Toán 6 - Căn bậc hai. căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Ngày dạy: ..
CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2A A
A./ Kiến thức cơ bản:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a.
- Chỳ ý:
+ Mỗi số thực a > 0, cú đỳng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: a , số õm: a
+ Số 0 cú căn bậc hai là chớnh nú: 0 0
+ Số thực a < 0 khụng cú căn bậc hai (tức a khụng cú nghĩa khi a < 0).
2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với 0a  thỡ số x a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn
bậc hai số học của 0.
- Chỳ ý: Việc tỡm căn bậc hai số học của 1 số khụng õm được gọi là phộp khai phương.
- Định lý: Với a, b > 0, ta cú:
+ Nếu a < b a b 
+ Nếu a a < bb 
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thỡ biểu thức A được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi là biểu thức lấy
căn hay biểu thức dưới dấu căn.
- A cú nghĩa (hay xỏc định hay tồn tại) 0A 
4. Hằng đẳng thức 2A A
- Định lý : Với mọi số thực a, ta cú : 2a a
- Tổng quỏt : Với A là biểu thức, ta cú : 2 ờu A 0-A nờu A<0
A nA A   
B./ Bài tập ỏp dụng
Dạng 1 : Tỡm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương phỏp :
- Viết số đó cho dưới dạng bỡnh phương của một số.
- Tỡm căn bậc hai số học của số đó cho.
- Xỏc định căn bậc hai của số đó cho.
Bài 1 : Tỡm căn bậc hai của cỏc số sau : 121 ; 144 ; 324 ; 1 ; 3 2 264 
LG
+ Ta cú CBHSH của 121 là : 2121 11 11  nờn CBH của 121 là 11 và -11
+ CBHSH của 144 là : 2144 12 12  nờn CBH của 121 là 12 và -12
+ CBHSH của 324 là : 2324 18 18  nờn CBH của 324 là 18 và -18
+ CBHSH của 164 là :
21 1 1
64 8 8
     nờn CBH của
1
64 là
1
8 và
1
8
+ Ta cú :  23 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1( 2 1 0)vi          nờn CBH của 3 2 2 là 2 1 và
2 1 
Dạng 2 : So sỏnh cỏc căn bậc hai số học
* Phương phỏp :
- Xỏc định bỡnh phương của hai số.
- So sỏnh cỏc bỡnh phương của hai số.
- So sỏnh giỏ trị cỏc CBHSH của cỏc bỡnh phương của hai số.
Bài 2 : So sỏnh
a) 2 và 3 b) 7 và 47 c) 2 33 và 10
d) 1 và 3 1 e) 3 à 5- 8v g) 2 11 à 3 5v 
LG
a) Vỡ 4 > 3 nờn 4 3 2 3  
b) Vỡ 49 > 47 nờn 49 47 7 47  
c) Vỡ 33 > 25 nờn 33 25 33 5 2 33 10    
d) Vỡ 4 > 3 nờn 4 3 2 3 2 1 3 1 1 3 1         
e) * Cỏch 1: Ta cú: 3 2 3 8 5 3 5 8
8 3
       
* Cỏch 2: giả sử
 2 23 5 8 3 8 5 3 8 5 3 2 24 8 25
2 24 14 24 7 24 49
           
     
Bất đẳng thức cuối cựng đỳng do đú bất đẳng thức đầu tiờn đỳng.
g) Ta cú: 2 3 2 11 3 5
11 5
     
Dạng 3: Tỡm điều kiện để căn thức xỏc định: A xỏc định 0A 
Bài 3: Tỡm điều kiện của x để cỏc biểu thức sau xỏc định:
22 1 1 2) ) 2 ) ) 3 53 5 2 3 4
xa x b x c d xx x
    
LG
Để cỏc căn thức trờn cú nghĩa thỡ:
a) 2 1 2 1 303 5 3 5 10x x x     
b) Ta cú: 2 22 0, 2x x x     xỏc định với mọi x
c) 1 01 0 2 3 02 3
xx
xx
       
