Toán 11 - Chuyên đề: Giới hạn

LƯ SĨ PHÁP 

 
§§ 
LSP 
GV-Trường THPT Tuy Phong 
 Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! 
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, 
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11. 
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và 
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục 
và Đào tạo quy định. 
NỘI DUNG 
1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học 
2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện 
3. Trắc nghiệm 
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm 
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý 
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập 
hoàn chỉnh hơn. 
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899 
Email: lsp02071980@gmail.com 
Chân thành cảm ơn. 
Lư Sỹ Pháp 
GV_ Trường THPT Tuy Phong 
LỜI NÓI ĐẦU 
 MỤC LỤC 
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 15 
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 16 – 33 
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 34 – 42 
ÔN TẬP CHƯƠNG IV 43 – 51 
TRẮC NGHIỆM 
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 52 – 55 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 55 – 60 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 60 – 62 
ÔN TẬP CHƯƠNG IV 62 – 69 
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 69 – 71 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 1 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
Chương IV. GIỚI HẠN 
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM 
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 

 
nn
ulim 0
→+∞
= khi và chỉ khi 
n
u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở 
đi. 

 
n nn n
v a v alim lim ( ) 0
→+∞ →+∞
= ⇔ − = 

 Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số ( )nu có giới hạn 0 
2. Giới hạn vô cực 

 
nn
ulim
→+∞
= +∞ khi và chỉ khi 
n
u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó 
trở đi. Kí hiệu: 
n n
u hay u khi nlim = +∞ → +∞ → +∞ 

 Dãy số (
n
u ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu 
n
ulim( )− = +∞ 

 Nhận xét: 
n nn n
u ulim lim ( )
→+∞ →+∞
= +∞ ⇔ − = −∞ ; 
n nn n
u ulim lim ( )
→+∞ →+∞
= −∞ ⇔ − = +∞ 
Lưu ý: Thay cho viết 
n nn n
u L ulim , lim
→+∞ →+∞
= = ±∞ , ta viết 
n n
u a ulim ,lim= = ±∞ 
3. Các giới hạn đặc biệt 
a) 
n
1
lim 0= ; 
kn
1
lim 0= ; knlim = +∞ , với k nguyên dương. 
b) nqlim 0= , nếu q 1 1 
c) c clim = ; 
k
c
n
lim 0= , lim(c un) = climun, với c là hằng số, k *∈ℕ 
d) 
n
n
q
lim 0= nếu q 1> 
4. Định lí về giới hạn hữu hạn 
Định lí 1. Nếu 
n
u Llim = và 
n
v Mlim = , thì: 

 
n n n n
u v u v L Mlim( ) lim lim+ = + = + 

 
n n n n
u v u v L Mlim( ) lim lim− = − = − 

 
n n n n
u v u v L Mlim . lim .lim .= = 

 
n
c u c Llim( . ) .= ( với c là hằng số) 

 
n
n
u L
v M
lim = (nếu M 0≠ ) 
Định lí 2. Giả sử 
n
u Llim = 

 Nếu 
n
u 0≥ với mọi n thì L 0≥ và 
n
u Llim = 

 
n
u Llim = và 
n
u L33lim = 

 Nếu 
n
ulim = +∞ thì 
n
u
1
lim 0= 
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 
a) Quy tắc 1. Nếu 
n
ulim = ±∞ và 
n
vlim = ±∞ thì ( )n nu vlim được cho trong bảng: 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 2 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
n
ulim 
n
vlim ( )n nu vlim 
+∞ 
+∞ 
−∞ 
−∞ 
+∞ 
−∞ 
+∞ 
−∞ 
+∞ 
−∞ 
−∞ 
+∞ 
b) Quy tắc 2. Nếu 
n
ulim = ±∞ và 
n
v Llim 0= ≠ thì ( )n nu vlim được cho trong bảng: 
n
ulim Dấu của L ( )n nu vlim 
+∞ 
+∞ 
−∞ 
−∞ 
+ 
− 
+ 
− 
+∞ 
−∞ 
−∞ 
+∞ 
c) Quy tắc 3. . Nếu 
n
u Llim 0= ≠ và 
n
vlim 0= và 
n
v 0> hoặc 
n
v 0< thì n
n
u
v
lim
 
  
 
 được cho trong 
bảng: 
Dấu của L Dấu của 
n
v 
n
n
u
v
lim
 
  
 
