Toán 12 - Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ 1.
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 
 * Tính ; tính (hệ số góc của tiếp tuyến) 
 * Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình 
 với 
Bài 1: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
Tại điểm A (-1; 7).
Tại điểm có hoành độ x = 2.
Tại điểm có tung độ y =5.
Bài 2: Cho đồ thị (C) của hàm số . 
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Bài 3: Cho hàm số (C)
 a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2.
 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): tại các giao điểm của (C) với đường thẳng (d): .
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số (C) khi biết trước hệ số góc của nó 
+ Gọi là tiếp điểm, giải phương trình , 
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: 
Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp: 
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b.
Bài 5: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3.
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Bài 7: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng .
Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): .
Bài 9: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ.
Bài 10: Cho hàm số y = có đồ thị (C).
 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm (tham khảo)
	Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm .
Cách giải
	+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: , (với x0 là hoành độ tiếp điểm).
	+ Tiếp tuyến qua nên 
 + Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.
Bài 11: Cho đồ thị (C): , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
1.4. Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao.
Bài 12: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
Bài 13: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
Bài 14: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài 15: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: , biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Bài 16: Cho (C) là đồ thị hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân tại gốc tọa độ O.
Bài 17: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2).
Bài 18: Cho hàm số tìm điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 
Cho hàm số , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Cho hàm số . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 
Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số . Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 3).
Cho hàm số: y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(-6,5) 
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ điểm 
2. Chủ đề 2: Cực trị của hàm số.
2.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: 
QUY TẮC I
QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính . Xác định các điểm tới hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính . Giải phương trình và kí hiệu () là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính và . Kết luận
2.1.2. Sự tồn tại cực trị
 	a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0:
 hoặc 
 b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0:
 hoặc 
 c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0:
 hoặc 
 d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):
 y’= 0 có hai nghiệm phân biệt 
 e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 2.1.3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: 
Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
Biễu diễn điều kiện của bài toán qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ đó đưa ra điều kiện của tham số. 
2.2. Ví dụ và bài tập
Tìm m để hàm số: đạt cực tiểu tại x = -2.
Cho hàm số: , với m là tham số thực.Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
Cho hàm số , m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị
Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn 
Cho hàm số (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O
Cho hàm số (1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
Cho hàm số (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích)
Cho hàm số (1), với là tham số thực. Xác định để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng .
Cho hàm số .Tìm để hàm số có cực trị.
Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực đại tại.
Tìm để hàm số có hai điểm cực trị và sao cho: 
Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có cực đại tại xCĐ cực tiểu tại sao cho xCĐ, là độ dài các cạnh góc vuông tại một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng .
Xác định để hàm số đạt cực trị tại sao cho .
Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Cho hàm số (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho .
Cho hàm số Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn 
 x1 + 2x2 = 1.
Tìm để hàm số có 3 điểm cực trị.
Tìm m để đồ thị hàm số y = -x4 +2(m+2)x2 –2m –3 chỉ có cực đại, không có cực tiểu.
Tìm để (C): có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
Cho hàm số (1), m là tham số.
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
	b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Cho hàm số có đồ thị . (là tham số thực)
Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị nằm trên các trục tọa độ.
Cho hàm số , m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 1
Cho hàm số có đồ thị 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	 b) Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
Cho hàm số , m là tham số thực.
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi .
	b) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 32.
Cho hàm số 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1.
	b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
3. Chủ đề 3: Bài toán tương giao
3.1. Kiến thức cơ bản
3.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
	f(x, m) = g(x,m) (1).
F Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
3.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1)
Chú ý: 
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng: y – y0 = k(x – x0).
+ Khai thác tọa độ giao điểm (của (C) và d, ta cần chú ý:là nghiệm của (1);M thuộc d nên 
+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
F Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.
3.2. Ví dụ và bài tập
Bài 1 : Cho hàm số 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Bài 2 : Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3 : Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 4 : Cho hàm số .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Bài 5 : Cho hàm số Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
Bài 6 : Cho hàm số (1). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ).
Bài 7 : Cho hàm số và đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 	
Bài 8 : Cho hàm số và đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Cho hàm số: có đồ thị ( ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ). 
b)Xác định m để đường thẳng (d): cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (với O là gốc tọa độ).
Cho hàm số: y = 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ). 
	b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Cho hàm số .
	a) Khảo sát hàm số 
	b) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và .
Cho hàm số có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho .
Cho hàm số có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Cho hàm số có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
 b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. 
Cho hàm số ( C )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Tìm m để (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
 Cho hàm số y = (1). Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 - 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau.
Cho hàm số y = (C) và đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị tại các điểm và sao cho tam giác nhận điểm làm trực tâm. Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận
Cho hàm số (C). Tìm số thực dương m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 trong đó O là gốc tọa độ.
4. Phép biến đổi đồ thị
4.1. Kiến thức liên quan
Đồ thị chứa dấu trị tuyệt đối
y = f(x) có đồ thị (C)
 có đồ thị (C’)
 có đồ thị (C’’)
. 
