Toán 8 - Chuyên đề III: Tính chính xác phép nhân tràn màn hình

CHUYÊN ĐỀ III.	TÍNH CHÍNH XÁC
	PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH 
I. Tính toán trên máy kết hợp trên giấy:
Bài 1: a) Nêu một phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 1234567892
d) Tính chính xác của số: C = 10234563
Giải:
a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm như sau:
A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 
+ 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 
Þ 12578.103.14375 = 180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125
 (Tính trên máy)
Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 và cộng trên máy:
808750000 + 13843125 = 822593125 Þ A = 180822593125
b) Giá trị chính xác của A là: 180822593125
c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 
+ 67892
Tính trên máy: 123452 = 152399025
2x12345x6789 = 167620410
67892 = 46090521
Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521
 = 15239902500000000 + 1676204100000 +
 46090521= 15241578750190521
d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
Tính trên máy:
10233 = 1070599167
3.10232.456 = 1431651672
3.1023.4562 = 638155584
4563 = 94818816
Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + + 638155584000 + 94818816 = 1072031456922402816
Bài 2 (Thi giải Toán trên MTBT khu vực - Năm học 2003-2004)
Tính kết quả đúng của các tích sau:
a) M = 2222255555 x 2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012
Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tính kết quả đúng của các phép tính sau:
a) A = 1,123456789 - 5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895
Đáp số: a) A = b) B = 
Bài 4: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tính kết quả đúng của phép tính sau:
A = 52906279178,48 : 565,432
Đáp số: A = 
Bài 5: Tính chính xác của số A = 
Giải:
- Dùng máy tính, tính một số kết quả:
 và 
 và 
 và 
Nhận xét: là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4
 là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6
* Ta dễ dàng chứng minh được nhận xét trên là đúng và do đó:
A = 111111111111555555555556 
Ví dụ 1: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dương)
 Bài 5(2, 0 điểm) Tìm giá trị chính xác của 10384713.
Giải:
Đặt ; 
Khi đó D = 
Lập bảng giá trị ta có:
1
1
1
8
3
8
6
8
7
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
2
2
4
2
8
3
7
2
0
0
0
0
0
0
6
9
0
8
1
2
8
7
4
0
0
0
1
0
4
4
8
7
1
1
1
D
1
1
1
9
9
0
9
9
9
1
2
8
9
3
6
1
1
1
1
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: D = 10384713 =1119909991289361111
 Bài 1: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau:
 a) ; b) 
Giải:
a) Ta có: 
 = 
b) = 
 Bài 2: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau 
 a) P = 13032006 × 13032007
 b) Q = 3333355555 × 3333377777
Giải:
 a) Đặt ; , 
Khi đó ta có: = 
= 
Lập bảng giá trị ta có:
1
6
9
7
8
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
5
2
2
8
9
3
9
0
0
0
0
4
0
2
6
0
4
2
P
1
6
9
8
3
3
1
9
3
4
1
6
0
4
2
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 
 b) Đặt ; , 
Khi đó ta có: 
 = 
Lập bảng giá trị ta có:
1
1
1
1
0
8
8
8
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
4
4
3
5
5
5
5
6
0
0
0
0
0
4
3
2
0
9
0
1
2
3
5
P
1
1
1
1
1
3
3
3
3
2
9
8
7
6
5
0
1
2
3
5
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 
 Q = 11111333329876501235 
Bài 3: Tính S = 
 chính xác đến 4 chữ số thập phân.
Giải:
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = C . B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353
 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:	
 và 
 A = B =
a- Tính kết quả đúng của các tích sau:
	M = 3333355555 3333366666
	N = 20052005 20062006 
b) Tính C = 11! + 22! + 33! +  + 1616! 
c) Tính kết quả đúng của tích A = 
Tính kết quả đúng của tích A = 
Tính . 
Bài 5: So sánh các cặp số sau:
a) và 
 b) và .
 c) và B = 1
Bài 6: Tính tổng các phân số sau: 
a) .	 
b) 
 c) .	
II. Tìm tích ab( tích một số có 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ số)
Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789
-Ghép a thành các nhóm:
	+ Từ phải qua trái, mỗi nhóm có 5 chữ số.
	+ Nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số.
-Lấy nhóm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra giấy.
Ghi ra giấy 90521
-Lấy các số còn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhóm 2 nhân b:
KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở bước 1.
Ghi ra giấy 19875 90521
-Tiếp tục là như vậy đến hết.
Đáp số : 7010987597531987590521
KQ: 1963075 90521
Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789
Buớc 1: 5678956789=32249 90521
Bước 2: 32249+3456789=1963075
Cơ sở lý luận:
Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta có a=(34 00000+56789)
Lúc này ab=(34 00000+56789)56789.
Aùp dụng tính chất PP ta được cách làm trên.
Bài tập áp dụng:
1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068
b/ a= 147689245; b= 12567
2/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998
3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667
III. PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH 
Bài 1: 
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.
Giải: 
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên 
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 
 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 
 = 355687428095999.
Bài 2: 
Tính kết quả đúng của các tích sau:
M = 2222255555 . 2222266666.
N = 20032003 . 20042004.
