Toán 10 - Tích vô hướng

TÍCH VÔ HƯỚNG 
Câu 1:Cho có diện tích 12. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N 
sao cho: và BN cắt CM tại D. 
a. Tính diện tích tam giác BMC, ABN và AMN theo . 
b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ACD và BCD; ABD và BCD. 
c. Suy ra diện tích của tam giác BCD theo . 
GIẢI: 
a. Ta có: 
tương tự ta cũng có: 
Mặt khác: 
b. Vẽ hai đường cao AK và BL của hai tam giác ACD và BCD thì AK//BL 
Suy ra: 
Do đó: 
Tương tự ta cũng có: . 
c. Ta có: 
Câu 2:Cho , biết AB = 2, BC = 3, CA = 4., đường cao AD. Tính độ dài đoạn CD. 
GIẢI: 
Ta có: 
Trong , ta có: 
Câu 3:Cho , các trung tuyến và hợp với nhau một góc 
. Tính độ dài các cạnh của . 
GIẢI: 
Vì hợp với nhau một góc , do đó ta cần xét hai trường hợp 
là và . 
Trường hợp 1: Nếu . 
Trong , ta có: 
Trong , ta có: 
. 
Trong , ta có: 
Trường hợp 2: tương tự. 
Câu 4:Cho vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm AC. Tính bán 
kính đường tròn ngoại tiếp . 
GIẢI: 
Áp dụng định lý hàm số sin trong , ta có: 
 . 
Trong , ta có: 
. 
Trong , 
Thay (2), (3) vào (1), ta được: 
Câu 5:Cho cân tại A. Đường cao BH = a, . 
a. Tính các cạnh và đường cao còn lại. 
b. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp . 
GIẢI: 
a. Trong , ta được: 
. 
Trong , ta được: 
. 
b. Ta có: 
Câu 6:Cho có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Tính: 
a. Diện tích S của tam giác. 
b. Các đường cao . 
c. Các bán kính R, r. 
GIẢI: 
a. Ta có: 
. 
do đó: . 
b. Ta có: 
. 
c. Ta có: 
. 
Câu 7:Cho vuông tại A, và đường cao AH = 6. Tính độ dài các đọn 
HB, HC, AB, AC. 
GIẢI: 
Hai và đồng dạng, do đó: 
. 
Trong , ta có: 
Câu 8:Cho có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = . Tính BC. 
GIẢI: 
Ta có: 
* Với , ta 
được 
* Với , ta được 
Câu 9:Cho có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Gọi trung điểm của AC là M. Tính bán 
kính đường tròn ngoại tiếp . 
GIẢI: 
Áp dụng định lý hàm số sin trong , ta có: 
 (1) 
Trong , ta có: 
 (2) 
. 
Thay (2), (3) vào (1), ta được: 
Câu 10:Cho , biết b=7, c=5, . Tính đường cao và bán kính đường 
tròn ngoại tiếp R của tam giác. 
GIẢI: 
Ta có: (1) 
trong đó b, c đã biết và: 
 (2) 
. (3) 
Thay (2), (3) vào (1) ta được: 
Ta có: . 
Câu 11:Cho , biết , b=2, . Tính các góc A, B, C và đường 
cao của tam giác. 
GIẢI: 
Trong , ta có: 
Mặt khác, trong , ta có: 
Ta có: 
Câu 12:Cho , biết A(1, 2), B (-1, 1), C(5, -1). 
a. Tính 
b. Tính cos và sin góc A. 
c. Tìm tọa độ chân đường cao của . 
d Tìm tọa độ trực tâm H của . 
e. Tìm tọa độ trọng tâm G của . 
f. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp , từ đó chứng minh rằng I, H, G 
thẳng hàng. 
GIẢI: 
a. Ta có: 
b. Ta có: 
c. (x, y) là chân đường cao từ đỉnh A của . 
Vậy, ta được . 
d. H(x, y) là trực tâm H của . 
Vậy, ta được H(2, 5). 
e. Tọa độ trọng tâm . 
f. I(x, y) là tâm I của đường tròn ngoại tiếp . 
Vậy, ta được . 
Nhận xét rằng: và I, H, G thẳng hàng. 
Câu 13:Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý. 
a. Chứng minh rằng: 
b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để: 
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
GIẢI: 
a. Ta có: 
 (1) 
Ta xét: 
 (2) 
Thay (2) vào (1), ta được: 
, đpcm. 
b. Từ kết quả câu a suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ 
khi nhỏ nhất. 
 M là hình chiếu vuông góc của D lên (d) 
Câu 14:Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có: 
 (1) 
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. 
GIẢI: 
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta được: 
 (2) 
Bình phương 2 vế của (2) ta được: 
 ABCD là hình chữ nhật. 
Câu 15:Cho vuông, có cạnh huyền , M là trung điểm BC. Biết 
rằng: , tính độ dài AB và AC. 
GIẢI: 
Từ giả thiết, ta được: 
 (1) 
Mặt khác theo Pitago, ta được: (2) 
Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), ta được: 
Câu 16:Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD = a, BC = b, đương cao AB = h. Tìm 
hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho: 
a. BD vuông góc với CI, với I là trung điểm của AB. 
b. AC vuông góc với DI. 
c. BM vuông góc với CN, với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD. 
GIẢI: 
 a. Ta có: 
BD vuông góc với CI 
 b. Ta có: AC vuông góc với DI 
c. Ta có: 
BM vuông góc với CN 
Câu 17:Cho vuông tại A, gọi M là trung điểm BC. Lấy các điểm trên 
AB và AC sao cho . Chứng minh rằng: AM vuông góc với . 
GIẢI: 
Từ giả thiết suy ra: 
Ta có: 
 = 
 AM vuông góc với . 
Câu 18:Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi: 
 (1) 
GIẢI: 
Biến đổi (1) về dạng: 
0 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 AB vuông góc với CD 
Câu 19:Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp 
hình vuông và N là điểm tùy ý trên cạnh BC. Tính: 
a. 
b. 
c. 
GIẢI: 
a. Ta có: 
bởi vì OA vuông góc với OB, OC vuông góc với OD và 
b. Nhận xét rằng B là hình chiếu vuông góc của N lên AB, do đó: 
c. Gọi K là trung điểm của AB, suy ra K là hình chiếu vuông góc của O lên AB, do đó: 
Câu 20:Cho đều cạnh a, trọng tâm G. 
a. Tính các tích vô hướng: và . 
b. Gọi I là điểm thỏa mãn . Chứng minh rằng BCIG là hình bình 
hành, từ đó tính . 
GIẢI: 
a. Ta có: 
 Ta có: 
b. Ta có: 
 BCIG là hình bình hành. 
Gọi M là trung điểm BC, ta được: 
. 
. 
. 
Câu 21:Cho vuông tại A, biết . Tính các góc: 
GIẢI: 
Ta có ngay: 
; 
; 
; 
.