+ 
+ 
− 
− 
+ 
− 
+ 
− 
+∞ 
−∞ 
−∞ 
+∞ 
Chú ý . Nếu 
n n
u L vlim 0,lim= > = ±∞ thì n
n
u
v
lim 0= 
6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 

 Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q 1< 

 Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un) 
n
u
S u u u u q
q
1
1 2 3 ... ... ; 11
= + + + + + = <
−
 hay n
u
S u u q u q u q q
q
2 1 1
1 1 1 1... ... ; 11
−
= + + + + + = <
−
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số 
Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu n n nu v w≤ ≤ với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy 
số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 
8. Lưu ý 
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn 
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 
c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a 
d) Số e: 
n
n
e
n
1
lim 1
→+∞
 
= + 
 
9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số 
- Vận dụng nội dung định nghĩa 
- Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về 
giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực: 
+ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu 
cho nk, với k là số mũ cao nhất. 
+ Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức 
liên hợp. 
10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
- Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức 
tính tổng đã biết. 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 3 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
- Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội 
và số hạng đầu 
- Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới 
dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này. 
B. BÀI TẬP 
Bài 1.1. Biết dãy số (un) thỏa mãn n
n
u
n2
1+≤ với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 0. 
HDGiải 
Đặt 
n
n
v
n2
1+
= . Ta có 
n
n n nv
n
2
2
1 1
1
lim lim lim 0
1
+
+
= = = . Do đó, 
n
v có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy 
ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) 
Mặt khác, theo giả thiết ta có 
n n n
u v v≤ ≤ (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
n
u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là 
lim un = 0. 
Bài 1.2. Bằng định nghĩa tính giới hạn 
n
n
n
3 1 sin
lim
3
pi
+ −
HDGiải 
Ta có 
n n
n n
n n
3 1 sin sin1
lim lim 1
33 3
pi pi 
+ −   
= + −  
   
 
Mặt khác, ta lại có 
n n n
n
sin 1 1
3 3 3
pi
≤ = và 
n
n
1 1
lim lim 0
33
 
= = 
 
 nên 
n
1
3
 có thể nhỏ hơn một số dương bé 
tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
 Từ đó suy ra 
n
n
sin
3
pi
 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
Nghĩa là 
n
n
sin
lim 0
3
pi
= . Vậy 
n n
n n
n n
3 1 sin sin1
lim lim 1 1
33 3
pi pi 
+ −   
= + − =  
   
 
Bài 1.3. Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với mọi n. Chứng minh rằng nulim = +∞ 
HDGiải 
Vì n2lim = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n2 có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào 
đó trở đi. 
Mặt khác, theo giả thiết un > n
2
 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng 
nào đó trở đi. 
Vậy 
n
ulim = +∞ 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 4 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
Bài 1.4. Biết dãy số (un) thỏa mãn nu
n3
1
1− < với mọi n. Chứng minh rằng lim 1
n
u = 
HDGiải 
Ta có 
n3
1
lim 0= nên 
n3
1
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi . Mặt 
khác, ta có 
n
u
n n3 3
1 1
1− < = với mọi n 
Từ đó suy ra 
n
u 1− có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩ là lim(un 
– 1) = 0. Do đó limun = 1 
Bài 1.5. Cho dãy số (un) xác định bởi n
n
u
n
2 1
2
+
=
+
a) Tìm số n sao cho 
n
u
1
2
100
− < 
b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (1,998; 
2,001) 
HDGiải 
a) Ta có 
n
n
u
n n n
2 1 3 3
2 2
2 2 2
+ −
− = − = =
+ + +
. Khi đó 
n
u n
n
1 3 1
2 298
100 2 100
− 
+
b) Khi n n
n
3 3
2007 2 2009
2 2009
> ⇔ + > ⇔ <
+
n n n
u u u
3 3 3
2 2 2 1,998 2,001
2009 2009 2009
⇔ − < ⇔ − < < + ⇔ < < 
Bài 1.6. Tính các giới hạn sau 
a) n
n
6 1
lim
3 2
−
+
 b) n n
n
2
2
4 1
lim
3 2
− −
+
 c) n n
n
2
2
3 5
lim
2 1
+ −
+
 d) n n
n
3
3
2 2 3
lim
1 4
− +
−
HDGiải 
a) 
1 16 66 1
lim lim lim 2
23 2 2 33
n
nn n
n
n
nn
 
