Toán 12 - Bài tập phương trình mặt phẳng nâng cao

BÀI TẬP PT MP NÂNG CAO
Bài 1: Một mặt phẳng qua M (4;9;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C .Tìm giá trị
nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC .	
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng song song với ( P) : x - 3y + 2z + 12 = 0 và cắt các trục
Ox,Oy,Oz lần lượt tại M , N , P sao cho VOMNP = 48 .	
Bài 3: Một mặt phẳng qua N (2;1;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho tam
giác ABC đều. Tính diện tích của tam giác đó.	
Bài 4: Một mặt phẳng qua P (-1; 2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho tam
giác ABC có OB = 2OA = 2OC . Trọng tâm của tam giác ABC là?	
Bài 5: Một mặt phẳng qua M (2;3;5) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho tam
giác ABC có OA,OB,OC theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 3. Khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng đó bằng?	
Bài 6: Viết pt mp (P) qua A(1;2;1); B(-2;1;3) sao cho khoảng cách từ C(2;-1;1) và D(0;3;1) tới (P) bằng nhau.	
Bài 7: Viết pt mặt phẳng chứa trục Ox và tạo với ( P) :2x + y - 2z + 3 = 0 góc 600 . 	
Bài 8: Một mp qua A(1;0;0) và B(2;0;0) và tạo mp (P) : x +2y +2z - 7 = 0 một góc sao cho 
cos = . Tính khoảng cách từ M(1;1;1) đến mp đó. 	
Bài 9: Viết pt mp định trên 3 trục toạ độ thành tam giác ABC nhận H(1;-2;3) làm trực tâm.	
Bài 10: Viết pt mp () chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài 11: Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) vs b, c > 0 và mp(P): y - z + 1 = 0. Viết pt mp (ABC) biết (ABC) (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 
Bài 12: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x - 4y - 4z = 0 và điểm A(4;4;0). Viết pt mp(OAB) biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. (O là gốc toạ độ).
HếtLời giải:
Bài 1: (ABC): . Vì M(4;9;1)(ABC) nên 3 (BĐT Cô-si)
A
B
C
O
1 27.abc27.36 mà VOABC = abc 27.36 = 162. Vậy minVOABC = 162
Lưu ý: Tứ diện OABC vuông tại O (OAOBOCOA)
Thể tích V = SOAB .OC = .OA.OB.OC = OA.OB.OC
Vì vậy, tứ diện vuông đỉnh O có OA=a; OB=b; OC=c thì thể tích của nó là V =abc 
Bài 2: (P') // vs (P) nên (P'): x - 3y + 2z + d = 0. (d 12 vì nếu d=12 thì (P') (P), hì hì).
Mp (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(-12;0;0); B(0;4;0); C(0;0;-6). Mp (P') cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại M(m;0;0), N(0;n;0), P(0;0;p).
A
B
C
O
M
N
 P
 Vì (P')//(P) nên n = - m; p = - m
 Vậy M(m;0;0); N(0; - ;0); P(0;0;) 
VOMNP = 48 = OM.ON.OP = |m3| = 6.6.48 =1728 m = 12. Chọn m = -12. 
Vậy (P'): x - 3y + 2z -12 = 0.
Cách 2: (P'): x - 3y + 2z + d = 0. (d 12 ). (P') cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại M(-d;0;0), N(0;;0), P(0;0;).. Theo giả thiết ta có |d..| = 48 d = 12. Chọn d = -12.
A
B
C
O
a
b
c
Bài 3: Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Tam giác ABC đều AB2 = BC2 = CA2 
a2 + b2 = b2 + c2 = c2 + a2 (Pitago) a = b = c. Pt mp (ABC) theo đoạn chắn
là . Mp(ABC) qua N(2;1;3) nên a = 6 
 cạnh tam giác đều bằng 6 và do đó diện tích của nó bằng 18
Lưu ý: Diện tích tam giác đều cạnh bằng c là 
Bài 4: Gọi A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c). (a,b,c > 0, tia Ox khác trục Ox) Vì OB = 2OA = 2OC nên b = 2a; c = a. 
Pt mp(ABC) theo đoạn chắn là: . Mp qua P(-1;2;3) nên a = 3. Vậy A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;3) G(1;2;1)
Bài 5: Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Theo gt thì b = 3a; c = 3b = 9a. Ta có pt: . Mp qua M(2;3;5) nên a = ; b = ; c = 32 pt mp là: 9x+3y+z-32 = 0
Do đó d(O, (P)) = 
Bài 6: Pt mp có dạng Ax + By + Cz + D = 0. Từ gt ta có hệ: 
Pt đầuA+2B+C = -D; Pt giữa-2A+B+3C = -D vậy A+2B+C =-2A+B+3C3A + B -2C = 0 (1)
PT cuối 2A-B+C+D = 3B+C+D hoặc 2A-B+C+D = - (3B+C+D)
	2A - 4B = 0 hoặc 2A + 2B +2C + 2D = 0 A -2B = 0 hoặc A+B+C+D = 0
* Với A - 2B = 0 A = 2B, thay vào (1): 7B - 2C = 0. Chọn B = 2; C = 7 và do đó A = 4 ; D = -15
Vậy (P): 4x + 2y + 7z -15=0
* A+B+C+D = 0 A+B+C = - D; so sánh vs pt đầu, suy ra A+B+C = A+2B+C B = 0
So sánh vs pt giữa, suy ra A+B+C = -2A+B+3C 3A - 2C = 0. Chọn A=2; C=3 và do đó D=-5
Vậy (P): 2x + 3z - 5 = 0.
