Toán 6 - Bài 4. một số phương pháp chứng minh chia hết

 Toán 6 – Năng khiếu 
 1 
BÀI 4. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT - PHẦN III 
Phƣơng pháp 6: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC 
I. Kiến thức cần nhớ: 
1. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi 
chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m. 
 Ký hiệu: a  b (mod m) 
Vậy: a  b (mod m )  a - b  m 
2. Các tính chất: 
 Nếu a  b (mod m) và c  d (mod m)  a+c  b+d (mod m) và a-c  b-d (mod 
m) 
 Nếu a  b (mod m)  a+c  b+c (mod m) 
 Nếu a  b (mod m) và c  d ((mod m)  ac  bd (mod m) 
 Nếu a  b (mod m)  ac  bc (mod m) 
 Nếu a  b (mod m)  an  bn (mod m) 
II. Cỏc vớ dụ: 
Ví dụ 1: CMR: A= 21995 - 1  31 
Giải 
Ta có 2
1995
 = ( 2
5
)
399
Vì 2
5
 = 32 = 31.1 + 1 
 25 1 (mod 31) 
 ( 25)399  1399 (mod 31) 
 21995  1 (mod 31) 21995 - 1  31 
Ví dụ 2 : CMR: 22002 - 4  31 
Ta có 2002 = 5.400 + 2  22002 = (25)400 .22 
Vỡ 25 ≡ 1 (mod 31) 
 (25)400 ≡ 1400 (mod 31) 
 (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31) 
 22002 ≡ 4 (mod 31) 
 22002 - 4 chia hết cho 31 
Ví dụ 3 : CMR 3105 +4105  13 
3
105
= (3
3
)
35
 4
105
= (4
3
)
35 
3
3
 = 27 ≡ 1 (mod 13)  (33)35≡ 1 (mod 13) 
4
3
 =64 ≡ -1 (mod 13)  (43)35≡ (-1)35 ≡- 1 (mod 13) 
 (33)35 + (43)35 ≡ 1+ (-1) (mod 13) 
 Toán 6 – Năng khiếu 
 2 
 (33)35 + (43)35 ≡ 0 (mod 13) 
 3105 +4105  13 
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng B = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 
Giải 
Ta có B = 7.5
2n
 + 12.6
n 
= 7.25
n
 + 12.6
n
Vỡ 25 ≡ 6 (mod 19) 
 25n ≡ 6n (mod 19) 
 7.25n ≡ 7.6n (mod 19) 
 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n (mod 19) 
 B ≡ 19.6n (mod 19) ≡ 0 (mod 19) . 
 Điều này chứng tỏ B chia hết cho 19. 
7. Phƣơng pháp 7: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐI-RÍCH-LÊ 
 Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên. 
 Nếu đem nk + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ k+1 con thỏ trở lên 
Ví dụ 1: CMR: Trong 7 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 6 
Phân tích 
 Khi chia một số bất kỳ cho 6 thì số dư chỉ có thể làm một trong 6 số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 
 Coi 7 số là 7 ‘con thỏ’ được nhốt vào ‘6 lồng’ : 
Lồng 1: các số chia 6 dư 0 
Lồng 2: các số chia 6 dư 1 
Lồng 6: các số chia 6 dư 5 
 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-LÊ sẽ có ít nhất 1 lồng có 2 thỏ trở lên, tức là có ít nhất hai 
số có cùng số dư khi chia cho 6 nên hiệu của 2 số này chia hết cho 6 
Giải 
 Khi chia một số bất kỳ cho 6 thì số dư chỉ có thể làm một trong 6 số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 
 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-Lấ trong 7 số tự nhiên có ít nhất 2 số có cùng số dư khi 
chia cho 6 nên hiệu của 2 số này chia hết cho 6 
Nhận xét : Trong n+1 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho n 
Ví dụ 2: Cho 3 số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8 
Phân tích 
 Khi chia một số lẻ bất kỳ cho 8 thì số dư chỉ có thể làm một trong 4 số: 1; 3; 5; 7 
 Coi 3 số là 3 ‘con thỏ’ được nhốt vào ‘2 lồng’ : 
Lồng 1: các số chia 8 dư 1 hoặc 7 
Lồng 2: các số chia 8 dư 3 hoặc 5 
 Toán 6 – Năng khiếu 
 3 
 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-Lấ sẽ có ít nhất 1 lồng có 2 thỏ trở lên, tức là tồn tại 2 số 
thuộc cùng một lồng. 