hoặc 1 02 3 0
x
x
   
+ Với
11 0 332 3 0 22
xx xx x
         
+ Với
11 0 132 3 0 2
xx xx x
          
Vậy căn thức xỏc định nếu 32x  hoặc 1x  
d)
3 5 0 53 5 0 432 4 00 44
x x x xx xx
               
Dạng 4 : Rỳt gọn biểu thức
Bài 4: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
a) 4 2 3 4 2 3A     c) 29 2 ( 0)C x x x  
b) 6 2 5 6 2 5B     d) 24 16 8 ( 4)D x x x x     
LG
a) Cỏch 1 :    2 23 1 3 1 3 1 3 1 2 3A         
Cỏch 2 :
2 4 2 3 4 2 3 2 (4 2 3).(4 2 3) 8 2 16 12 8 2.2 12
2 3
A
A
            
 
b)    2 25 1 5 1 5 1 5 1 2 5B         
c)  23 2 3 2 3 2 5 ( 0)C x x x x x x x vi x         
d) 2 24 16 8 4 (4 ) 4 4 4 4 2( 4) ( i 4)D x x x x x x x x x x v x                   
Dạng 5 : Tỡm Min, Max
Bài 5 : Tỡm Min
2
2) 2 5 ) 14 6
x xa y x x b y     
LG
a) Ta cú : 2 2 22 5 ( 1) 4 4 2 5 4 2x x x x x          
vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
b) Ta cú :
22 21 35 35 35 351 14 6 2 6 36 36 4 6 36 6
x x x x xy              
vậy Miny = 356 . Dấu ô = ằ xảy ra khi và chỉ khi
1 1 102 6 2 6 3
x x x     
**************************************************
Ngày dạy: ..
VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUễNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH sao cho ta cú:
' ', , , , ,AH h BC a AB c AC b BH c CH b      khi đú:
2 ' 2 '
2 ' '
2 2 2
2 2 2
1) . ; .
2) . 3) . .
1 1 14)
5) ( ago)
b a b c a c
h b c b c a h
h b c
a b c Pit
 
 
 
  b'c'
h
b
a
c
H CB
A
B./ Bài tập ỏp dụng
Bài 1 : Tỡm x, y trong cỏc hỡnh vẽ sau:
a)
yx
6
4
H CB
A
+ ta cú:
2 2
2 2
( )
4 6 52 7,21
BC AB AC Pitago
BC
 
    
+ Áp dụng định lý 1 :
2 2
2 2
. 4 52. 2,22
. 6 52. 4,99
AB BC BH x x
AC BC CH y y
    
    
Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99
b) - Xột tam giỏc ABC vuụng tại A. ỏp dụng định lý 1
ta cú :
18
12
yx
H CB
A 2 2. 12 18. 8
18 8 10
AC BC CH y y
x BC y
    
     
c)
9
H CB
A
yx
4
* Cỏch 1 :
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho cỏc tam giỏc vuụng AHB; AHC ta
cú:
2 2 2 2
2 2 2 2
4 6 52
6 9 117
x BH AH
y CH AH
    
    
* Cỏch 2: Áp dụng định lý 1 ta cú:
2 . ( ). (4 9).4 52
52 52
AB BC BH BH CH BH
AB x
     
   
2 . ( ). (4 9).9 117
117 117
AC BC CH BH CH CH
AC y
     
   
d)
73
x
y
A
B CH
Áp dụng định lý 2, ta cú:
2 2. 3.7 21 21AH BH CH x x     
Áp dụng định lý 1. ta cú :
2
2
2 2
. ( ).
(3 7).7 70 70
( 21 49 70)
AC BC CH BH CH CH
y y
y x CH
  
     
    
e)
17
13 x
y
A
B CH
Theo Pitago, ta cú :
2 2 2 213 17 458BC AB AC y     
Áp dụng định lý 3, ta cú :
. .
22113.17 458. 10,33458
AB AC BC AH
x x

    
g)
5
H CB
A
y
x4
Áp dụng định lý 2, ta cú :
2
2 2 5. 5 4. 6,254AH BH CH x x     
Theo Pitago cho tam giỏc AHC vuụng tại H, ta cú :
2 2 2 2
2
5 6,25 8
( 1: . (4 6,25).6, 25 8)
y AH CH
DL y BC x y
    
    
Bài 2 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, cú cỏc cạnh gúc vuụng AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ đường
vuụng gúc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tớnh AD và CD?
LG
20
15
D
x
y
A
B C
à 0, 90 ,BCD C CA BD   . Theo định lý 3, ta cú :
2 2 80. 20 15. 3CA AB AD AD AD    
Theo Pitago trong tgiỏc ACD vuụng tại A, ta cú :
2
2 2 280 100203 3CD AD CA
       
