Toán 10 - Chuyên đề về hàm số và đồ thị

Page 1 
CHUYÊN ĐỀ VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 
 Cơ bản 
I. Hàm số bậc nhất. 
1. Xác định hàm số bậc nhất y = ax+b trong mỗi trường hợp sau: 
a) Đồ thị của hàm số song song với đt y = 3x + 1 và đi qua A (2; 5). 
b) Đồ thị của hàm số vuông góc với đt y = x – 5 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng -2. 
c) Đồ thị hàm số đi qua A(-1; 2) và B(2; -3). 
d) Đồ thị hàm số cắt (P): y = x2 tại 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là -1 và 2. 
2. Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3. 
a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến; Tìm m để hàm số luôn nghịch biến. 
b) Tìm m để đồ thị hàm số // với đt: y 3x – 3 m  ; 
c) Tìm m để đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y 3x – 3 m  . 
d) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ = 3. 
e) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ = 3. 
f) Tìm m để đồ thị các hàm số 2; 2 1; ( 2) 3y x y x y m x m         đồng quy. 
3. Cho 2 đường thẳng: y = -4x + m + 1 (d1); 
4
15 3
3
y x m   (d2) 
a) Tìm m để d1 cắt d2 tại điểm C trên trục tung . 
b) Với m vừa tìm được tìm giao điểm A, B của 2 đường thẳng d1, d2 với Ox. 
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. 
d) Tính các góc của tam giác ABC. 
4. Tìm m để đt: y = mx + 1 cắt đt: y = 2x –1 tại 1 điểm thuôc̣ đường phân giác góc phần tư thứ 2. 
II. Parabol và đường thẳng. 
1. Cho (P): y = (2m - 1)x2. Tìm m để (P) đi qua A(2; -2). Với m vừa tìm được viết PT đt qua O(0; 0) 
và qua điểm T thuộc (P) có tung độ bằng -1/16. 
2. Cho (P): 
2
2
x
y  và (d): mx + y = 2. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
3. Cho (P): y = x2 và đường thẳng: y = mx – m (d) 
a) Tìm m để d tiếp xúc với (P). b) Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
4. Cho (P): y = x2 + 1 và (d): y = 2x + 3. 
a) Vẽ (P) và (d). 
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (d). 
c) Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên Ox. Tính diện tích tứ giác ABCD. 
5. Cho (P): y = x2. 
a) Vẽ (P) trên hê ̣truc̣ toạ đô ̣Oxy. 
b) Trên (P) lấy 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. Viết PT AB. 
c) Tính diện tích tứ giác có đỉnh là A, B và các điểm là 2 hình chiếu của A và B trên Ox. 
6. Cho (P): y = 2x2. 
a) Vẽ (P). 
b) Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của đường thẳng y = mx – 1 với (P). 
c) Lập PT đt song song với đt: y = 2x + 2010 và tiếp xúc với (P). 
d) Tìm trên (P) điểm cách đều 2 trục tọa độ. 
Page 2 
7. Cho (P): 
2
4
x
y   và I(0; -2). Đường thẳng d qua I với hệ số góc m. 
a) Viết pt của đường thẳng d 
b) Chứng tỏ d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
8. Cho (P): y = x2 và đường thẳng d có hệ số góc k đi qua M(0; 1). 
a) Viết pt đường thẳng (d) 
b) Chứng minh với mọi k đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
c) Gọi hoành độ của A, B lần lượt là x1, x2. Chứng minh 1 2 2x x  . 
9. Cho hàm số y = -x2 và đường thẳng (d) đi qua N(-1; -2) có hệ số góc k. 
a) Viết phương trình đường thẳng (d) 
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điệm A, B. Tìm k để A, 
B nằm về 2 phía của trục tung. 
c) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2). Tìm k để S = x1+ y1 + x2 + y2 đạt giá trị lớn nhất. 
 Nâng cao: 
10. Tìm điểm M(x1; y1) trên đt: 2x + 3y= 5 sao cho khoảng cách từ O đến M là nhỏ nhất. 
11. Xác định hàm số y = ax+b biết đồ thị hàm số tiếp xúc với (P): y = 2x2 và đi qua điểm A(0; -2). 
12. Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3. (d) 
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm đó. 
b) Tìm m để (d) cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích = 2. 
13. Cho (P): y = (2m - 1)x2. Tìm m để (P) đi qua A(2; -2). Với m vừa tìm được hãy: 
a) Viết PT đt đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P). 
b) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến O bằng 1. 
14. *Cho (P): y = - x2 và (d) y = m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
 Tìm m để tam giác OAB đều. Tính diện tích tam giác đó. 
15. * Tìm m để k/cách từ O(0;0) đến đt: y = (m - 1)x + 2 lớn nhất; ( tương tư ̣y = (m - 2)x -m). 
16. Cho (P): y = 2x2. 
a) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến O = 5 . 
b) Viết PT đt đi qua A(0; -2) và tiếp xúc với (P) 
c) *Tìm tập hợp điểm M sao cho qua M có thể kẻ được 2 đt vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với 
(P). 
17. *Cho (P): y = x2 và đường thẳng: y = mx – m (d) 
Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ trung điểm K của AB. Suy ra hệ thức liên hệ 
giữa các tọa độ của K độc lập với m. 
18. Cho (P): 
2
2
x
y  và (d): mx + y = 2. 
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
b) *Tìm m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích tam giác OAB với m vừa tìm được. 
c) *Chứng minh rằng trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên một parabol cố định. 
19. Cho (P): 
2
4
x
y   và I(0; -2). Đường thẳng d qua I với hệ số góc m. 
a) Chứng tỏ d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
b) Tính độ dài AB theo m. c) Tìm m để AB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Page 3 
20. Cho (P): 
2
2
x
y  và đường thẳng d: 
1
2
y mx  . 
a) Chứng minh d luôn đi qua 1 điểm cố định A khi m thay đổi và d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 
M, N. 
b) Tìm tập hợp trung điểm I của MN khi m thay đổi. 
21. Cho (P): y = x2 và đường thẳng d có hệ số góc k đi qua M(0; 1). 
a) Chứng minh với mọi k đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
b) *Tính độ dài AB theo k. Tìm k để 10AB  . 
c) *Tính theo hệ số góc của OA theo x1, hệ số góc của OB theo x2. Chứng minh tam giác OAB 
vuông. 
d) *Tìm k để diện tích tam giác OAB = 2. 
e) *Gọi H, K là hình chiếu của A, B lên Ox. Chứng minh tam giác IHK vuông tại I. 
22. Cho (P): y = x2 Tìm trên (P) 2 điểm A, B sao cho tam giác: 
a) OAB đều. b) OAB cân tại O có diện tích = 8.