Toán 6 - Bài 3. một số phương pháp chứng minh chia hết

 Toán 6 – Năng khiếu 
 1 
BÀI 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT - PHẦN II 
4. Phƣơng pháp 4: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG 
Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi 
hạng tử đều chia hết cho k. 
Ví dụ 1 Cho 2 20042 2 ..... 2A    . Chứng minh rằng: 
 a) 6A b) 7A c) 30A 
Giải 
Ta có 
2 20042 2 ..... 2A     2 
và 
2 3 4 2003 2004 3 2003(2 2 ) (2 2 ) ..... (2 2 ) 2(1 2) 2 (1 2) ... 2 (1 2)             A  3 
Mà (2;3) = 1 nên A 2.3 tức là 6A 
Ví dụ 2: CMR: Với  n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A = 20n + 16n - 3n - 1  323 
Giải 
Ta thấy 323 = 17.19 mà (17;19) = 1 (1) 
Biến đổi : A = (20n - 3n) + (16n – 1n) 
20
n
 - 3
n
  (20-3) = 17 
16
n
 – 1n  (16 + 1) 17 (do n chẵn) 
 A  17 (2) 
Mặt khác : A = (20n - 1) + (16n - 3n) 
20
n
 - 1  (20 - 1) = 19 
16
n
 - 3
n (16 + 3)= 19 (do n chẵn) 
 A  19 (3) 
Từ (1), (2) và (3)  A  323 
Ví dụ 3: CMR: n3 + 11n  6 với  n  N*. 
Giải 
Ta có: n
3
 + 11n = n
3
 - n + 12n = n(n
2
 - 1) + 12n = n(n + 1)(n - 1) + 12n 
Vì n – 1; n ; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp 
 n(n + 1) (n - 1)  6 và 12n  6 
Vậy n3 + 11n  6 
Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên n sao cho: 
a) 18n + 3  7 
 Toán 6 – Năng khiếu 
 2 
b) 3n + 7  n +1 
Giải 
a) 18n + 3  7  14n + 4n + 7 – 4  7 
 4n – 4  7 
 4(n – 1)  7 
Mà (4,7) =1 nên n – 1  7 
Vậy n = 7k +1 (kN) 
b) 3n+ 7  n + 1  3 (n + 1) + 4  n + 1 
 4  n + 1 
 n + 1  {1; 2; 4} 
  n  {0; 1; 3} 
5. Phƣơng pháp 5: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC 
Giả sử chứng minh A(n)  p 
(1)
 với n  a 
 Bước 1: Ta chứng minh (1) đúng với n = a tức là chứng minh A(a)  p 
 Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là chứng minh A(k)  p với k  a 
 Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh A(k+1)  p 
 Bước 3: Kết luận A(n)  p với n  a 
Ví dụ : Chứng minh A(n) = 16
n
 - 15n - 1  225 (1) với  n  N* 
A(n) = 16
n
 - 15n - 1  225 (1) với  n  N* 
Giải 
 Với n = 1  A(n) = 0  225 vậy n = 1 thì (1) đúng 
 Giả sử (1) đúng với n = k  1 nghĩa là A(k) = 16
k
 - 15k - 1  225 
 Ta phải CM (1) đúng với n = k+1 tức là A(k+1) = 16
 k+1
 - 15(k + 1) - 1  225 
Thật vậy: A(k+1) = 16
 k+1
 - 15(k + 1) - 1 
 = 16.16
k
 - 15k – 15.1 – 1 
=16.16
k
 - 15k – 16 
 = (16
k
 - 15k - 1) + 15.16
k
 - 15 
 = (16
k
 - 15k - 1 ) + 15.(16
k
 – 1) 
 = A(k) + 15.(16
k
 – 1) 
Ta có A(k)  225 (giả thiết quy nạp) 
 Toán 6 – Năng khiếu 
 3 
 và 16
k
 – 1 = 16k – 1k  (16 – 1) = 15 nên 15.(16k – 1)  15.15=225  A(k+1)  225 
Vậy A(n) = 16
n
 - 15n - 1  225 (1) với  n  N* 
Bài tập về nhà 
Bài 1: CMR: 
a) 
2 1003 3 ... 3   A  120 
b) B = 62n + 19n - 2n+1 17 với n  N 
c) C = 3n + 63  72 với n chẵn n  N, n  2 
d) D= 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1  59 với n  N 
Bài 2: Tỡm số tự nhiờn n để : 
a) 7n  n + 3 
b) 4n – 5  13 
Bài 3: Chứng minh rằng: 
a) A(n) = 5
n
 + 2.3
n-1
 +1  8. với n  . 
b) B(n) =3
3n+3
 - 26n - 27  169 với n  * 
c) C(n) = 4
n
 + 15n – 1  9 với n  * 
Hướng dẫn - Đáp số 
Bài 1: 
a) A = (3 + 3
2
 + 3
3
 + 3
4
) + ....+ (3
97
 + 3
98
 + 3
99
 + 3
100
) 
= 3(1+ 3 + 3
2
 + 3
3
 ) + ....+ 3
97
 (1+ 3 + 3
2
 + 3
3
 ) 
= 3.40 + .... + 3
97
 40 3.40 = 120 
b) B = (6
2n 
- 2
n 
)+ (19
n 
 - 2
n
) = (36
n 
- 2
n 
)+ (19
n 
 - 2
n
)  17 
c) Có 72 = 9.8 và n = 2k (k  N) 
 C =3n + 63 = 32k + 63 = 9k + 63  9 
 C =3n + 63 = (32k – 1) + 64 = (9k - 1k) + 64  8 
 (8, 9) = 1 
 C  8.9  C  72 
d) 5
n+2
 + 26.5
n
 + 8
 2n+1
 = 5
n
(25 + 26) + 8
 2n+1
= 5
n
(59 - 8) + 8.64
 n
 = 5
n
.59 - 5
n
 .8 + 8.64
 n
=5
n
.59 + 8 (64
n
 - 5
n
)  59 
 Toán 6 – Năng khiếu 
 4 
Bài 2: a) n  {0; 4; 17} 
b) n = 13k -2 (kN*) 
Bài 3 : a) 
 Xét n = 1  A1 = 5
1
 + 2 .3
1-1
 + 1 = 8  8 
 Giả sử An  8 với mọi n = k nghĩa là Ak = 5
 k 
+ 2 . 3
 k-1 
 + 1  8 
 Ta sẽ chứng minh An  8 với mọi n = k + 1 
 Thật vậy: 
 A k + 1 = 5
 k+1
 + 2 . 3
k
 + 1 
 = 5. 5
k
 + 6 . 3
 k – 1 
+ 1 
 = 5
k
 + 2. 3
 k – 1 
 + 1 +4. 5
 k
 + 4. 3
 k – 1
 =5
k
 + 2. 3
 k – 1 
 + 1 + 4( 5
k 
+ 3 
k – 1
 ) 
Vì 5
k
 + 2. 3
 k – 1 
 + 1  8 
Mặt khác: 5k + 3 k – 1 là số chẵn 5k + 3 k – 1  2 
  4( 5k + 3 k – 1 )  8 
  A k+ 1  8  đpcm. 
b) B(k+1) =(3
k+3
 – 26k – 27) + 26(27k+1 –1) 169 với n  * 
c) C(k+1) = 4(4
k
 + 15k – 1 ) - 45k + 18  9