 
x2
2
 => x=42t2 => dx =4t.dt 
Đổi cận : Khi x =4  t = 2 
 x = 2  t = 1 
2
4
dx
x2
2
 
 =
1
2
4t.dt
t

 =4
2
1
dt =4t
2
1
=4(21)=4 
h) 
/ 6
0
1 4Sinx.Cos x.dx

 
 Đặt t = 1+4Sin x  dt =4Cos x.dx => dt
4
=cosx.dx 
 Khi x = 0  t = 1 
 x = /6  t = 3 
/ 6
0
1 4Sinx.Cos x.dx

 =
1
4
3
1
t .dt =
1
4
. 2
3
3t
3
1
= 1
6
( 27 1) 
i) 
4 x
1
e .dx
x
 Đặt t = x => dt = 1
2 x
dx => 2dt= 1
x
.dx 
 Khi x = 1  t = 1 
 x = 4  t = 2 
4 x
1
e .dx
x
 =2
2
t
1
e .dt =2et
2
1
 =2e2 2e 
Bài 3: a) 
2
3
0
Sin x.dx

 = 2
0
/ 2
sin x.sin x.dx

 = 2
0
/ 2
(1 cos x).sin x.dx

 
 Đặt t = cos x  dt =sinx.dx 
 Khi x = 0  t = 1 
 x = /2  t = 0 
2
3
0
Sin x.dx

 =
0
2
1
(1 t )( dt)  =
1
2
0
(1 t ).dt =(t 
3t
3
)
1
0
=1 1
3
= 2
3
b) 
/ 2
3 2
0
Sin x.Cos x.dx

 =
/ 2
2 2
0
Sin x.Cos x.sin x.dx

 =
/ 2
2 2
0
(1 cos x)Cos x.sin x.dx

 
 Đặt t = cos x  dt =sinx.dx 
 Khi x = 0  t = 1 
 x = /2  t = 0 
/ 2
2 2
0
(1 cos x)Cos x.sin x.dx

 =
0
2 2
1
(1 t ).t ( dt)  =
1
2 4
0
(t t ).dt =(
3t
3

5t
5
)
1
0
= 1
3

1
5
= 2
15
c) 
/ 2
5
0
Sin x.dx

 = 2 2
0
/ 2
(1 cos x) .sin x.dx

 
 Đặt t = cos x  dt =sinx.dx 
 Khi x = 0  t = 1 
 x = /2  t = 0 
/ 2
5
0
Sin x.dx

 =
0
2 2
1
(1 t ) ( dt)  =
1
2 2
0
(1 t ) .dt =
1
2 4
0
(1 2t t ).dt  
=(t 
3 52t t )
3 5

1
0
= 8/15 
d) 
/ 3
/ 4
dx
Cosx


 =
/ 3
/4
dx
sin( x)
2




 =
/ 3
/4
dx
x x2.sin( ).cos( )
4 2 4 2


 
 
 = 
=
/ 3
2/4
dx
x x2.tan( ).cos ( )
4 2 4 2


 
 
 
Đặt t= tan(
4


x
2
) => dt= 
2
1
x2.cos ( )
4 2


Đổi cận Khi x = /3  t = tan
12
 
x = /4  t = tan
8
 
/ 3
2/4
dx
x x2.tan( ).cos ( )
4 2 4 2


 
 
 =
tan
12
tan
8
dt
t


 =
tan
8
tan
12
dt
t


 =ln t
tan( / 8)
tan( /12)


=ln(tan
8
 ) ln(tan
12
 ) 
e) 
/ 4 2
4
0
Sin x .dx
Cos x

 =


/ 4 2
2 2
0
Sin x 1. .dx
Cos x Cos x
=


/ 4
2
2
0
1tan x. .dx
Cos x
Đặt t = tan x  dt = 2
1 dx
Cos x
 Khi x = 0  t = 0 
 x = /4  t = 1 