−  −
−  
= = =
+  
++ 
 
 b) n n n n
n
n
2 2
2
2
1 144 1
lim lim 2
33 2 2
− −
− −
= =
+
+
 c) n n
n
2
2
3 5 3
lim
22 1
+ −
=
+
 d) n n n n
n
n
3 2 3
3
3
2 322 2 3 1
lim lim
1 21 4 4
− +
− +
= = −
−
−
Bài 1.7. Tính các giới hạn sau: 
a) 
n n
n n
3 5.4
lim
4 2
+
+
 b) 
n n
n n1 1
( 2) 3
lim
( 2) 3+ +
− +
− +
 c) 
n
n n
n
1 cos
lim
3
 +
+ 
 
 d) 
n
n
( 1)
lim 3
2
 
−
+ 
 
HDGiải 
a) 
3 34 5 54 43 5.4
lim lim lim 5
4 2 12 14 1
24
n
n
n
n n
n n nn
n
     +  +   +    
= = =
 +   
+ +        
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 5 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
b) 
n n
n n1 1
( 2) 3 1
lim
3( 2) 3+ +
− +
=
− +
c) 
n n
n n n n
n n
1 cos 1 cos
lim lim lim 1
3 3
 + +
+ = + = 
 
d) 
nn
n
( 1) 1
lim 3 lim3 lim 3
22
   −
+ = + − =   
  
Bài 1.8. Tính các giới hạn 
a) n n
n
2
2
3 1
lim
1 2
+ +
−
 b) n n
n
2
3
( 1)(3 2 )
lim
1
+ −
+
 c) n n
n
29 1
lim
4 2
− +
−
 d) n n
n
24 1
lim
2 1
+ +
+
HDGiải 
a) 
n n
n n n nn n
n n
n
2 2 2
2 2
2
1 1 1 13 3
3 1
lim lim lim 0
11 2 1 2 2
+ + + +
+ +
= = =
− −
−
b) n n n n n n n n
n n
n
2 3 2 2 3
3 3
3
8 3 94( 1)(3 2 ) 4 8 3 9
lim lim lim 4
11 1 1
− − +
+ − − − +
= = =
+ +
+
c) 
n
n n n n
n n
2 2
1 13 1
9 1 39 9lim lim
4 2 4 2 4
− +
− +
= =
− −
d) n n n
n
n
2 2
14 1
4 1 3
lim lim
12 1 22
+ +
+ +
= =
+
+
Bài 1.9. Tính các giới hạn sau 
a) ( )n n n2 2lim 1+ − − b) ( )n n n2lim − − 
c) ( )n n n4 2 2lim 1+ + − d) ( )n n n2 2lim 1 2− − + 
HDGiải 
( ) ( )( )n n n n n na n n n
n n n
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
)lim 1 lim
1
+ − − + + −
+ − − =
+ + −
n
nn
n n n
n
n n
2 2
2
11
1 1
lim lim
21 1 11 1
 
+ 
+  
= = =
 + + −
+ + − 
 
 
b) ( ) ( )( )n n n n n n nn n n
n n n
n
n
2 2
2
2
1
lim lim lim
211 1
− − − +
−
− − = = = −
 
− +
− + 
 
 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 6 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
c) ( ) n n n nn n n
n n n
n n
4 2 4 2
4 2 2
4 2 2
2 4
111 1
lim 1 lim lim
21 11 1 1
+
+ + −
+ + − = = =
+ + +
+ + +
( ) ( ) ( )n n n n nd n n n
n n
n
n
n n
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2
) lim 1 2 lim
1 2
3 3
lim
21 21 1
− − + − + +
− − + =
− + +
−
= = −
 
− + + 
 
 
Bài 1.10. Tính các giới hạn sau: 
a) ( )n n n2lim 2 1+ + − + b) 
n n
1
lim
3 2 2 1+ − +
c) n n
n
2 1 1
lim
3 2
+ − +
+
 d) 
n n n2
1
lim
2+ −
HDGiải 
a) +∞ b) 0 c) 1
3
d) n n n n
n n nn n n
2
2 22
21 11 2
lim lim lim 1
222
+ +
+ +
= = =
+ −+ −
Bài 1.11. Tính các giới hạn sau 
 a) ( )n n n2lim 3 2+ − + b) ( )n n n3 3 2lim 2− − 
 c) ( )n n nlim 1− − d) n n
n n n
2
2
4 1 2 1
lim
2
+ − +
+ −
HDGiải 
a) ( ) ( )( )n n n n n nn n n
n n n
2 2
2
2
3 3
lim 3 2 lim 2
3
 + − + +
 