Bài 3: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuụng gúc với đường
chộo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tớnh độ dài EA, EC, ED, FB, FD.
LG
Xột tam giỏc ADC vuụng tại D, ta cú: 2 2 2 232 60 68AC AD CD    
Theo định lý 1:
2 2
2 32 256. 68 17
ADAD AC AE AE AC    
60
32
F
E
D
A B
C
Theo định lý 1, ta cú:
2 2
2 60 900. 68 17
CDCD AC CE CE AC    
Theo định lý 2, ta cú:
480. ... 17DE AE EC  
Xột tam giỏc DAF, theo định lý 1:
2
2 544. ... 15
ADAD DF DE DF DE    
Theo Pitago: 2 2 256 256 644.... 6015 15 15AF DF AD FB AB AF         
Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F. Kẻ
đường thẳng qua D vuụng gúc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giỏc DEG cõn.
b) Tổng 2 2
1 1
DE DF khụng đổi khi E chuyển động trờn AB.
LG
3
21
G
F
E
D C
BA
a) Ta cú: ả ả1 3D D (cựng phụ với ả2D )
xột àADE v CDG  ta cú :
   1 3
0
( )
. .
90
AD DC gt
D D cmt ADE CDG g c g
A C
           
DE DG DEG    cõn tại D
b) vỡ DE = DG 2 2
1 1
DE DG 
ta cú : 2 2 2 2
1 1 1 1
DE DF DG DF  
xột tam giỏc DGF vuụng tại D, ta cú :
2 2 2
1 1 1
CD DG DF  (định lý 4)
Vỡ 2
1
CD khụng đổi khi E chuyển động trờn AB, suy ra
tổng 2 2 2 2
1 1 1 1
DE DF DG DF   khụng đổi khi E thay
đổi trờn AB.
*******************************************************
Ngày day: ..
CÁC PHẫP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
1. Khai phương một tớch. Nhõn cỏc căn bậc hai.
a) Định lý : ; 0, ú: a.b= a. ba b ta c
b) Quy tắc khai phương một tớch : Muốn khai phương một tớch cỏc số khụng õm, ta cú thể khai phương
từng thừa số rồi nhõn cỏc kết quả với nhau ( ; 0, ú: a.b= a. ba b ta c )
c) Quy tắc nhõn cỏc căn bậc hai : Muốn nhõn cỏc CBH của cỏc số khụng õm, ta cú thể nhõn cỏc số dưới
dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đú ( ; 0: a. b= a.ba b  )
d) Chỳ ý :
- Với A > 0 ta cú :  2 2A A A 
- Nếu A, B là cỏc biểu thức : ; 0 ú: . .A B ta c A B A B 
- Mở rộng : . . . . ( , , 0)A BC A B C A B C 
2. Khai phương một thương. Chia cỏc căn bậc hai
a) Định lý : a a0, 0 ú: = .b ba b ta c 
b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương ab , trong đú số a khụng õm và số b
dương, ta cú thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai
( a a0, 0 ú: = .b ba b ta c  )
c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a khụng õm cho số b dương, ta cú thể chia số a cho số
b rồi khai phương kết quả đú ( a a0, 0 : = bba b  )
d) Chỳ ý : Nếu A, B là biểu thức : A A0, 0 : = BBA B 
B./ Bài tập ỏp dụng :
Dạng 1 : Tớnh
Bài 1 : Thực hiện phộp tớnh:
2 2 224 1 49 81 1 7 9 1 7 9 1 63) 1 .5 .0,01 . . . . . .25 16 25 16 100 5 4 10 5 4 10 200a
                  
2) 2, 25.1,46 2,25.0,02 2,25(1,46 0,02) 2,25.1,44 (1,5.1,2) 1,5.1,2 1,8b       
2
2
25 169 (5.13) 5.13 13) 2,5.16,9 .10 10 10 10 2c    
2 2
2
) 117,5 26,5 1440 (117,5 26,5).(117,5 26,5) 1440 144.91 144.10
144(91 10) 144.81 (12.9) 108
d        
    
Dạng 2 : Rỳt gọn cỏc biểu thức
Bài 2 : Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức:
1 9 64 4 441) 0,1 0,9 6,4 0,4 44,1 10 10 10 10 10
1 3 8 2 2 35 35 10 7 10
10 210 10 10 10 10 10
a A          
       