Giải:
Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A2.1010
4
9
3
8
1
7
2
8
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AB.105
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
AC.105
1
4
8
1
4
5
1
8
5
2
0
0
0
0
0
BC
3
7
0
3
6
2
9
6
3
0
M
4
9
3
8
4
4
4
4
4
3
2
0
9
8
2
9
6
3
0
Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả: 
M = 4938444443209829630.
N = 401481484254012.
Bài tập tương tự: 
1.Tính chính xác các phép tính sau:
A = 20!.
B = 5555566666 . 6666677777
C = 20072007 . 20082008
10384713
201220032
2. Tính A = 999 999 9993
-- Giải --
Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999.
Từ đó ta có quy luật: 
Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999.
3 . Tính kết quả đúng (không sai số) của các tích sau :
Kết hợp tính trên giấy ta sẽ được kết quả.
4 .Tìm ƯCLN và BCNN của hai số A = 1234566 và B = 9876546
(ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502)
5 Tính chính xác giá trị của biểu thức 	và	
6. Tính chính xác giá trị của 1234567892(đáp số 15241578749590521)
	(đáp số: A=4022834
7. Hãy tính chính xác số 22220083
VI. TÍNH CHÍNH XÁC GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ:
 Lí thuyết: 
	Ví dụ 1: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dơng)
 Bài 5(2, 0 điểm) Tìm giá trị chính xác của 10384713.
Giải:
Đặt ; 
Khi đó D = 
Lập bảng giá trị ta có:
1
1
1
8
3
8
6
8
7
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
2
2
4
2
8
3
7
2
0
0
0
0
0
0
6
9
0
8
1
2
8
7
4
0
0
0
1
0
4
4
8
7
1
1
1
D
1
1
1
9
9
0
9
9
9
1
2
8
9
3
6
1
1
1
1
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: D = 10384713 =1119909991289361111
v	Ví dụ 2: (5 điểm) Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64. 
 Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải:
 Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
 Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264.
 Để ý rằng : 264 = = . 
 Đặt  ; Ta có : A = 
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:
X2.1010 = 
1
8
4
4
6
1
6
6
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2XY.105 =
5
7
8
0
5
9
1
8
0
8
0
0
0
0
0
Y2 = 
4
5
2
8
7
5
1
6
1
6
A = 
1
8
4
4
6
7
4
4
0
7
3
7
0
9
5
5
1
6
1
6
 Vậy A = 18446744073709551616 
v	Ví dụ 3:
Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244
 Tính A = x3000 + y3000
Giải:
Đặt a = x1000, b = y1000. Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 Khi đó : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3 - 3. 
 Đáp số : A = 184,9360067
4) Ví dụ 4: Cho: biết: 
P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17.
Tính P(18)
Bài tập: 
 Bài 1: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau:
 a) ; b) 
Giải
a) Ta có: 
b) 
 Bài 2: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau 
 a) P = 13032006 × 13032007
 b) Q = 3333355555 × 3333377777
Giải:
 a) Đặt ; , 
Khi đó ta có: = 
= 
Lập bảng giá trị ta có:
1
6
9
7
8
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
5
2
2
8
9
3
9
0
0
0
0
4
0
2
6
0
4
2
P
1
6
9
8
3
3
1
9
3
4
1
6
0
4
2
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 
 b) Đặt ; , 
Khi đó ta có: 
 = 
Lập bảng giá trị ta có:
1
1
1
1
0
8
8
8
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
4
4
3
5
5
5
5
6
0
0
0
0
0
4
3
2
0
9
0
1
2
3
5
P
1
1
1
1
1
3
3
3
3
2
9
8
7
6
5
0
1
2
3
5
 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: P = 169833193416042 
 Q = 11111333329876501235 
Bài 3: Tính S = 
 chính xác đến 4 chữ số thập phân.
Giải:
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = C . B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:	
 và 
 A = B =
a- Tính kết quả đúng của các tích sau:
	M = 3333355555 3333366666
	N = 20052005 20062006 
b) Tính C = 11! + 22! + 33! +  + 1616! 
c) Tính kết quả đúng của tích A = 
e)	Tính kết quả đúng của tích A = 
f)	Tính . 
Bài 5: So sánh các cặp số sau:
a) và 
 b) và .
 c) và B = 1
Bài 6: Tính tổng các phân số sau: 
a) .	 
b) 
 c) .	
Bài 7: 
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.
Giải: 
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên 
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 
 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 
 = 355687428095999.
Bài 8: 
Tính kết quả đúng của các tích sau:
M = 2222255555 . 2222266666.
N = 20032003 . 20042004.
Giải:
Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A2.1010
4
9
3
8
1
7
2
8
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AB.105
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
AC.105
1
4
8
1
4
5
1
8
5
2
0
0
0
0
0
BC
3
7
0
3
6
2
9
6
3
0
M
4
9
3
8
4
4
4
4
4
3
2
0
9
8
2
9
6
3
0
Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả: 
M = 4938444443209829630.
N = 401481484254012.
Bài 9 .Tính chính xác các phép tính sau:
A = 20!.
B = 5555566666 . 6666677777
C = 20072007 . 20082008
10384713. 201220032
Bài 10 Tính A = 999 999 9993
-- Giải --
Ta có: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999.
Từ đó ta có quy luật: 
Vậy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999.