/ 4
2
2
0
1tan x. .dx
Cos x
= 
1
2
0
t .dt 
3t
3
1
0
= 1
3
f)
/ 4
5
0
tan x.dx

 . Ta có : tan
5x = (tan3xtanx)(tan2x + 1 ) + tanx 
/ 4
5
0
tan x.dx

 = 3 2
/ 4
0
(tan x tanx)(tan x 1 )dx 

  
0
/ 4
tan x.dx

 = K J 
Tính K = 3 2
/ 4
0
(tan x tanx)(tan x 1)dx 

  = 3
/ 4
0
(tan x tanx).d(tanx) 

 
= (
4tan x
4

2tan x
2
)
4/
0

= 1
4

1
2
= 1
4
J =
0
/ 4
tan x.dx

 =
0
/4 d(Cosx)
Cosx

  = ( ln Cosx )
4/
0

= 2 1ln ln2
2 2
  
Vậy : 
/ 4
5
0
tan x.dx

 =
1 1 .ln2
4 2
  
g) I=
/ 4
2 4
0
Sin x.Cos x.dx

 ; Xét J=
/ 4
4 2
0
Sin x.Cos x.dx

 
I + J = 2 2 2 2
/ 4
0
Sin x.Cos x.(Sin x Cos x).dx

 = 2 2
/ 4
0
Sin x.Cos x.dx

 
= 1
4
/ 4
2
0
Sin 2x..dx

 =
1
8
 
/ 4
0
1 Cos4x dx

 =
1 1x Sin4x
8 4
  
 
4/
0

= 
32
 
I – J = 2 2 2 2
/ 4 / 4
2
0 0
1Sin x.Cos x.(Cos x Sin x).dx Sin 2x.Cos2x.dx
4
 
    
 =
/ 4
2
0
1 Sin 2x.d(Sin2x)
8

 = 
3Sin 2x
24
4/
0

= 
24
1 
 Vậy I = )
24
1
32
(
2
1

 và J = )
24
1
32
(
2
1

 
h) 
3
3
1
x. x 1.dx Đặt t= 3 x 1 => x=t3 +1 => dx =3t2.dt 
Đổi cận : Khi x = 1  t = 0 
 x = 3  t = 
3
3
1
x. x 1.dx =
3 2
3 2
0
(t 1).t.(3t .dt) =
3 2
6 3
0
(3t 3t ).dt =(
73t
7
+
43t
4
)
3 2
0
= 12
7
. 3 2 + 3
2
. 3 2 = 45
14
3 2 
 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số khi f(x) có chứa dạng sau : 
 2 2a x đặt x= a.Sin t với t  [
2
 ;
2
 ] 
 hoặc đặt x = a.Cos t với t  [0 ; ] 
 2 2a x hoặc (a2 + x2 ) đặt x = a.tan t với t  (
2
 ;
2
 ) 
 2 2x a đặt x= a
Cos t
 với t  [0;]\
2

 
Bài 4 : a) 
1
2
0
dx
1 x Đặt x = tant  dx = (tan
2 t+ 1).dt ; t  (
2
 ;
2
 ) 
 Khi x = 0  tan t =0  t = 0 
 x = 1  tan t = 1  t = /4 
 I = 
2
2
0
/ 4 (tan 1).dt
(tan 1)
 

t
t
= 
0
/ 4
dt

 =(t)
/4
0

=
4
 
b) 
2
2
0
dx
4 x
 Đặt x = 2Sin t  dx = 2Cos t.dt 
 Khi x = 0  t = 0 
 x = 2  t = /4 
2
2
0
dx
4 x
 = 
2
0 0 0
/ 4 / 4 / 42Cos t.dt 2Cos t.dt dt
2Cos t4 4Sin t
  
 

   = t 
4/
0

= /4 
c) 
1
2 2
0
x 4 x .dx Đặt x = 2Sin t  dx = 2.Cos t.dt 
 Khi x = 0  t = 0 
 x = 1  t = /6 
1
2 2
0
x 4 x .dx = 2 2
0
/ 6
8.Sin t. 4 4Sin t.Cos t.dt

