Toán 10 - Chuyên đề giải phương trình

1. Định nghĩa và tính chất 
  
A khi A
A
A khi A
0
0
 
 
 
  A A0,  
  A B A B. .  A A
2
2 
  A B A B A B. 0      A B A B A B. 0     
  A B A B A B. 0      A B A B A B. 0     
2. Cách giải 
 Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: 
 – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. 
 – Bình phương hai vế. 
 – Đặt ẩn phụ. 
  Dạng 1: f x g x( ) ( )
C
f x
f x g x
f x
f x g x
1
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
 
  
 

  
C g x
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
 

  
  
  Dạng 2: f x g x( ) ( )    
C
f x g x
1
2 2
( ) ( )  
C
f x g x
f x g x
2
( ) ( )
( ) ( )
 
  
  Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )  
 Đối với phương trình cĩ dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 a) x x2 1 3   b) x x4 7 2 5   a) x x4 7 4 7   
d) x x x2 4 5 4 17    e) x x x24 17 4 5    b) x x2 3 3 2   
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
 a) x x x1 2 1 3    b) x x x x1 2 3 2 4      
 c) x x3 7 10    d) x x x1 2 2    
 e) x x2 3 2 0   f) x x x1 2 3 14      
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
 a) x x x
2
2 1 1 0     b) x x x2 2 5 1 7 0     c) x x x2 2 5 1 5 0     
 d) x x x
2
4 3 2 0    e) x x x24 4 2 1 1 0     f) x x x2 6 3 10 0     
Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau: 
 a) mx 1 5  b) mx x x1 2    c) mx x x2 1   
 d) x m x m3 2 2   e) x m x m 2    f) x m x 1   
I. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU 
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: 
 – Nâng luỹ thừa hai vế. 
 – Đặt ẩn phụ. 
 Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. 
Dạng 1: f x g x( ) ( )   f x g x
g x
2
( ) ( )
( ) 0
 


Dạng 2: af x b f x c( ) ( ) 0    
t f x t
at bt c
2
( ), 0
0
  

  
Dạng 3: 
f x g x
f x g x
f x hay g x
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
 
  
 
Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )  
  Đặt u f x v g x( ), ( )  với u, v  0. 
  Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. 
Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )   
 Đặt t f x g x t( ) ( ), 0   . 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 a) x x2 3 3   b) x x5 10 8   c) x x2 5 4   
 d) x x x2 12 8    e) x x x2 2 4 2    f) x x x23 9 1 2    
 g) x x x23 9 1 2    h) x x x2 3 10 2    i) x x x2 2( 3) 4 9    
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
 a) x x x x2 26 9 4 6 6     b) x x x x2( 3)(8 ) 26 11      
 c) x x x x2( 4)( 1) 3 5 2 6      d) x x x x2( 5)(2 ) 3 3    
 e) x x2 2 11 31   f) x x x x2 2 8 4 (4 )( 2) 0      
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
 a) x x1 1 1    b) x x3 7 1 2    
 c) x x2 29 7 2    d) x x x x2 23 5 8 3 5 1 1      
 e) x x
3 3
1 1 2    f) x x x x2 25 8 4 5      
 g) x x3 35 7 5 13 1    h) x x
3 3
9 1 7 1 4      
Bài 4. Giải các phương trình sau: 
 a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 )       b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16        
 c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1       d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3       
 e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5       f) x x x x x23 2 1 4 9 2 3 5 2        
Bài 5. Giải các phương trình sau: 
II. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƢỚI DẤU CĂN 
 a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14        
 b) x x x x5 4 1 2 2 1 1        
Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định 
của phương trình (mẫu thức khác 0). 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 a) 
x x x x
2 10 50
1
2 3 (2 )( 3)
  
   
 b) 
x x x
x x x
1 1 2 1
2 2 1
  
 
  
 c) 
x x
x x
2 1 1
3 2 2
 

 
 d) 
x x
x
2
2
3 5
1
4
 
 

 e) 
x x x x
x x
2 2
2 5 2 2 15
1 3
   

 
 f) 
x x
x x
2 2
3 4 2
( 1) (2 1)
 

 
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: 
 a) 
mx m
x
1
3
2
 


 b) 
m x m
m
x
( 1) 2
3
  


 c) 
x m x
x x
3
1 2
 

 
Bài 1. Giải phương trình sau: 
a) x3 + 2x2 - 9x -18 = 0 b) x3 – 5x2 + 6x -2 = 0 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt. 
 mx
3 – (2m + 1)x2 – (m – 1)x + 2m + 2 = 0 
Bài 3: Tìm m để phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt âm. 
 x
3
 + (2m + 1)x
2
 +(3m + 2)x + m + 2 = 0 
Bài 4: Giải và biện luận phương trình sau: 
 2x
3
 – (3 – 2m)x2 - 2mx – m2 +1 = 0 
1. Cách giải: 
t x t
ax bx c
at bt c
2
4 2
2
, 0
0 (1)
0 (2)
  
    
  
2. Số nghiệm của phƣơng trình trùng phƣơng 
IV. PHƢƠNG TRÌNH BẬC 3 
ax
3
 + bx
2
 + cx+d = 0 (a  0) 
III. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC 
V. PHƢƠNG TRÌNH TRÙNG PHƢƠNG 
ax
4
 + bx
2
 + c = 0 (a  0) 
 Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. 
  (1) vơ nghiệm  
vô nghiệm
có nghiệm kép âm
có nghiệm âm
(2)
(2)
(2) 2




  (1) cĩ 1 nghiệm  
có nghiệm kép bằng
có nghiệm bằng nghiệm còn lại âm
(2) 0
(2) 1 0,



  (1) cĩ 2 nghiệm  
có nghiệm kép dương
có nghiệm dương và nghiệm âm
(2)
(2) 1 1



  (1) cĩ 3 nghiệm  có nghiệm bằng nghiệm còn lại dương(2) 1 0, 
  (1) cĩ 4 nghiệm  có nghiệm dương phân biệt(2) 2 
3. Một số dạng khác về phƣơng trình bậc bốn 
  Dạng 1: x a x b x c x d K với a b c d( )( )( )( ) ,        
 – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )         
 – PT trở thành: t cd ab t K2 ( ) 0    
  Dạng 2: x a x b K4 4( ) ( )    
 – Đặt 
a b
t x
2

   
a b b a
x a t x b t,
2 2
 
      
 – PT trở thành: 
a b
t t K với4 2 2 42 12 2 0
2
  
 
     
 
  Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2 0 ( 0)      (phương trình đối xứng) 
 – Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được: 
 PT  a x b x c
xx
2
2
1 1
0
   
      
  
 (2) 
 – Đặt t x hoặc t x
x x
1 1 
    
 
 với t 2 . 
 – PT (2) trở thành: at bt c a t2 2 0 ( 2)     . 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 a) x x4 23 4 0   b) x x4 25 4 0   c) x x4 25 6 0   
 d) x x4 23 5 2 0   e) x x4 2 30 0   f) x x4 27 8 0   
Bài 2. Tìm m để phương trình: 
 i) Vơ nghiệm ii) Cĩ 1 nghiệm iii) Cĩ 2 nghiệm 
 iv) Cĩ 3 nghiệm v) Cĩ 4 nghiệm 
 a) x m x m4 2 2(1 2 ) 1 0     b) x m x m4 2 2(3 4) 0    
 c) x mx m4 28 16 0   
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
 a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297     b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36      
 c) x x4 4( 4) ( 6) 2    d) x x4 4( 3) ( 5) 16    
e) x x x x4 3 26 35 62 35 6 0     f) x x x x4 3 24 1 0    