Toán 12 - Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng

VẤN ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Kiến thức cần nhớ:
Phương trình mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó là một vectơ pháp tuyến của nó.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có dạng : 
 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 .
Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận và làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :
 .
Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: 
Kiến thức không được quên:
Kiến thức không được quên
- Trục Ox có VTCP là .
- Trục Oy có VTCP là .
- Trục Oz có VTCP là .
- Mp (Oxy) có VTPT: .
- Mp (Oxz) có VTPT: .
- Mp (Oyz) có VTPT: 
Pt mp(Oxy) là: z=0
Pt mp(Oxz) là: y=0
Pt mp(Oyz) là: x=0
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kính mặt cầu (S)
Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kính mặt cầu (S)
A
B
C
4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :
Mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ O 
và cắt Ox tại , cắt Oy tại 
cắt Oz tại có phương trình là : 
.
5. Các dạng chính tắc :
Mặt phẳng 
Phương trình
VTPT
1
Qua gốc tọa độ
Ax + By + Cz = 0 (D = 0)
2
Song song Ox hay vuông góc (Oyz)
By + Cz + D = 0
3
Qua (chứa) Ox
By + Cz = 0
4
Song song Oy hay vuông góc (Oxz)
Ax + Cz + D = 0
5
Qua (chứa) Oy
Ax + Cz = 0
6
Song song Oz hay vuông góc (Oxy)
Ax + By + D = 0
7
Qua (chứa) Oz
Ax + By = 0
8
Vuông góc Oz hay song song (Oxy)
Cz + D = 0
9
Trùng (Oxy)
z = 0
10
Vuông góc Ox hay song song (Oyz)
Ax + D = 0
11
Trùng (Oyz)
x = 0
12
Vuông góc Oy hay song song (Oxz)
By + D = 0
13
Trùng (Oxz)
y = 0
d
5. Chùm mặt phẳng :
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai 
mặt phẳngvàđược gọi là một chùm mặt phẳng.
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
	 và .
Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương trình dạng : 
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
M
P)
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm và song song hoặc chứa giá của hai vectơ .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là 
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp(P): .
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp: 
Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: 
Ax+By+Cz+m=0, với .
Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và 
pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
P)
Q)
M
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với 
mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng 
(Q): 2x-y-10=0.
Bài 3: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0.
Bài 4: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua M.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
M
P)
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng 
d: .
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng 
d: , biết A(1;2;3), B(3;2;1).
Bài 7: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d: .
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua A.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Pt(P): 
C
B
A
Bài 8: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 9: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 10: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 11: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1).
Bài 13: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 14: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) .Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B .
Bài 15: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A .
B
P)
Q)
A
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0.
Bài 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0.
Bài 18: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0.
Dạng 6: 
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Bài 19: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d: . 
Bài 20: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.
Bài 21: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau 
d: .
Bài 22: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: .
Bài 23: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: .
Bài 24: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: .
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp: 
Chọn điểm M thuộc đt d.
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Bài 25: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d: .
Bài 26: Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d: .
Bài 27: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
Bài 28: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
Bài 29: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp: 
Gọi I là trung điểm AB
Mặt phẳng (P) qua điểm I.
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
P)
A
I
B
Bài 30: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 31: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 
Bài 32: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm M.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp: 
Xác định tâm I của mc(S).
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .
Ptmp(P): 
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và tiếp xúc mặt cầu (S).
r = d(I,(P))
I
P)
Phương pháp: 
Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.
Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
 Vì mp(P) có VTPT .
Do mp(P) tiếp xúc mc(S) 
Chú ý: .
Dạng 2.1: Viết phương trình mặt phẳng(P ) tiếp xúc với mặt cầu và song song với mặt phăng (Q ):Ax+By+Cz+D= 0
Vì (P)//(Q)=>(P) và (Q) có cùng véc tơ pháp tuyến
Áp dụng dạng 2 =>pt(P) 
Dạng 2.2: Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với 2 đường thẳng d và d’.
Vì (P)// d1,d2 => Mp(P) có VTPT: .
Áp dụng dạng 2 =>pt(P) 
Dạng 2.3:Viết phương trình (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d
Vì (P) vuông góc với d=>Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Áp dụng dạng 2 =>pt (P)