o Nếu hai số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8 
o Nếu hai số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8 
Giải 
 Khi chia một số lẻ bất kỳ cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số: 1; 3; 5; 7 
 Chia 3 số vào 2 nhóm 
Nhóm 1: các số chia 8 dư 1 hoặc 7 
Nhóm 2: các số chia 8 dư 3 hoặc 5 
 Theo nguyên lý ĐI-RÍCH-LÊ sẽ có ít nhất 1 nhóm có từ 2 số trở lên 
o Nếu hai số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 8 
o Nếu hai số dư khác nhau thì tổng của chúng chia hết cho 8 
Bài tập về nhà 
Bài 1: Chứng minh rằng 
a) 32003 - 9  13 . 
b) 3012
93 
 - 1  13 
c) 2
70
 + 3
70
  13 
Bài 2: Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2  31 với mọi n là số tự nhiên 
Bài 3: CMR: Trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ số tận cùng giống 
nhau 
Bài 4: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết 
cho 12 
Bài 5: CMR: Trong 5 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 3 số có tổng số chia hết cho 3 
Hướng dẫn - Đáp số 
Bài 1: 
a) Ta có 2003 = 3.667 + 2  32003 = (33)667. 32 
 3
3
 ≡ 1 (mod 13) 
 (33)667 ≡ 1667(mod 13) 
 (33)667. 32 ≡ 1.32 (mod 13) 
 (33)667. 32 ≡ 9 (mod 13) 
 32003 ≡ 9 (mod 13). 
 32003 - 9 = 0 (mod 13). 
 Toán 6 – Năng khiếu 
 4 
Vậy 3200 – 9  13 . 
b) 3012 ≡ 9 (mod 13) 
 30123 ≡ 93≡ 1 (mod 13) 
 (30123) 31 ≡ 131 (mod 13) 
 301293 - 1  13 
c) Ta có 270 =16 .(26)11 ; 370 = 3.( 33)23 (1) 
2
6= 64≡ -1 (mod 13)  (26)11 ≡ -1 (mod 13) 
 16 (26)11 ≡ -16 (mod 13) ≡ - 3 (mod 13) (2) 
3
3
= 27 ≡ 1 (mod 13)  (32)23 ≡ 1 (mod 13) 
3. (32)23 ≡ 3 (mod 13) (3) 
Từ (1) , (2) và (3) suy ra 270 + 370 = 16 (26)11 + 3. (32)23 ≡ 0 (mod 13) 
Bài 2 Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2  31 với mọi n là số tự nhiên 
6
2n + 1 
+ 5
n + 2
 = 6. 36
n
 + 25.5
n
Ta có: 36  5 (mod 31)  36n  5n (mod 31) 
  6. 36n  6.5n (mod 31) 
 6. 36n + 25.5n  6.5n + 25.5n (mod 31) 
 6. 36n + 25.5n  31.5n0 (mod 31) 
 Vậy 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31. 
Bài 3: lấy 11 số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 10 thì được 11 số dư nhận 1 trong 10 số: 0; 1; 2; ...; 
9. Theo nguyên lý Đ phải có 2 số có cùng số dư, nên hiệu của 2 số đó chia hết cho 10. Khi đó hai 
số đó có chữ số tận cùng giống nhau. 
Bài 4: một số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1; 5; 7; 11. 
Chia thành 2 nhóm: nhóm dư 1 hoặc dư 11; nhóm dư 5 hoặc dư 7. phần tiếp theo giải tương tự ví 
dụ 2 
Bài 5: Lấy 5 số tự nhiên chia cho 3 được các số dư 0; 1; 2 
 Nếu 5 số này khi chia cho 3 có đủ 3 số dư 0; 1; 2. Giả sử a1 = 3k1; a2 = 3k2+1; a3=3k3+1; 
thì a1 + a2 + a3 chia hết cho 3 
 Nếu 5 số này khi chia cho 3 chỉ có 2 loại số dư thì theo nguyên lý Đ có ít nhất 3 số có 
cùng số dư khi đó tổng của 3 số này chia hết cho 3. 
 Nếu 5 số này khi chia cho 3 chỉ có chung một số dư thì tổng của ba số bất kỳ trong 
chúng chia hết cho 3. 
Vậy trong 5 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 3 số có tổng số chia hết cho 3