   2 3 7 2 3 76 14 2) 22 3 28 2 3 2 7 2( 3 7)b B       
     
  
3 5 4 3 3 5 4 33 5 3 5) 4 3 4 3 4 3 4 3
12 3 3 4 5 15 12 3 3 4 5 15 24 2 15
16 3 13
c C
          
        
Bài 3 : Rỳt gọn cỏc biểu thức:
a)      29 5 5 3 5 3 5x x x x     
b)        22. 2 0 . 2 2 2x x x x x x x x x        
c)  3 3 2108 1080 9 3 31212
x xx x x xxx     
d)  4 6 4 66 6 26 613 13 1 1 1 10; 0 208 16 4 4 4208
x y x yx y x y x x x xx y
      
Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh cỏc biểu thức sau:
) 6 35. 6 35 1
(6 35).(6 35) 36 35 1
a
VT VP
  
      
) 9 17 . 9 17 8
(9 17).(9 17) 81 17 64 8
b
VT VP
  
       
 2
2
) 2 1 9 8
2 2 2 1 3 2 2
3 2 .2 3 2 2
c
VT VT VP
VP
  
          
 2
2
2
) 4 3 49 48
4 2 12 3 7 2 2 .3 7 4 3
7 4 .3 7 4 3
d
VT VT VP
VP
  
            
   2) 2 2 2 3 3 1 2 2 6 6 9
4 2 6 6 1 4 2 8 6 6 9
e
VT VP
    
       
       
 
2 2
) 8 2 15 8 2 15 2 3
5 2. 5. 3 3 5 2. 5. 3 3 5 3 5 3
5 3 5 3 5 3 5 3 2 3
g
VT
VP
    
         
          
Dạng 4 : Giải phương trỡnh
Bài 5 : Giải cỏc phương trỡnh sau:
 
   
) 2 2 5 8 7 18 28 1 : 0
28 784 3921 2 2 5.2. 2 7.3. 2 28 13 2 28 2 213 169 169
a x x x dk x
x x x x x x x tm
   
           
 
 
 
1) 4 20 5 9 45 4 23
12 4( 5) 5 9( 5) 4 : 5 0 53
12 5 5 .3 5 4 2 5 4 5 2 5 4 93
b x x x
x x x dk x x
x x x x x x x tm
     
          
                 
3 2) 3 (3)1
xc x
  đk :
2
3 2 0 3 21 0 13 2 0 31 3 2 0 2 1
31 0
1
xx
x x xx
x x xxx
x
                             
Ta cú 3 2 11(3) 9 ... 6 111 6
x x xx
         thỏa món
5 4) 22
xd x
  (4) đk :
45 4 0 452 0 52
x x xx x
          
(4)  5 4 2 2 5 4 4 2 ..... 12x x x x x           thỏa món
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b khụng õm. Chứng minh rằng 2
a b ab  . Dấu đẳng
thức xảy ra khi nào?
LG
* Cỏch 1 :
+ vỡ 0; 0 ;a b a b   xỏc định.
+ ta cú :  2 0 2 0 2 2a ba b a ab b a b ab ab          
+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cỏch 2 : ta cú
 
 
2 2 2 2 2 2 2
2
0 2 0 2 2 4
4 2 2
a b a ab b a b ab a ab b ab
a ba b ab a b ab ab
            
       
*******************************************************
Ngày dạy: ..
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa : Cho 0 0(0 90 )ABC      ta định nghĩa cỏc tỉ số giữa cỏc cạnh AB, BC, CA của tam
giỏc ABC vuụng tại A như sau:
sin ; cos
; cot
AC AB
BC BC
AC ABtg gAB AC
 
 
 
 


B
C
A
* Nhận xột : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giỏc của 1 gúc nhọn luụn dương
+ 0 < sin, cos < 1 + 1cot ; .cot 1g tg gtg   
2. Tỉ số lượng giỏc của 2 gúc phụ nhau.
- Định lý : nếu 2 gúc phụ nhau thỡ sin gúc này bằng cosin gúc kia, tg gúc này bằng cotg gúc kia. Tức: nếu
090   thỡ ta cú : sin cos ; cos sincot ; cottg g g tg
   
   
   
3. Bảng cỏc tỉ số lượng giỏc của cỏc gúc đặc biệt:

Tỉ số lượng giỏc
300 450 600
Sin 1
2
2
2
3
2
Cos 3
2
2
2
1
2
tg 1
3
1 3
Cotg 3 1 1
3
* Nhận xột :
- Dựa vào bảng trờn ta thấy:
với 1 2 1 20 01 2 1 2
1 2 1 2
sin sin ;0 ; 90 à cos cos ; cot cot
tg tgv g g
          
