Toán 8 - Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn và không tuần hoàn ra phân số

CHUYÊN ĐỀ 4
CHUYỂN SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN VÀ KHÔNG TUẦN HOÀN RA PHÂN SỐ.
Mục lục :
I. 	Lí thuyết 
II. 	Chuyên số thập phân vô hạn tuần hoàn và không 	tuần hoàn ra phân số 
III. 	Phân số tuần hoàn 
IV. 	Các dạng bài tập 
LÍ THUYẾT: 
1.	Công thức đổi STPVHTH (số thập phân vô hạn tuần hoàn) ra phân số:
Ví dụ 1:
Đổi các số TPVHTH sau ra phân số:
+) +) 
+) +) 
Ví dụ 2: 
Nếu F = 0,4818181... là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81.
 Khi F được viết lại dưới dạng phân số thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?
Giải:
Ta có: F = 0,4818181... = 
Vậy khi đó mẫu số lớn hơn tử là: 110 - 53 = 57
Ví dụ 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).
 ĐS : 
Giải:
 Ta đặt 3,15(321) = a 
Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1)
 100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có : 99900 a = 315006
 Vậy Đáp số: 
Khi thực hành ta chỉ thực hiện phép tính như sau cho nhanh:
Chú ý: Khi thực hiện tính toán ta cần chú ý các phân số nào đổi ra đợc số thập phân ta nên nhập số thập phân cho nhanh. 
Ví dụ: 4/5 = 0,8
II. Chuyển số thập phân tuần hoàn và không 
tuần hoàn ra phân số:
Chuyển số thập phân tuần hoàn sang phân số 
Công thức tổng quát đây:
* Dạng 1/ Ví dụ 
Ta có: (123 gồm 3 số) 
*Dạng 2/
Ví dụ 
Ta có: gồm 4 số), (36 gồm 2 số) 
III.PHÂN SỐ TUẦN HOÀN.
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau:
0,(123)
7,(37)
5,34(12)
Giải: 
Ghi nhớ: ...
a) Cách 1: 
Ta có 0,(123) = 0,(001).123 = 
 Cách 2:
Đặt a = 0,(123)
Ta có 1000a = 123,(123) . Suy ra 999a = 123. Vậy a = 
Các câu b,c (tự giải)
Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)
Giải: Đặt 3,15(321) = a.
Hay 100.000 a = 315321,(321) (1)
 100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006
 Vậy 
Bài 3: Tính 
Giải
Đặt 0,0019981998... = a.
Ta có: 
Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 = 
Vậy A = 
IV.	CÁC DẠNG BÀI TẬP:
	1. Tính giá trị của biểu thức: 
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: 
 a) Đáp số: A = 
 b) B = B = 
 c) C = C = 
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: 
 a) 
 b) 
	Đáp số: A = . . . . . . . . . . . Đáp số: B = . . . . . . . . . .
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức(chỉ ghi kết quả):
a) 
 b) 
 Với x = 0,987654321; y = 0,123456789
 Đáp số: A = Đáp số: B = 
Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức: 
 a) b) 
Đáp số: A = ? Đáp số: B =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: 
A =1987 
 a) Tính 2,5% của b) Tính 7,5% của 
 a) b) 
 Bài 2: 
a) Cho bốn số A = [(23)2]3, B = [(32)3]2; C = ; D = .
 Hãy so sánh A với B; C với D
b) E = 0,3050505 là số thập phân vô hạn tuần hoàn được viết dưới dạng phân số 
 tối giản. Tổng của tử và mẫu là (đánh dấu đáp số đúng)
 A. 464 B. 446	 C. 644 D. 646 E. 664 G. 466
 Bài 3: a) Tính giá trị của biểu thức: 	
	KQ: A » 2.526141499
Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) A = 
b) B = (6492 + 13x1802)2 - 13x(2x649x180)2
c) D = 
d) C = (Chính xác đến 6 chữ số thập phân)
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức
a) A = 
b) B = 
c) C = 
 d) S = 
 Bài 6: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-2006- Hải Dương)
 Cho . Tính 
 Trả lời: A = -1,873918408
Cho hai biểu thức P = ; Q = 	
 1) Xác định a, b, c để P = Q với mọi x ¹ 5.	2) Tính giá trị của P khi .
Trả lời: 1) a = 3 ; b = 2005 ; c = 76 (4 điểm)
 2) P = - 17,99713 ; khi (4 điểm)
Bài 7: Thực hiện phép tính.
a) . 
c
d) 
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
a) A = 
b) B = 
c) C = 
Bài 9: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) A = 
b) B = (6492 + 13x1802)2 - 13x(2x649x180)2
c) D = 
d) C = ( Chính xác đến 6 chữ số thập phân)	
 Bài 11: THI KHU VỰC GIẢI MÁY TÍNH TRÊN MÁY TÍNH CASIO 2007
a) Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân :
b) Tính giá trị của biểu thức M với α = 25030', β = 57o30’
 (Kết quả lấy với 4 chữ số thập phân)
Kết quả: a) N = 567,87	1 điểm
 b) M = 1,7548	2 điểm
Bài 12: Tính tổng các phân số sau: 
a) .	 
 b) 
c) .	