+ − + = + 
+ + 
 
n
n
nn
3 3 7
lim 2 lim 2
233 1 11 1
    
  
 = + = + =      + ++ +         
 ( ) ( ) ( )( )
n n n n n n n n n
b n n n
n n n n n n
23 33 2 3 2 3 2 23
3 3 2
2 33 2 3 2 23
2 2 2
) lim 2 lim
2 2
 
− − − + − + 
 
− − =
− + − +
n
n n n n n n n
n nn
2
3 36 5 2 3 2 2
33
4
2 2 2
lim lim
34 4 24 4 2 1 1 1
− −
= = = −
− + + − +
− + + − +
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 7 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
c) ( ) ( )n n n nn n n
n n
n
n
1 1
lim 1 lim lim
21 11 1
− −
− − = = − = −
 
− +
− + 
 
 
( )( )( )
( )( )( )
n n n n n n nn n
d 
n n n n n n n n n n n
2 2 2
2
2 2 2 2
4 1 (2 1) 4 1 (2 1) 24 1 2 1
) lim lim
2 2 2 4 1 (2 1)
+ − − + + − + ++ − +
=
+ − + − + + + − −
( )
( )
n n n n n
n n n
nn
2
2
2
22 1 14 2 4
lim lim 1
41 12 4 1 (2 1) 4 2
 
+ + + +  
 
= = = =
 + + − + + − 
 
Bài 1.12. Tính các giới hạn sau: 
a) n n4lim 3 10 12− + b) ( )n nlim 2.3 5.4− 
 c) ( )n n n2lim − + d) n nlim 2.3 2− +
HDGiải 
a) +∞ ; b) −∞ 
c) ( )n n n n n2 1lim lim 1 1 − + = − + = +∞    
d) ( )nn n nnn 22.3 2 3 2 3 3− + = − + với mọi n. Vì n nn 2lim 0; lim 03 3= = nên 
n n
n 2lim 2 2 0
3 3
− + = > . Ngoài ra ( )nlim 3 = +∞ 
Do đó n nlim 2.3 2− + = +∞ 
Bài 1.13. Tính các giới hạn sau: 
a) n
n
2 2lim
1
 
− + 
 b) n n n2lim( 1)− + + 
c) n n
n n2
1 2 3 ...
lim
1
+ + + +
+ +
 d) n
n n n n2 2 2 2
1 2 3 1
lim ...
1 1 1 1
 −
+ + + + 
+ + + + 
HDGiải 
a) n n n nn
n n
n n
3 2 2
2
2 3
1 212 2
lim lim lim
1 11 1
+ −
  + −
− = = = +∞ + +  +
b) n n n n
n n
2 2
2
1 1
lim( 1) lim( ) 1
 
− + + = − − + = −∞ 
 
 
c) 
n n
n
n n n
n n n n
n n
2 2
2
1( 1) 11 2 3 ... 22lim lim lim
21 1 1 12 1
+
+
+ + + +
= = =
 + + + +
+ + 
 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 8 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
d) n n n n
n n n n n n2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 ... ( 1) ( 1) 1
lim ... lim lim
21 1 1 1 1 2 2
 − + + + + − −
+ + + + = = = 
+ + + + + + 
Bài 1.14. Tìm các giới hạn sau 
a) ( )n n 1lim 3.2 5 10+− + b) n nn n12 3.5 3lim 3.2 7.4
+
− +
+
 c) 
n n
n n
1
2 3
2 3 11
lim
3 2 4
+
+ +
− +
+ −
d) 
n
n n
n13.3 5
lim
3.2 5.4
−
+
 e) 
n n
n
1
1
3 2
lim
5 3
+
+
+
+
 f) n nlim 3.4 2− + 
HDGiải 
a) ( )
n
n n n
n
1 2 1lim 3.2 5 10 lim5 3. 5 10.
5 5
+
  
 
− + = − +    
Ta có nlim5 = +∞ , 
n
n
2 1
lim 3. 5 10. 5 0
5 5
  
 
− + = − <    
. Do vậy ( )n n 1lim 3.2 5 10+− + = −∞ 
b) 
n
n n n
n n n n
1
2 32. 3
52 3.5 3 5
lim lim
3.2 7.4 2 43. 7.2.
5 5
+
 
