Toán 12 - Ôn tập kiểm tra hàm số

ÔN TẬP KIỂM TRA
PHẦN 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM BẬC BA:
y=ax3+bx2+cx+d (a≠0).
Hàm y đồng biến trên R⇔y'≥0,∀x∈R.
Hàm y nghịch biến trên R⇔y'≤0,∀x∈R.
Nếu dấu của đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu của tam thức bậc 2 thì bài toán sẽ đưa về bài toán tìm điều kiện để tam thức bậc 2 luôn âm hoặc luôn dương với mọi . Ta sử dụng CT:
SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM NHẤT BIẾN: y=ax+bcx+d ad-bc≠0
Hàm y đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔y'>0,∀x∈R\{-dc}.
(ĐẠO HÀM KHÔNG CÓ DẤU =).
Hàm y nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔y'<0,∀x∈R\{-dc}
(ĐẠO HÀM KHÔNG CÓ DẤU =).
Bài 1. Tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên TXĐ.
Tập xác định D=R.
Tính đạo hàm 
Hàm số nghịch biến trên R⇔y'≤0,∀x∈R⇔≤0,∀x∈R (1)
Trường hợp 1 : .
 Với thay vào (1) : (không thỏa với mọi x∈R). Loại .
 Với thay vào (1) : (luôn thỏa với mọi x∈R). Vậy nhận .
Trường hợp 2 : .
1⇔3m2-3m-4<0∆'=m-42+6m2-3m-4≤0m2-3m-4<07m2-26m-8≤0⇔-1<m<4-27≤m≤4⇔-27≤m<4
Kết luận : kết hợp 2 trường hợp ta có -27≤m≤4.
Bài 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ. Đáp số: m≥1
Giải: Hàm số đồng biến trên 
. Ta xét 2 trường hợp:
TH1: thay vào (1): (đúng với ) nên nhận .
TH2: 
.
Kết hợp 2 trường hợp ta có : 
Bài 3. Tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Tập xác định .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .
Vậy .
Bài 4. Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. 
Đáp số : 
Bài 5. Cho hàm số . Tìm m để hàm số :
Nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Nghịch biến trên 
Bài 6. Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng . Đáp số: m≤-3
Bài 7. Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng . ĐS: m≥117
PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại 
Cách 1: Dùng vẽ bảng biến thiên
Bước 1: Hàm số y đạt cực trị(cực đại hoặc cực tiểu) , giải tìm tham số m.
Bước 2: Thay m mới tìm được vào và vẽ bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Dùng . (Thường dùng khi gặp hàm lượng giác, mũ, loga, vô tỷ)
Bước 1: Hàm số y đạt cực trị(cực đại hoặc cực tiểu) , giải tìm tham số m.
Bước 2: Thay m mới tìm được vào . Tính giá trị . Nếu thì kết luận hàm số đạt cực tiểu tại . Nếu thì kết luận hàm số đạt cực đại tại .
Bài 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại . Khi đó, hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ?
Giải: 
Hàm số đạt cực trị tại 
Thay vào ta được , vẽ bảng biến thiên
 1 
 + 0 +
Suy ra hàm số không đạt cực trị tại . Vậy loại m=1
Thay vào ta được , vẽ bảng biến thiên
 1 3 
 + 0 - 0 +
Suy ra hàm số đạt cực đại tại . Vậy nhận m=2.
Bài 2. Tìm tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại . 
Gợi ý: Bài 2 này ta không dùng đạo hàm y’ được, cần phải dùng đạo hàm cấp 2 y”
Tính đạo hàm 
Hàm số đạt cực tiểu tại 
Với m = 1 thì suy ra hàm số đạt cực tiểu tại nên nhận m =1.
Với m = 7 thì suy ra hàm số đạt cực đại tại nên ta loại m = 7.
Bài toán 2: Cực trị hàm bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d (a≠0).
Hàm bậc ba có 2 điểm cực trị có 2 nghiệm phân biệt .
Hàm bậc ba không có điểm cực trị vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Bài 3. Tìm tham số m để hàm số có 2 điểm cực trị sao cho .
Giải: Tính đạo hàm y'=3m+1x2+2mx-3(1-m)
Hàm số có 2 điểm cực trị ⇔y'=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔a=3m+1≠0∆'=m2+91+m1-m>0
⇔m≠-19-8m2>0⇔m≠-1-324<m<324.
Các điểm cực trị x1,x2 là nghiệm của phương trình y'=0. Theo định lí Viet ta có:
x1+x2=-ba=-2m3m+1; x1.x2=ca=m-1m+1
Theo giả thiết: (nhận)
Bài 4. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị thỏa .
Giải: 
Hàm số có 2 điểm cực trị có 2 nghiệm phân biệt 
(luôn đúng với mọi m).
