Toán 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
***************
DẠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A.CƠNG THỨC NGHIỆM CẦN NHỚ
 Cơng thức nghiệm 
 Các trường hợp đặc biệt 
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và )
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
 Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
 1) 	 2) 	 3) 
4) 	5) 2sin(3x-)- 	 6) cos 7) 	8) 
9) 	10) 
11) 	 12) 
Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước
 b) , với 
c) sin(2x - 10o) = víi -120o < x < 90o d) cos(2x + 1) = víi - p < x < p	
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)	sinx = – 	2)	sinx = 	3)	sin(x – 600) = 	
4)	sin2x = – 1	5)	cos(3x – ) = – 	6)	cos(x – 2) = 
7)	8)	cos(2x + 500) = 	9)	tan2x = tan	
10)	tan(3x – 300) = – 	11)	12)	
13)	14)	sin4x = 	15)	
16)	cos(3x – 450) = 	17)	sin3x = – 	18)	sin(2x – 150) = 
19)	20)	cos(x + 3) = 	21)	sin2x = 	
22)	cos(2x + 500) = – 	23)	2cosx – = 0	24)	tan3x – 3 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)	cos2x . cot = 0	2)	
3)	(1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0	4)	(cotx + 1) . sin3x = 0	
5)	sin2x . cotx = 0	6)	tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0
7)	(2cos2x – 1)(2sin2x –) = 0	8)	 (3tanx + )(2sinx – 1) = 0
9)	tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0	10)	(2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0
11)	(sinx + 1)(2cos2x – ) = 0	12) 	(sin2x – 1)(cosx + 1) = 0
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1)	sin(2x – 150) = với – 1200 < x < 900	2)	cos(2x + 10 = 	với – p < x < p 
3)	sin	với 0 < x < 2p	4)	tan	với 0 < x < p
5)	sinx = – 	với – p < x < 0	6)	cos(x – 2) = 	với x Ỵ [0 ; p]
7)	tan(x – 100) = 1 	với – 150 < x < 150	8)	sin= 1 	với x Ỵ [p ; 2p]
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1)	cos3x – sin2x = 0	2)	tanx tan2x = – 1
3)	sin3x + sin5x = 0	4)	cot2x cot3x = 1
5)	sinx – cos(x + 600) = 0 	6)	cos(x – 100) + sinx = 0
7)	8)	
9)	sin3x = cos2x	10)	cosx = – sin2x
11)	sin2x + cos3x = 0	12)	tan(3x + 2) + cot2x = 0
13)	tanx . tan3x = 1	14)	cot2x.cot(x + 450) = 1
15)	 = 0	16)	 = 0
17)	tan3x + tanx = 0	18)	tan3x + tan(2x – 450) = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1)	sin2x = 	2)	4cos2x – 3 = 0 	3)	sin23x – cos2x = 0	
4)	sin2(x – 450) = cos2x 	5)	8cos3x – 1 = 0	6)	tan2(x + 1) = 3
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a0.
Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì )
 + Giải phương trình at2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
 + Giải phương trình f(x) = t.
BẢNG TĨM TẮT CÁCH GIẢI
Dạng phương trình
Phương pháp giải
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : (1)
Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
 Chú ý : Nếu thì điều kiện 
B.BÀI TẬP CƠ BẢN:
Bài 1: Giải các phương trình sau
1) 	 	 2) 	 3)	
4) 	5) 	 6) 
7) 	 8) 
9) 	 10) 	
Bài 2: Giải các phương trình sau
d) e) 
f) g) h) 
Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước
 , 
C. BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)	2cos2x – 2( + 1)cosx + + 2 = 0	2)	2cos2x + 4sinx + 1 = 0	
3)	cos2x + 9cosx + 5 = 0	4)	sin2x – 2cos2x + = 0	
5)	cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1	6)	cot4x – 4cot2x + 3 = 0
7)	cos2(x + ) + 4cos() = 	8)	tan2x – + 5 = 0
9)	 – 1 + tanx – (tanx + 1) = 0	10)	cos4x – 3 + 2 = 0 
11)	2cos2x + cosx – 2 = 0	12) 	2cos2x – 3cosx + 1 = 0
13)	6sin2x – 5sinx – 4 = 0	14)	
15)	16)	
17)	18)	cos2x + sinx + 1 = 0	
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)	tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0	2) 	4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 3
3)	tan3x – 1 + + 2cot = 3	4)	2sin2x = 1 + sin3x
5)	1 + sin3x = sinx + cos2x	6)	tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 6
7)	8) 	
D. VÍ DỤ NÂNG CAO
Ví dụ 1) Giải phương trình :	(1)
 Ví dụ 2) Giải phương trình : 	(2)
Ví dụ 3) Giải phương trình : 	(3)
Ví dụ 4) Giải phương trình : 	(4)
Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng của phương trình :
 	(5)
E. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
1) Giải phương trình :
2) Giải phương trình : 
3) Giải phương trình : 
4) Giải phương trình : 
5 Tìm các nghiệm trên khoảng của phương trình :
6) Cho phương trình : .