− + 
− +  
=
+    
+   
   
Ta có 
n
n
2 3
lim 2. 3 3 0
5 5
  
 
− + = − <    
; 
n n
2 4
lim 3. 7.2. 0
5 5
    
 + =   
     
 và 
n n
n
2 4
3. 7.2. 0,
5 5
   
+ > ∀   
   
Vậy 
n n
n n
12 3.5 3
lim
3.2 7.4
+
− +
= −∞
+
c) Chia tử và mẫu cho 3n, ta được 
n n
n n
1
2 3
2 3 11 1
lim
93 2 4
+
+ +
− +
= −
+ −
d) Chia tử và mẫu cho 4n, và lưu ý 
n
n
q
lim 0= nếu q 1< . Vậy 
n
n n
n13.3 5 0
lim 0
53.2 5.4
−
= =
+
e) Xét 
n n
n n
u
1
1
3 2
5 3
+
+
+
=
+
, chia tử và mẫu cho 3n, khi đó 
n n
n
1
1
3 2 1
lim
35 3
+
+
+
=
+
Vậy 
n n
n
1
1
3 2 3
lim
35 3
+
+
+
=
+
f) n n
n n
n
n
2
lim 3.4 2 lim2 3
4 4
 
− + = − + 
 
 
Ta có nlim2 = +∞ , 
n n
n 2
lim 3 3 0
4 4
− + = > . Do vậy n nlim 3.4 2− + = +∞ 
Bài 1.15. Tính các giới hạn 
a) 
n n
1 1 1 1
lim ...
1.2 2.3 3.4 ( 1)
 
+ + + + + 
 b) 
n n
1 1 1 1
lim ...
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)
 
+ + + + 
− + 
c) n n
n
2 2 2
4
2.1 3.2 ... ( 1)
lim
+ + + +
 d) 
n n n n3 3 3
1 1 1
lim ...
1 2
 
+ + +  + + + 
HDGiải 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 9 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
a) n
n n n n
1 1 1 1 1
lim ... lim lim 1 1
1.2 2.3 3.4 ( 1) 1 1
   
+ + + + = = − =   + + +   
b) Ta có 
n n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ... 1
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1
   
+ + + + = − + − + + − = −   
− + − + +   
Nên 
n n
1 1 1 1 1
lim ...
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 2
 
+ + + + = 
− + 
c) n n n n
n n
2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2
4 4
2.1 3.2 ... ( 1) 1 2 3 ... 1 2 3 ...
lim lim
+ + + + + + + + + + + +
= 
n n n n n
n n n n
n
2 2
2 3
4
( 1) ( 1)(2 1) 1 2 3 11
2 6 1
lim lim
4 6 4
   + + +
+ + + +  
   
= = + = 
d) Vì 
n k n3 3
1 1
1
≤
+ +
 với mọi k *∈ℕ 
Do đó n
nn n n n n3 3 3 3
1 1 1 1
0 ...
1 2 1
< + + + ≤ <
+ + + +
Mà 
n
1
lim 0= nên suy ra 
n n n n3 3 3
1 1 1
lim ... 0
1 2
 
+ + + =  + + + 
Bài 1.16. Tìm các giới hạn của dãy số (un) sau, biết 
 a) 
n
u
n n n n2 2 2
1 1 1
...
1 2
= + + +
+ + +
 b) 
n
u
n
1 1 1
...
1 2
= + + + 
 c) 
n
u
n n n n
1 1 1
...
1 2
= + + +
+ + +
 d) 
n
n n
u
n
3sin 4cos
1
+
=
+
HDGiải 
a) Ta có 
n
u n
n n n n n n n n n
*
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
... ... ,
1 1 1
+ + + ≤ ≤ + + + ∀ ∈
+ + + + + +
ℕ 
Do đó: 
n
n n
u
n n n2 2 1
≤ ≤
+ +
. Mà n n
n n n2 2
lim 1 lim
1
= =
+ +
Vậy 
n
u
n n n n2 2 2
1 1 1
lim lim ... 1
1 2
 
= + + + =  + + + 
b) Ta có 
n
n
u n n
n n n n
*1 1 1... ,≥ + + + = = ∀ ∈ℕ 
Mà nlim = +∞ . Vậy 
n
u
n
1 1 1
lim lim ...
1 2
 