Suy ra hàm số luôn có 2 điểm cực trị với mọi m.
 là 2 nghiệm của phương trình (*):
 thay vào (1) . Thay vào (2), ta được
.
Bài 5. Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
Nằm về bên phải trục Oy.
Nằm về hai phía đường thẳng .
Giải: Tính đạo hàm . Phương trình có 2 nghiệm 
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔y'=0 có 2 nghiệm phân biệt 
Hai điểm cực trị nằm về bên phải trục Oy ⇔ Hai nghiệm dương phân biệt
Hai điêm cực trị nằm về hai phía đường thẳng hoặc 
Trường hợp 1: (loại)
Trường hợp 2: . Vậy 
Bài 6. Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách .
Bài 7. Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ.
Đáp án:
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị pt có 2 nghiệm phân biệt 
Hai điểm cực trị 
Tam giác OAB vuông tại O(nhận).
Bài 8. (ĐH Khối B – 2014). Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị B, C sao cho tam giác ABC cân tại A(2;3).
Bài 9. Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số (C). Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tam giác MAB cân tại M.
Đáp án: Điểm M cần tìm chính là giao điểm của đường trung trực d của đoạn AB và đồ thị (C). Ta có các điểm cực trị là A(-1;0), B(1;-4). Phương trình .
Hoành độ giao điểm của M là nghiệm của phương trình 
Tọa độ điểm .
Bài 10. Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng ∆:y=-x+2 bằng 
Đáp án: 
Hàm số có 2 điểm cực trị có 2 nghiệm phân biệt .
Tọa độ 2 điểm cực trị A(0;2) và .
Nếu thì A là điểm cực tiểu. Khi đó: (loại).
Nếu thì B là điểm cực tiểu. Khi đó:
. Vậy m = 1.
Bài toán 3: Cực trị của hàm số trùng phương: 
Tập xác định .
Đạo hàm .
Xét pt 
Hàm số có 3 điểm cực trị có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 0 . Khi đó, các nghiệm của phương trình (1) là , là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Hàm số có 1 điểm cực trị chỉ có 1 nghiệm x = 0. 
Nhớ : Cực trị hàm trùng phương có 2 trường hợp: Hoặc là có 1 cực trị nào hoặc là có 3 cực trị.
Bài 11. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho .
Giải
Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 .
 là 3 nghiệm của phương trình nên . Khi đó:
(nhận)
Bài 12. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại bằng 2.
Giải
Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 0 .
 là 3 nghiệm của phương trình nên 
Tọa độ 2 điểm cực đại 
(nhận).
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. (Đề thi ĐH Khối A, A1 – 2012).
Giải
ĐỒ thị hàm số có 3 điểm cực trị có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
Khi đó: 
Ta có AB = AC nên tam giác ABC vuông /
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1. Tìm GTLN – GTNN của các hàm số sau:
a) 
Giải: Hàm số đã cho liên tục trên .
.
.
Vậy .
b) 
Giải: Hàm số có tập xác định . Hàm số lien tục trên tập xác định D.
; .
.
Vậy .
c)
Giải: Hàm số lien tục trên .
Ta nhận các nghiệm thuộc đoạn là .
Vậy .
Bài 2. Tìm GTLN – GTNN của các hàm số sau:
. GTNN là 0(tại x=-1), không có GTLN
 . Đáp số: GTLN là 4, GTNN là 0.
. GTLN là 5(tại x=1), GTNN là 4(tại x=2).
. GTLN là , GTNN là 0
. GTLN là , GTNN là 2.
. GTLN là (tại ), GTNN là (tại )
Bài 3. Tìm GTLN – GTNN của các hàm số sau:
	2) 
Bài 4. Tìm m > 0 để hàm số có giá trị lớn nhất là .
Bài 5. Cho bất phương trình: . Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm 
CÁC EM ĐÓN XEM BÀI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP VÀO CÁC KÌ THI VÀ KIỂM TRA
Mọi thông tin về bài hướng dẫn, xin vui lòng liên lạc về địa chỉ
Email: xunha85@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/nhan.dinh.566
LỚP TOÁN 12 VÀ LTĐH T1
Tối 2,4,6 từ 17g50 đến 19g20
Học tại đường Thành Thái
LỚP TOÁN 12 VÀ LTĐH T2
Tối 2,4,6 từ 19g30 đến 21g00
Học tại đường Thành Thái
LỚP TOÁN 10T1
Tối 3,5 từ 18g00 đến 19g15
Học tại P14 trường
Trần Khai Nguyên
LỚP TOÁN 10T2
Chiều 7,CN từ 15g30 đến 17g30
Học tại đường Thành Thái
ĐĂNG KÍ HỌC QUA Số điện thoại: 098 4321 969 – Thầy Xuân Nhân (XuNha)