2. Tính giá trị biểu thức có điều kiện:
Bài 1: 
Tính giá trị của biểu thức:
 tại ;;
Bài 2: 
a) Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a4 + b4 + c4 
 nếu a + b + c = 3, ab = -2, b2 + c2 = 1
Cho . Tính x theo độ , phút , giây và cotg x ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) ? 
r1 = 
r2 = 
x = 
cotg x = 
 Bài 3: 1) Tính giá trị của biểu thức: A(x) = 3x5-2x4+2x2-7x-3
 tại x1=1,234 x2=1,345 x3=1,456 x4=1,567 
 2) Tìm nghiệm gần đúng của các phơng trình:
 a/ b/ 
 Giải:
1) Ghi vào màn hình: ấn =
- Gán vào ô nhớ: 1,234, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức rồi ấn = 
 được A(x1) (-4,645914508) 
 Tương tự, gán x2, x3, x4 ta có kết quả”
 A(x2)= -2,137267098
 A(x3)= 1,689968629 
 A(x4)= 7,227458245
2) a/ Gọi chương trình: 
Nhập hệ số: 
 )
b/ Gọi chương trình: 
 Nhập hệ số: 
 ()
 Bài 4:
 a/ Tìm số d khi chia đa thức cho x-2
 b/ Cho hai đa thức:
 P(x) = x4+5x3-4x2+3x+m
 Q(x) = x4+4x3-3x2+2x+n
 Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3
 Giải:
a/ Thay x = 2 vào biểu thức x4 - 3x2 - 4x + 7 Kết quả là số d
 Ghi vào màn hình: X4 - 3X2 + 4X + 7
Gán: di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức, ấn 
Kết quả: 3
b/ Để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3 thì x=3 là nghiệm của P(x) và Q(x)
Ghi vào màn hình: X4+5X3-4X2+3X ấn 
-Gán: , di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức và ấn 
được kết quả 189 m = -189
 Bài 5: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-2006 - Cẩm Giàng)
a) Cho X = ; Y = 
	Tính X.Y chính xác đến 0,001 ?
b) Tính
	C = 
Bài 6: 
 a) Tính GTBT: C = Với x= 0,52, y =1,23, z = 2,123
 C = 0.041682
 b) Tính GTBT:	C = Với x = 0,252, y = 3,23, z = 0,123
 C = 0.276195
Bài 7: 
a) Tính : D = 0,3(4) + 1,(62) : 14
b) Cho biết . Tính giá trị của biểu thức M biết rằng: 
 M = (a2 - bc)2 + (b2 - ca)2 + (c2 - ab)2 + (ab + bc + ca)
Bài 8: 	
a) Tính giá trị của biểu thức M = chính xác đến 0,0001 với:
d) Tính gần đúng giá trị của biểu thức : N = 
Ghi kết quả vào ô vuông
m =
A = 
B = 
.Bài 9: 
 Cho. Tính đúng đến 7 chữ số thập phân . 
a)	Tính giá trị biểu thức D với x = 3,33 ( chính xác đến chữ số thập phân thứ tư ) 
	Tính và ghi kết quả vào ô vuông .	
A = 
B = 
C = 
D = 
Bài 10: 
b)	Tính giá trị biểu thức D với x = 8,157 
	Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
A = 
B = 
r = 
D = 
Bài 11: a) Tính giá trị biểu thức với 
	 b) Tính gần đúng giá trị của biểu thức : N = 
 Bài 12: 
Tính . 
 b) Tính C = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913 
Bài 13: 
a.	Tính 
b.	Tính C = 
Bài 14: a) Tính 
 b) Cho.Tính 
 Bài 15: a) Tính 
 b) Cho . Tính 
 c) Tính giá trị biểu thức: với x = 9,25167 
	 Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
Bài 16: Cho A = ; B = 
 	Mỗi số đều có 2005 dấu căn. Tìm ? ( Trong đó là phần nguyên của A+B )
3. Tìm x biết: 
Ví dụ 1: Tìm x biết: 
Đáp số: x = -20,38420
Ví dụ 2: Tính giá trị của x từ phương trình sau 
 Đáp số: x = −903,4765135
3. Ví dụ 3: Tìm x biết:
 a)
 b)
4. Ví dụ 4: 	Tìm nghiệm của phơng trình viết dới dạng phân số:
Đáp số: Nghiệm của phơng trình viết dới dạng phân số: 
4. Ví dụ 4: 4
Bài tập áp dụng:
Số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hồn 3,15(321).
 Giải:
 ĐS : 
Ví dụ 2: Viết các bớc chứng tỏ :
 A = là một số tự nhiên và tính giá trị của A
Giải:
 Đặt A1= 0,20072007... 10000 A1 = 2007,20072007... = 2007 + A1
 9999 A1= 2007 A1=
 Tơng tự, A2 = 
 Tính trên máy Vậy A = 123321 là một số tự nhiên
 Ví dụ 3: Cho số tự nhiên A = . 
 Số nào sau đây là ớc nguyên tố của số đã cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.
Giải:
A=1111=11.101