 
= 2
0
/ 6
16 Sin t. Cos t .Cos t.dt

 =16. 2
0
/ 61 Sin 2t.dt
4

 = 
0
/ 6
2 (1 Cos 4t).dt

 
=
/12(t Sin 4t)
4
 

 = 
4
3
3

 
d) 
4
3
2
4
x .dx
x 4
 Đặt t=x2 4 => dt= 2x.dx => 
dt
2
=x.dx 
Đổi cận : Khi x = 4  t = 12 
 x = 4
3
  t = 4/3 
4
3
2
4
x .dx
x 4
 =
1
2
4/ 3
12
dt
t
= t
4 / 3
12
 = 2
3
 12 = 4
3
e) 
1
3 2
0
x 1 x .dx =
1
2 2
0
x 1 x .x.dx 
Đặt t=1+x2 => dt= 2x.dx => dt
2
=x.dx ; và x2 =t1 
Đổi cận : Khi x = 0  t = 1 
 x = 1  t = 2 
1
2 2
0
x 1 x .x.dx =
1
2
2
1
(t 1). t .dt =
1
2
2
3/ 2
1
(t t ).dt =
1
2
(
5/ 2t
5 / 2

2
3
3t ) 
2
1
= 1
2
( 2
5
5t  2
3
3t )
2
1
=( 1
5
52  1
3
32 )( 1
5

1
3
)= 2 2
15
+ 2
15
f)
2
2 2
1
x . 4 x .dx

 Đặt x = 2Sin t  dx = 2.Cos t.dt 
 Khi x = 1  t = /6 
 x = 2  t = /4 
2
2 2
1
x . 4 x .dx

 = 2 2
/ 6
/ 4
8.Sin t. 4 4Sin t.Cos t.dt


 
= 2
/ 6
/ 4
16 Sin t. Cos t .Cos t.dt


 =16. 2
/ 6
/ 41 Sin 2t.dt
4


 = 
/ 6
/ 4
2 (1 Cos 4t).dt


 
=
/ 412(t Sin 4t)
4 

 = 2(
4


1
4
sin) 2(
6


1
4
sin 2
3
 )= 5
6
 + 3
4
g) 
1
2
2
0
x.dx
1 x
 Đặt t=1x2 => dt= 2x.dx => 
dt
2
=x.dx 
Đổi cận : Khi x = 0  t = 1 
 x = 1/2  t = 3/4 
1
2
2
0
x.dx
1 x
 =
1
2
3/ 4
1
dt
t
= t
3/ 4
1
 = 3
2
+1 
h) 
1
2
0
x.dx
1 x
 Đặt t=1+x2 => dt= 2x.dx => dt
2
=x.dx 
Đổi cận : Khi x = 0  t = 1 
 x = 1  t = 2 
1
2
2
0
x.dx
1 x
 =
1
2
2
1
dt
t
= t
2
1
 = 2 1 
Bài 5 : 
a) 
e
2
1
dx
x 1 (ln x)
 Đặt ln x = Sin t  dx
x
 = Cos t.dt 
 Khi x = 1  t = 0 
 x = e  t = /6 
e
2
1
dx
x 1 (ln x)
 =
2
0 0 0
/ 6 / 6 / 6Cos t.dt Cos t.dt dt
Cos t1 Sin t
  
 

   = /6 
b)
2
2
4
0
x.dx
1 x
 Đặt x2 = Sin t  2x.dx = Cos t.dt => x.dx= 1
2
cost.dt 
 Khi x = 0  t = 0 
 x = 2
2
  t = /6 
2
2
4
0
x.dx
1 x
= 1
2 2
0
/ 6 Cos t.dt
1 Sin t


 =
1
2
0
/ 6 Cos t.dt
Cos t

 =
1
2
0
/ 6
dt

 =
1
2
.
6
 =
12
 
c) 
1
2
4
0
x.dx
1 2x
 
Đặt 2 x2 = Sin t  2 2 x.dx = Cos t.dt => x.dx= 1
2 2
cost.dt 
 Khi x = 0  t = 0 
 x = 1
2
  t = /4 
1
2
4
0
x.dx
1 2x
 =
1
2 2 20
/ 4 Cost.dt
1 Sin t


 =
1
2 2 0
/ 4 Cos t.dt
Cos t

 =
1
2 2 0
/ 4
dt

 =
1
2 2 4