       
.
Tức là :
+ gúc lớn hơn thỡ cú sin lớn hơn, nhưng lại cú cosin nhỏ hơn.
+ gúc lớn hơn thỡ cú tg lớn hơn, nhưng lại cú cotg nhỏ hơn.
Hay ta cú thể phỏt biểu : 0 00 90  thỡ :
+ sin và tg đồng biến với gúc  .
+ cosin và cotg nghịch biến với gúc  .
4. Cỏc hệ thức cơ bản:
   
    2 2
sin1 ; 3 .cot 1;cos
cos2 ; 4 sin cos 1sin
tg tg g
cotg
 
  
B. Bài tập ỏp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tớnh cos, tg và cotg?
+ ta cú: 2 2 2 2sin cos 1 cos 1 sin 1 0,6 0,8          
+ sin 0,6 3 cos 0,8 4;cos 0,8 4 sin 0,6 3tg cotg
        
Bài 2:
Huyền
Đối
Kề
1. Chứng minh rằng:
2 2 4 4 2
2 2
1 1) 1 ; ) 1 ; ) cos sin 2cos 1cos sina tg b cotg c           
2. Áp dụng: tớnh sin, cos, cotg, biết tg = 2
LG
1. a) ta cú:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
sin sin sin1 1cos cos cos
sin cos 11 cos cos
tg tg tg
tg
      
   
      
   
b)
2 2 2
2
2 2 2
cos cos sin 1cot 1 1sin sin sinVT g VP
     
      
c)    
 
4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
cos sin cos sin . cos sin cos sin
cos 1 cos cos 1 cos 2cos 1
VT
VP
       
    
      
        
2. Ta cú:
  2 221 1 12 ờ 2 1 cos cos ;cos 5 5tg n n a         
12 ;2tg cotg    
  2 22 21 1 1 5 4 2 51 sin sin2 sin sin 4 5 5b  
            
Bài 3: Biết tg = 4/3. Tớnh sin, cos, cotg?
LG
+ ta cú: tg = 4/3 nờn cotg = ắ
+ mà 2 22
1 9 31 cos cos ;cos 25 5tg        
+ mặt khỏc:
2
2 2 2 3 4sin cos 1 sin 1 s 1 5 5co   
          
Bài 4: Dựng gúc  trong cỏc trường hợp sau:
1 2) sin ; ) cos ; ) 3; ) cot 42 3a b c tg d g      
LG
a)* Cỏch dựng
- dựng gúc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trờn Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung trũn tõm B, bỏn kớnh bằng 2, cung này cắt
Ox tại A.
- nối A với B BAO   cần dựng
* Chứng minh:
- ta cú: 1sin sin 2
OBBAO AB     đpcm
B

2
1
AO
y
x
b)* Cỏch dựng
- dựng gúc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trờn Ox lấy điểm A sao cho OA = 2.
- vẽ cung trũn tõm A, bỏn kớnh bằng 3, cung này cắt
Oy tại B.
- nối A với B BAO   cần dựng
* Chứng minh:
- ta cú: 2cos cos 3
OABAO AB     đpcm
3
B

2 AO
y
x
c) * Cỏch dựng:
- dựng gúc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị.
- trờn Ox lấy điểm A sao cho OA = 3
- trờn Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
OBA   cần dựng.
* Chứng minh: - thật vậy, ta cú:
3 31
OAtg tg OBA OB      đpcm
3
B

1
AO
y
x
d) * Cỏch dựng
- dựng gúc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trờn Ox lấy điểm A sao cho OA = 4
- trờn Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
OAB   cần dựng
* Chứng minh: - thật vậy, ta cú:
4 41
OAcotg cotg OAB OB      đpcm
4
B

1
AO
y
x
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cú AB = 5; BC = 12; AC = 13
a) CMR tam giỏc ABC vuụng.
b) Tỡm tỉ số lượng giỏc của gúc A và gúc C.
LG
a) Ta cú: 2 2 2 2 2 2 2 2 212 5 169 13AB BC AC AB BC AC        
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giỏc ABC vuụng tại B.
b)
- vỡ 090 ;A C A C     là 2 gúc phụ nhau
- do đú:
12 5sin cos ; cos sin13 13
12 5cot ; cot5 12
A C A C
tgA gC gA tgC
   