Trả lời: có 2 mp tìm được là : 4x + 2y + 7z -15 = 0 và 2x + 3z - 5 = 0.
Lưu ý: Ở lời giải trên vì A, B, C xác định sai khác một thừa số khác 0 nên từ 7B - 2C = 0. ta được quyền chọn B = 2; C = 7 ; hoặc từ 3A - 2C = 0. ta chọn A=2; C=3.
Cách 2: Gọi M là trung điểm CD, thế thì có 2 trường hợp:
+ (P) là mp qua 3 điểm A, B, M ta được 1 kết quả.
+ (P) là mp qua A, B và // vs CD, ta được 1 kết quả nữa.
Bài 7: MP () chứa trục Ox nên pt có dạng by + cz = 0. (b, c không đồng thời bằng 0).
 VTPT của (P) là =(2;1;-2); 
VTPT của () là =(0;b;c). Vì góc giữa () và (P) bằng hoặc bù vs góc giữa và nên :
Ta có cos600 = (b-2c)2 = (b2 + c2) 4(b2 - 4bc + 4c2) = 9(b2 + c2)
5b2 +16bc - 7c2 = 0 5+ 16 - 7 = 0 = 
Từ đó chọn b = ; c = 5. Có 2 mp tìm được là : y + 5z = 0.
Lưu ý: Ở lời giải trên thì c 0 vì nếu c = 0 kéo theo b = 0 (do pt 5b2 +16bc - 7c2 = 0) trái giả thiết là b, c không đồng thời bằng 0.
Tương tự, b và c xác định sai khác một thừa số khác 0 nên ta được quyền chọn b và c như trên.
Bài 8: Vì A và B nằm trên Ox nên () chứa trục Ox, suy ra pt () có dạng by + cz = 0.
Ta có = (2b+2c)2 = (b2 + c2) 2b2 - 5bc + 2c2 = 0 
2- 5 + 2 = 0 = 2 hoặc = . Từ đó chọn b=2; c =1 hoặc b=1; c=2. 
Ta được 2 mp là y + 2z = 0 hoặc 2y + z = 0. Từ đó d(M, (P)) = .
A
B
C
O
H
K
Lưu ý: Nếu b, c không xác định sai khác một thừa số khác 0 thì từ = , ta không thể ghi kết quả là b = 1; c = 2 được, vì b = 2; c = 4 hay b = 3; c = 6; .... đều được.
Bài 9: Theo tính chất của tứ diện vuông thì OH (ABC). 
Mp (ABC) qua H(1;-2;3) và nhận (1;-2;3) làm VTPT,
 pt là : x - 2y + 3z - 14 = 0
Lưu ý: Tứ diện OABC vuông tại O (OAOBOCOA), Nếu H là trực tâm tam giác ABC thì OH mp(ABC). Thật vậy, ta có AB CK (do H là trực tâm) (1)
và AB OC (do OC (OAB)AB) (2) 
(1) và (2) AB mp(OCK) OH AB OH
Tương tự BC OH. Vậy OH mp(ABC).
Bài 10: 
Từ (S) tâm I(1;-2;-1), R=3. Ta có: = (1;0;0); = (1;-2;-1)
Bán kính đường tròn giao tuyến bằng bán kính mặt cầu nên mp() phải qua tâm I. 
Mp() qua O, I và chứa Ox nên () nhận = [,] = (0;-1;2) làm VTPT pt () là : y - 2z = 0.
Bài 11: (ABC) (P) ta được pt = 0
d(O,(ABC)) = ta được pt = 8. Từ đó b = c = 
Bài 12 : (S) có tâm I(2;2;2), bkính R= 2. Nhận xét O và A cùng thuộc (S). OA = 4.
Tam giác OAB đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp r = = 
d(I,(P)) = = 
(P) qua O nên pt có dạng : ax+by+cz=0 (a,b,c không đồng thời bằng 0)
(P) qua A nên 4a+4b = 0 suy ra b = - a
d(I,(P)) = = . Giải ra a = c. Từ đó tìm được 2 mp là x-y+z=0 và x-y-z=0
Hết
Good luck to my pupils !