= + + + = +∞ 
 
c) Ta có 
n
u n
n n n n n n n n n
*1 1 1 1 1 1... ... ,
1 1 1
+ + + ≤ ≤ + + + ∀ ∈
+ + + + + +
ℕ 
Do đó 
n
n n
u
nn n 1
≤ ≤
++
. Mà n n
nn n
lim 1 lim
1
= =
++
Vậy 
n
u
n n n n
1 1 1
lim lim ... 1
1 2
 
= + + + = 
+ + + 
d) Ta có n n n
n n
*3sin 4cos 5 ,
1 1
+ ≤ ∀ ∈
+ +
ℕ . Mà 
n
5
lim 0
1
=
+
. 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 10 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
Vậy 
n
n n
u
n
3sin 4cos
lim lim 0
1
+
= =
+
Bài 1.17. Tính tổng S 1 12 2 1 ...
22
= − + − + − 
HDGiải 
Dãy số vô hạn 
1 1
2, 2,1, , ,...
22
− − là một cấp số nhân với công bội q
2 1
2 2
= − = − 
Vì q
1 1
1
2 2
= − = < nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. 
Do đó S
1 1 2 2 2
2 2 1 ...
122 2 11
2
= − + − + − = =
++
Bài 1.18. Tính tổng 
n
n
S
2 1
1 1 ( 1)
1 ... ...
10 10 10 −
−
= − + − + + + 
HDGiải 
Dãy số 
n
n2 1
1 1 ( 1)
1, , ,..., ,...
10 10 10 −
−
− − là một cấp số nhân với công bội q
1
10
= − 
Vì q
1 1
1
10 10
= − = < nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. 
Do đó 
n
n
S
2 1
1 1 ( 1) 1 10
1 ... ...
10 1110 10 11
10
−
− −
= − + − + + + = = −
 
− − 
 
Bài 1.19. Tìm tổng cấp số nhân 
n2 3
1 1 1 1
, , ,..., ,...
2 2 2 2
HDGiải 
Dãy số 
n2 3
1 1 1 1
, , ,..., ,...
2 2 2 2
là một cấp số nhân lùi vô hạn với u q1
1 1
,
2 2
= = 
Do đó 
n
S
2 3
1
1 1 1 1 2... ... 1
12 2 2 2 1
2
= + + + + + = =
−
Bài 1.20. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777dưới dạng một phân số. 
HDGiải 
Ta có 
2 3
7 7 7
0,777... ...
10 10 10
= + + + 
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u q1
7 1
,
10 10
= = 
Do đo 
2 3
7
7 7 7 7100,777... ...
710 910 10 1
10
= + + + = =
−
Bài 1.21. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131dưới dạng một phân số. 
HDGiải 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 11 BT. ĐS> 11 Chương IV. Giới hạn 
2
31 31 1 31 1 31 1 31
0,313131... . . ... .
1100 100 100 100 100 100 991
100
 
= + + + = = 
 
−
Bài 1.22. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202 (chu kì là 02), b = 2,131313 (chu kì 13) 
và c = 2,131131131( chu kì 131). Hãy viết a, b, c dưới dạng một phân số. 
HDGiải 
Ta có 
n
a
2
2
2 2 2 2 1011001,020202... 1 ... ... 1 1
1100 99 99100 100 1
100
= = + + + + + = + = + =
−
(vì 
n2
2 2 2
, ,... ,...
100 100 100
là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q 1
100
= ) 
Ta có 
n
b
2
13
13 13 13 13 2111002,131313... 2 ... ... 2 2
1100 99 99100 100 1
100
= = + + + + + = + = + =
−
 Ta có 
n
c
2
131
131 131 131 131 212910002,131131131... 2 ... ... 2 2
11000 999 9991000 1000 1
1000
= = + + + + + = + = + =
−
Bài 1.23. 
a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5
3
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 
39
25
. 
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 
b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q
2
3
= 
HDGiải 
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có 
 ( )
u
q
u q
q
1
3
1
5
 (1)
1 3
1 39
 (2)
1 25

=
−

−
=
−
Thay (1) vào (2), ta được ( )35 39 213 25 5q q− = ⇔ = thay vào (1), ta được 1 1u = 
b) 
n
n
u
1
2
3
−
 
=  
 
Bài 1.24. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 
12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 3
4
 và số hạng đầu là một số dương. 
HDGiải 
Gọi u1 là số hạng đầu, q là công bội và S là tổng của cấp số nhân đã cho. 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 
 12 BT. ĐS>