Giải phương trình khi m = 3/2.
Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng .
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b 0
 + Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2 c2.
Dạng phương trình
Phương pháp giải
Chú ý:
-Phương trình cĩ nghiệm 
-Trong trường hợp phương trình cho dưới dạng: , với cách đặt như bên, phương trình được đưa về dạng
Vậy tùy theo dạng của phương trình, khi áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa về các phương trình cơ bản khác nhau.
-Ngồi ra ta cịn cĩ thể đặt .
 Chia hai vế của phương trình cho thì pt
 (2)
Đặt với thì :
 Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x.
B.BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
 3. cos3x + sin3x = ;
4). 4sinx – 3cosx = 5; 5) 3sin2x + 2cos2x = 3; 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
 1) 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 
C. BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)	sinx – cosx = 	2)	cosx + sinx = – 	
3)	sin4x + cos4x = 	4)	2sinx – 9cosx = 	
5)	cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1 	6)	2cosx – 3sinx + 2 = 0
7)	cosx + 4sinx + 1 = 0	8)	sin2x + 3cos2x = 4
9)	2sinx – 2 cosx = 	10)	sinx – cos2x = 1
11)	cosx –sinx = 	12)	3sin3x – 4cosx = 5
13)	5cos2x + 12sin2x – 13 = 0	14)	3sinx + cosx = 1
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)	2sin22x + sin4x = – 3 	2) 	cosx +sinx = 2 cos
3)	2sin + sin = 	4)	3cosx + 4sinx = = 6
5)	3sin3x – cos9x = 1 + 4sin33x	6)	5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –13 
7)	2cos + 3cos= 	8) 	sin2x + sin2x = 
9)	2sin2x + sin2x = 3	10)	3cos2x – sin2x – sin2x = 0
11)	4sinxcosx = sin4x + 3cos2x	12)	2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)
13	2sin17x + cos5x + sin5x = 0	14) 	cosx – sinx = 2cos3x 
15)	sin9x + cos7x = sin7x + cos9x	16)	sin5x + cos5x = cos13x
17)	8sin2 – 3sinx – 4 = 0 	18)	
19)	20) 	 3cosx – 4sinx = = 3
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
1)	y = 2sinx + cosx + 1	2) 	y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3
3)	y = sin2x + cos2x – 2 	4)	y = 
D. CÁC VÍ DỤ NÂNG CAO
Ví dụ 1: Giải phương trình : (1)
 Ví dụ 2: Giải phương trình : (2) 
 Ví dụ 3: Giải phương trình : (3) 
 Ví dụ 4: Giải phương trình : (4)
 Ví dụ 5: Giải phương trình : (5)
 Ví dụ 6: Giải phương trình : (6)
 Ví dụ 7: Giải phương trình : 4 (7)
 Ví dụ 8: Giải phương trình : (8)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : 
 1) Giải phương trình : 
 2) Giải phương trình : 
 3) Giải phương trình : 
 4) Giải phương trình : 
 5) Giải phương trình : 
 6) Giải phương trình : 
 7) Giải phương trình : 
 8) Giải phương trình : 
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC N ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
 1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)
Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng cung)
 (1) 
 .
Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
 Xét hai trường hợp :
 + Nếu x =có là nghiệm phương trình hay không.
 + Nếu x , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
 atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
 (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.
Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - sin2x = 1 + sin2x	(1)
Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx + cos2x = 4	(2)
Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 	(3)
Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.	(4)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Giải phương trình : 3sin2x - 5sinxcosx – 6cos2x = 0
Giải phương trình : sin2x + 
Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0
Giải các phương trình sau:
1)	2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0	2) 	3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2
3)	sin2x + sin2x – 2cos2x = ½	4)	2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4 
5)	sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0	6)	cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0
7)	cos2x – sin2x – sin2x = 1	8) 	2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0
9)	3sin2x – 2sinxcosx + cos2x – 1 = 0	10)	4sin2x – 3sin2x – 2cos2x = 4
11)	3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2	12)	3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1
13	cos2x – sin2x – sin2x = 1	14) 	sin2x + 2cos2x – 1 = 0
15)	2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0	16)	3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + 
17)	sin3x + cos3x = sinx + cosx	18)	sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0
19)	sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 0	20) 	cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x = 0
PHẦN THAM THẢO
Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:
Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
 + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx cĩ bậc k cĩ thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx cĩ bậc k + 2n nhờ đẳng thức : .