   
5
13
12B
C
A
*********************************************************
Ngày dạy: .
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cơ bản
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
2 ( 0; 0)
( 0; 0)
A B A BA B A B
A B A B
      
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
2
2
0; 0 :
0; 0 :
A B A B A B
A B A B A B
   
    
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : .. 0; 0 : A A BA B B B B  
4. Trục căn thức ở mẫu:
a) 0 : A A BB BB 
b)  2 20; : C A BCA A B A BA B    
c)  , 0; : C A BCA B A B A BA B    
* Chỳ ý:
- Cỏc căn bậc hai đồng dạng là cỏc căn bậc hai cú cựng biểu thức dưới dấu căn.
- Biểu thức liờn hợp: 2 biểu thức chứa căn thức được gọi là liờn hợp với nhau nếu tớch của chỳng khụng
chứa căn thức.
- Quy tắc trục căn thức ở mẫu: muốn trục căn thức ở mẫu của 1 biểu thức ta nhõn tử và mẫu của biểu thức
đú với biểu thức liờn hợp của mẫu.
B. Bài tập ỏp dụng
Dạng 1: Đưa nhõn tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 1: Đưa nhõn tử ra ngoài dấu căn:
 
 
 
2
4
22 2
) 125 0
5 .5 5 5
) 80
4 .5 4 5
a x x
x x x x
b y
y y

 
 
 
   
 
   
2
2
2
) 5 1 2
1 2 . 5 2 1 5 1 2 0
) 27 2 5
2 5 . 3.3 5 2 .3. 3 2 5 0
c
d

     

     
 
 
   
   2 2 10 3 2 10 32 2 2) 2 10 310 910 33 10 10 3 . 10 33 10e
        
     
25 1 3 5 3 15 1 3
) 1 3 04 2 2g
    
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sỏnh:
a) 3 5 à 5 3v
ta cú:
2
2
3 5 3 .5 45 75 45 75 45 5 3 3 5
5 3 5 .3 75
do
         
b) 4 3 à 3 5v
ta cú:
2
2
4 3 4 .3 48 48 45 48 45 4 3 3 5
3 5 3 .5 45
do
         
c) 7 2 à 72v
ta cú: 27 2 7 .2 98 98 72 98 72 7 2 72do      
d) 5 7 à 4 8v
ta cú:
2
2
5 7 5 .7 175 175 128 175 128 5 7 4 8
4 8 4 .8 128
do
         
Bài 3: Đưa nhõn tử vào trong dấu căn và rỳt gọn:
   
     
   
 
   
 
   
2
2
2
2) 2 22
2 2 2 2 2 02
) 5 0 525
5 5 5 05 . 5 5
aa a aa
a a a a aa
xb x xx
x x x x xx x x
 
      
  
        
   
   
   
 
   
2 2
2 2
2 2
3) 0
3 3 3 0.
ac a b a bb a
a a b a b a a b a a bb a b a b a b a
  
            
Dạng 2: Thực hiện phộp tớnh và rỳt gọn biểu thức
Bài 4: Thực hiện phộp tớnh:
) 125 4 45 3 20 80 ... 5 5 12 5 6 5 4 5 5 5
27 48 2 75 3 4 2 5 7) 2 ... 2. 3 3 . 3 ... 34 9 5 16 2 3 5 4 6
9 49 25 3 1 1 5 1 7 1 7 2) 2 ... 2. . 7. . ... .8 2 18 2 3 3 62 2 2 2
a
b
c
         
       
         
   
   
2 2
2 2
1 1) 5 20 3 12 15 4 27 5 4 5.2 5 3.2 3 15. 5 4.3 3 5 4 . 5 45 5
10 5 6 3 3 5 12 3 9 13 5 18 3 3 13 5 17 3
) 7 4 3 28 10 3 2 3 5 3 2 3 5 3 7
d
e
           
         
           
Bài 5: Rỳt gọn biểu thức với giả thiết cỏc biểu thức chữ đều cú nghĩa:
 
     2
) 0; 0
.
2
x x y ya xy x yx y
x y x xy y
xy x xy y xy x xy y x yx y
   
            
    ) ; 0
a a ba ab ab a bb ab bb b a
    
     
       
.
) 0; 0
. .
.
x y y x x y
c x yxy
xy x y x y
x y x y x yxy
   
      
       
       
   2 2
) 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 2