Ta cã: y = f() = 
Do đó:
+Ta phải giữ nguyên phần (C) phía trên trục Ox 
+Lấy đối xứng qua Ox với phần phía dưới trục Ox.
+Bỏ đi phần (C) nằm ở phía dưới Ox
 có , nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.
Do đó:
+) Ta phải giữ nguyờn phần (C) bên phải Oy 
+Bỏ đi phần (C) nằm ở bên trái Oy
+Lấy đối xứng qua Oy vớ́i phần đồ thị (C) ở bờn phải Oy
4.2. Ví dụ và bài tập :
Bài 1 : Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối A- 2006)
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = ½2x3 – 9x2 + 12x – 4½ 
b) y = 2½x½3 – 9x2 + 12½x½ – 4
Bài 2 : Cho hàm số có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
	2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 3 : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 – 3x2 + 2
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 5 : a) Vẽ đồ thị hàm số (C)
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
5.1 Kiến thức liên quan:
a. trên khoảng (a; b) :
*Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên (a;b))
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn của hàm số trên thuộc khoảng (a; b)
* Lập bảng biến thiên
* Dựa vào bảng biến thiên kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
b. trên khoảng [a; b] :
* Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên [a;b])
* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn xi của hàm số trên thuộc khoảng (a; b)
* Tính 
* , 
* KL
5.2 Ví dụ và bài tập: 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x4 – 2x3 + x2 trên đoạn [-1;1]
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;3]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1; 3].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0 ; 2].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2]
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 1].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-3;3].
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-2 ;0]
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-4;0].
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-4;4].
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0;3].
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x > 0 
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng ( 0 ; +∞ ).
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-2;-1].
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (1 ; +∞ ).
Tìm GTLN, GTNN của hàm số (x > 5 )
Tìm GTLN, GTNN của hàm số: trên đoạn [-1;-1/2].
Tìm GTLN, GTNN của hàm số: trên đoạn 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-1;1].
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = (x – 6) trên đoạn [0 ; 3].
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x +
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2 sinx + sin2x trên đoạn .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2sin2x + 2sinx – 1 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : .
6. Khảo sát hàm bậc ba và bài tập liên quan:
Bµi 1: Cho hµm sè: (C)
Kh¶o s¸t hµm sè.
T×m giao ®iÓm cña (C) víi ®­êng th¼ng d: y = - 4
Bµi 2: Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C).
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua ®iÓm A(3; 0)
Bµi 3: Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng (d)
Bµi 4: Cho hµm sè y = x3 - (m + 2)x + m
T×m m ®Ó hµm sè cã cù ®¹i t­¬ng øng víi x = 1
Kh¶o s¸t hµm sè t­¬ng øng víi m = 1(C)
BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña (C) víi ®­êng th¼ng y = k
Bµi 5 : Cho hµm sè y = x3 - 3x + 1 (C)
Kh¶o s¸t hµm sè (C)
Bai 6: Cho hµm sè y = x3 - 6x2 + 9 (C)
Kh¶o s¸t hµm sè
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ nghiÖm ph­¬ng tr×nh y’’=0
Dùa vµo (C) ®Ó biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x3 - 6x2 + 9 - m.
Bµi 8 : Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng d: 
7. Khảo sát hàm trùng phương và bài tập liên quan:
Bµi 1 : Cho hµm sè y = x4 - 2x2 - 3 (C)
a) Kh¶o s¸t hµm sè.
b) Dùa vµo (C), t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh x4 - 2x2 + m = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 2: Kh¶o s¸t hµm sè: y = - x4 + 4x2 - 5
Bµi 3: Cho hµm sè: y = x4 + mx2 - m - 5 (Cm)
Kh¶o s¸t hµm sè víi m = 1 (C)
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc hoµnh.
T×m m ®Ó (Cm) cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu.
Bµi 4: Cho hµm sè: (Cm)
Kh¶o s¸t hµm sè víi m = 3.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm .
Bµi 5: Kh¶o s¸t c¸c hµm sè sau:
8. Khảo sát hàm trùng phương và bài tập liên quan:
Bµi 1: Cho hµm sè: 
Kh¶o s¸t hµm sè.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1.
Bµi 2: Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t hµm sè
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i c¸c giao ®iÓm cña (C) víi c¸c trôc to¹ ®é.
Bµi 3: Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t hµm sè
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trôc to¹ ®é
Bµi 4: 
Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t hµm sè.
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) tai ®iÓm A(0; 1)
Bµi 5: Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t hµm sè
Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng dm: y = 2x + m (m lµ tham sè) lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ
T×m to¹ ®é cña M thuéc ®å thÞ (C) sao cho ®iÓm M c¸ch ®Òu c¸c trôc to¹ ®é
Bµi 6: Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t hµm sè
T×m m ®Ó ®­êng th¼ng dm: y = mx + m + 3 (m lµ tham sè) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
Bµi 7: Kh¶o s¸t c¸c hµm sè
a) b)