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. (bậc 3).
Hoặc sinx = sinx. (bậc 5).
 + Chú ý : i) Số 0 khơng cĩ bậc. Một hằng số khác 0 cĩ bậc là 0.
 ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và cơsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x cĩ bậc 1, với cung 1x thì sin3x cĩ bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta cĩ thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và cơsin của cùng một cung như sau:
 “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT cĩ bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k”
Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
 (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và cĩ thuật tốn, 
 nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
 +Bước 1: Xét cosx = 0 cĩ nghiệm đúng PT khơng. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
 +Bước 2: -Xét cosx 0. Chia hai vế PT cho và thay .
 -Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
 -Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.
Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và cơsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng khơng định hướng được kết quả biến đổi. Địi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Khơng cĩ thuật tốn như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải cách 1: 
+ĐK: .
+(1) (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT. (vì ; vơ lý)
+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
 (t = tanx)
Giải cách 2:
(*) (**)
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tơi minh họa lại như sau:
 (**)
 . 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (2)
+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x được :	
 (với t = tanx )
Giải cách 2:
(2) 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 khơng nghiệm đúng (3)
+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
Giải cách 2:
(3) 
 Ví dụ 4 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)	
Giải cách 1:
 + cosx = 0 thì sinx = khơng nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 
 + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
Giải cách 2:
(4) 
Ví dụ 5: Giải phương trình : (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : =
 = 
Và biến đổi : 
Thì PT (5) (*)
Khi đĩ PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
 Khi đĩ PT (5.1) (5.2)
 PT (5.2) đặt ẩn phụ thì được PT bậc hai .
Trở lại với ẩn t thì các PT này vơ nghiệm.
 + Với t = 0 .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nĩ nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =. Phù hợp với mọi cách giải.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Cĩ thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng một cung như :
1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x	 (đẳng cấp bậc 3)	
2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0	(đẳng cấp bậc 3)	
3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)	
 4) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3)
 5) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 6)
 6) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3)
 7) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3) 
 8) Giải phương trình : 4 (đẳng cấp bậc 4) 
 9) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3) 
 10) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 8)
 11) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 6)
IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cơssin cùng một cung:
Phương trình chứa tổng và tích (cịn gọi là phương trình đối xứng theo sin và cơsin)
Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 
 (1) .
 Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn .
 Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = để tìm x.
Phương trình chứa hiệu và tích ( cịn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 
 (1) .
 Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn .
 Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- để tìm x.
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình (4)
Ví dụ 5: Giải phương trình (5)
Ví dụ 6: Giải phương trình (1)
HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1) 
 (1a) 
 (1b) 
 + Vậy (1) cĩ 2 họ nghiệm là 
Ví dụ 2: (2) 
 (2a) 
 (2b) : Đặt t = 
 (2b) , thay t = -2/3 vào (*):
 Sin2x = 
Ví dụ 3: (3) 
Ví dụ 4: (4) 
Ví dụ 5: (5) 
Ví dụ 6: (6) 
 (6a)
 (6b): Đặt t = sinx +cosx ( ) ; (*)
 (6b) 
 thay vào (*) thì sin2x = 0 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :
1) .
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2015
(Khơng hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)
Bài 1:Giải các phương trình sau :
a) ; b) 
c) ; d) 
e) ; g) 
Bài 2:Giải các phương trình sau :
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 3:Giải các phương trình sau :
a) ; b) 
 c) ; 
 d) 
Bài 4 : Giải các phương trình :
a) ; b) 
c) ; d) 
e) ; g) 
Bài 5 : Giải các phương trình :
 a) ; b) 
 c) ; 
d) 
 e) 
 f) 
Bài 6: a) Giải phương trình 
 b) Giải phương trình : 
 c) Giải phương trình 
**************************
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2016.
Bài 1:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2003) 	b) (KB-2003) 
 c) (KD-2003) 
Bài 2:Giải các phương trình sau :
 a) (KB-2004) 
 b)(KD-2004) 
 c) (KA-2004) Cho không tù thoả điều kiện : .
 Tính ba góc của . 
Bài 3:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2005) 
 b) (KB-2005) 
 c) (KD-2005) 
Bài 4:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2006) 
 b) (KB-2006) 
 c) (KD-2006) 
Bài 5:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2007) 
 b) (KB-2007) 
 c) (KD-2007) 
Bài 6:Giải các phương trình sau :
 a) (KA-2008) 
 b) (KB-2008) 
 c) (KD-2008) 
Bài 7:Giải các phương trình sau (từ năm 2009 - 2016):
THPT năm 2016 : Giải phương trình : 2sin2x +7sinx – 4 = 0.
