Toán 6 - Giải bài tập nâng cao về phép chia hết

Phiếu số 20 lớp 6C3 GV : Tô Diệu Ly : 0943153789 7/10/2016)
Bài 1 : Chứng tỏ rằng hiệu của một số và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
Giải 
Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n bài toán trở thành . CTR: n – S(n) chia hết cho 9
Thật vậy giả sử n = ( n có m + 1 chữ số ) khi đó 
S(n) = am + am – 1 + ..+ a1 + a0
Ta có n = am.10n + am – 1 + + a1 + a0
 = .an + .am – 1 +......+ 9ª1 + (am + am -1 + ....+ a1 + a0)
Vì .an + .am – 1 +......+ 9ª1 nên đặt bằng 9k ( k N)
Suy ra n = 9k + S(n) 
Suy ra n – S(n) = 9k 
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có : (n + 20162017)(n + 20172016) 
Giải 
Ta co 2016 là số chăn nên 20162017 cũng là số chẵn .tương tự ta cũng có 20172016 là số lẻ 
Từ đó ta có (n + 20162017)(n + 20172016 = 2n + (20162017 + 20172016) là số lẻ vì 2n là số chẵn còn (20162017 + 20172016) là số lẻ 
Suy ra trong hai số (n + 20162017) và (n + 20172016) phải có một số chẵn 
Do vậy tích của chúng (n + 20162017)(n + 20172016) là một số chẵn 
Vậy (n + 20162017)(n + 20172016) 
Bài 3: chứng tỏ rằng ( 10n + 18n – 1) 27
Giải 
Ta có 10n – 1 = 
Suy ra ( 10n + 18n – 1) = + 18n = 9( + 2n) 
Ta có ( + 2n) 3 vì tổng ( + 2n) có tổng các chữ số bằng 3n 3
Suy ra ( 10n + 18n – 1) 9.3 hay ( 10n + 18n – 1) 27
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có :10n + 72n -1 81
Giải
Ta có 10n – 1 = , ; 72n = 81n – 9n
Suy ra ( 10n + 72n – 1) = + 81n – 9n = - 9n + 81n = 9( - n) + 81n 
Vì ( - n) 9 nên 9( - n) 9.9 = 81 ; 81n 81 
Suy ra 10n + 72n -1 81
 Bài 5: Cho A = 8n + chia hết cho 9 ( n N* )
Giải 
A = 9n + - n = 9n + ( - n)
Vì có tổng bằng n nên ( - n) chia hết cho 9 ( xem bài 1)
Hoặc có thể giải như sau
 có tổng các chữ số bằng n nên và số n khi chia cho 9 có cùng số dư do đó 
( - n) 9
Vì 9n9 và ( - n) 9 nên A 9
Bài 6: Cho n N , chứng minh rằng n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5
Giải 
Ta có n2 + n + 1 = n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên liếp nên chia hết cho 2 
Suy ra n(n + 1) + 1 là số lẻ nên không chia hết cho 4
n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên liếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9
nên n(n + 1) + 1 không có tận cùng là 0 hoặc 5 do đó không chia hết cho 5
Bài 7: Tổng các chữ số của số tự nhiên a ký hiệu là S(a) .Chứng minh rằng nếu S(a) = S(2a) thì a chia hết cho 9
Giải 
Ta đã biết : một số tự nhiên a và tổng các chữ số của nó khi chia cho 9 có cùng số dư nên 
 a – S(a) 9 , và 2a – S(2a) 9
Xét hiệu 
Suy ra a – S(2a) + S(a) 9 suy ra a 9 (vì S(a) = S(2a)) 
Bài 8: biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và (n2 – n ) 5. Tìm chữ số tận cùng của n
Giải
Vì n 2 nên chữ số tận cùng của n là số chẵn 
Vì n2 – n = n(n – 1) 5 nên hoặc n 5 hoặc n – 15 do đó n có chữ số tận cùng là 0 , 5 hoặc n- 1 có tân cùng là 0,5. Tức là n có chữ số tận cùng là 0;5;1;6
Kết hợp hai kết quả trên ta suy ra n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 6
Bài 9: Chứng minh rằng : 5n – 14 ( n N* )
Giải 
Nếu n = 1 thì 5n – 1 4 
Nếu n > 1 thì 5n có hai chữ số tận cùng là 25 suy ra 5n – 1 có hai chữ số tận cùng là 24, chia hết cho 4 .Vậy 5n – 1 4
Bài 10: Biết rằng 1978a + 2012b + 78a + 10b cùng chia hết cho 11 Chứng minh rằng a và b cũng chia hết cho 11
Giải 
Ta có (1978a + 2012b) – (78a + 10b) = 1900a + 2002b 11
Mà 2002 11 nên 2002b 11 1900a 11 a 11
Vì 78a + 10b 11 và 78a 11 10b 11 b 11
Bài 11: tìm số tự nhiên có bốn chữ số ,sao cho khi nhân số đó với 9 ta được số mới gồm chính các chữ số ấy nhưng viết theo thứ tự ngược lại
Giải 
Gọi số cần tìm là , ta có 9. = suy ra và (b + c + 1) 9 = ( n – 2)2 
b + c 
Vì 9. = nên 9b < 10 b 
Nếu b = 1 thì c = 7 .Thử lại ta thấy 9. 9. ( loại)
Nếu b = 0 thì c = 8 thử lại ta thấy 9.= 9. ( loại thỏa mãn
Vậy số cần tìm 1089
Bài 12 : tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho = n2 – 1 và = ( n – 2)2 
với ( n N, n > 2 )
Giải 
 - = n2 – 1 - ( n – 2)2 = 99(a – c ) = 4n – 5 = > 4n – 5 99 (1)
Vì n2 = + 1 => 101 10 35 < 4n – 5 < 123 (2)
Từ (1);(2) => 4n – 5 = 99 => 4n = 104 => n = 26
Do vậy = 675 . Thử lại ta có = 576 = (26 – 2)2 là đúng 
Vậy = 675
Bài 13: ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n .Tìm n biết rằng n + S(n) = 94
Giải 
Vì n + S(n) = 94 => n là số có hai chữ số 
Giả sử n = ( với a,b ( n N a 0) ta có 
n + S(n) = + ( a + b) = 11a + 2b = 94 
 => => ra => a = 8 
Từ đó 11.8 + 2b = 94 => b = 3
Vậy n = 83.
Bài 14 chứng minh răng 
n(n + 14)(2n + 11) 3
y(y – 1)(2y – 4) 3
x(x +17)(2x + 17) 3
k(k + 11)(2k + 5) 3