ĐH - A1 – 2014 : Giải phương trình: sinx + 4cosx = 2 + sin2x.
ĐH – B – 2014 : Giải phương trình : 
ĐH-A1-2013: Giải phương trình: 
ĐH-B-2013: Giải phương trình: 
ĐH-D-2013: Giải phương trình: sin3x+cos2x-sinx=0. 
CĐ-2013: Giải phương trình: .
ĐH-A-2012: Giải phương trình: 
ĐH-B-2012: Giải phương trình: 
ĐH-D-2012: Giải phương trình: .
CĐ-2012: Giải phương trình: 
ĐH-A -2011: Giải phương trình: 
ĐH-B-2011: Giải phương trình: 
ĐH-D-2011: Giải phương trình: 
CĐ-2011: Giải phương trình: 
ĐH-A-2010: Giải phương trình: 
ĐH-B-2010: Giải phương trình: 
ĐH-D-2010: Giải phương trình: 
CĐ-2010: Giải phương trình: 
(KA-2009) Giải phương trình 
 (KB-2009) Giải phương trình 
 (KD-2009) Giải phương trình .
( CĐ – 2009 ) Giải phương trình : 
********************
 MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
 * Việc giải PTLG là vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học .Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng giác cơ bản hay các phương trình lượng giác thường gặp hoặc đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số bậc hai,bậc ba;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các yêu cầu tối thiểu sau đây :
1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng giác,các cung, góc có liên 
quan đặc biệt,giá trị lượng giác của các cung(góc) đặc biệt. 
2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc biệt.Cách giải các 
phương trình lượng giác thường gặp .
3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy điều kiện) trước khi tiến 
hành phép biến đổi và đối chiếu điều kiện khi có kết quả.
* Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất thức lượng giác thường 
rất đa dạng.Chẳng hạn :
-Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất sau:
 Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
Ví dụ : Giải phương trình :
 a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x
 b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1 
 c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x
-Nếu cần biến đổi cos4x-sin4x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một trong các đồng nhất 
sau:
 cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
*Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải toán như:
 1 sin2x = (sinx cosx)2
 Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = sin4x
*Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ;
 Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ;.Tương tự đối với các 
số hạng có chứa thừ số cosx-sinx.
*Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các hướng sau:
 +Hạ bậc phương trình(nếu có).
 +Đưa về cùng cung:
 -Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ.
 -Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì thường biến đổi về ph. 
trình tích
 (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử 
 chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai)
 -Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các hạng tử hơn,kém nhau 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia hai vế của phương trình cho coskx hoặc sinkx (k là bậc lớn nhất trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn chứa duy nhất hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành đặt ẩn phụ. 
 *Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức thường được dùng để ước lượng như: ; ; ; 
 (với )
-Đối với phương trình sinaxsinbx = (dấu lấy tương ứng)
Tương tự đối với các phương trình : cosaxcosbx = ; sinaxcosbx =
CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các gĩc đặc biệt:
x
HS
LG
0o
30 o
45 o
60 o
90 o
180 o
120o
270 o
360 o
Sinx
-
Cosx
-
Tanx
||
||
Cotx
||
||
||
Giá trị lượng giác của gĩc(cung) cĩ liên quan đặc biệt:
	Hai gĩc đối nhau:	Hai gĩc hơn kém 	Hai gĩc hơn kém nhau π
	sin(-α) = -sin α	sin(α+π)=-sin α
	cos(-α) = cosα	cos(α+π)=-cosα
tan(-α) = -tan α 	tan(α+π)= tan α
cot(-α) = -cot α	cot(α+π) = cot α
	Hai gĩc bù nhau	Hai gĩc phụ nhau
	sin(π – α) = sinα
cos(π – α) = -cosα
tan(π – α) = -tanα
cot(π – α) = -cotα
Các hệ thức cơ bản :
Cơng thức gĩc nhân đơi:
 sin2x = 2sinx.cosx
Cơng thức nhân ba: 
Cơng thức chia đơi: t = tan:
Cơng thức hạ bậc:
Hằng đẳng thức thường dùng
Cơng thức cộng :
 Cos(x+y) = cosx.cosy-sinx.siny Cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny
 Sin(x+y) =sinx.cosy+siny.cosx Sin(x-y) =sinx.cosy-siny.cosx
Cơng thức biến đổi tích thành tổng: Cơng thức biến đổi tổng thànhtích: 
Phương trình lượng giác cơ bản: 
u & v đều cĩ ẩn đối với tan & cot phải đk 
Chú ý:
Dạng 1:
Phương trình bậc I theo 1 hs lượng giác
sinx = m 
sinx = m vơ nghiệm khi |m|>1 & cĩ nghiệm khi	
Nếu m khơng nằm trong các giá trị lượng giác đặc