Toán 10 - Bất đằng thức cosi

A. Lý thuyết
1. Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm:
 Cho a1, a2 ³ 0 thì .	 (1)
Chứng minh. Ta có 
(1)	Û 
	Û	 . (2)
 Do (2) đúng nên (1) luôn đúng.
 Dấu “ = ” của (1) xảy ra Û a1 = a2 .
2. Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm:
 Cho a1 , a2 , a3 ³ 0 thì .
Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:
	 ,	 (3)
	 ,	 (4)
 .	 (5)
 Cộng từng vế của (3), (4), (5), ta được a1+ a2 + a3 
 Û . (đpcm)
 Đẳng thức xảy ra Û (3), (4), (5) đồng thời xảy ra đẳng thức Û a1= a2 = a3.
 3. Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm:
 Cho a1, a2, a3, a4 ³ 0 thì .
Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có: 
	 a1 + a2 , (5)
	 a3 + a4 , (6)
 2+ . (7)
 Cộng từng vế của (5), (6), (7), ta được: .
 Đẳng thức xảy ra Û (5), (6), (7) đồng thời xảy ra đẳng thức Û a1 = a2 = a3 = a4.
 Tổng quát : Cho a1, a2,,an ³ 0 , ta luôn có ³ . (*) Dấu “=” của (*) xảy ra Û a1 = a2 = = an . 
Chú ý: Trong sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si được phát biểu cho hai hoặc ba số dương, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn ba số thì ta cần phải chứng minh. Bạn đọc đã biết nếu chỉ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai hoặc ba số thì rất khó khai thác hết cái hay và các ứng dụng rộng của nó. Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho trường hợp hai hoặc ba số mà chứng minh được tương đối ngắn gọn thì ta trình bày cách đó, còn nếu không ta sẽ áp dụng luôn.
B.Bài tập
 Ví dụ 1 . Cho tổng S = a + ( a > 0 ).
 +) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S1 có tích không đổi:
	 S = .
	Tổng S1 = có tích .
 +) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S2 có tích là :
 S = .
 Tổng S2 = có tích là .
Ví dụ 2. Cho tích P = sin4x cos2x .
 +) Ta sẽ biến đổi tích P thành tích P1 có tổng không đổi :
 P = sin4x. cos2x = 4.
Tích P1= có tổng 
 = 1.
 +) Ta sẽ biến đổi tích P thành tích P2 có tổng là 1 + cos2x .
 P = sin4x. cos2x .
Ta có .
Tích P2 = có tổng
 .
 Các Bất Đẳng Thức đại số
Bài 1 
 Cho hai số không âm a và b thoả mãn điều kiện a + b = 5 . Chứng minh:
	1) ab ; 2) a2b ; 3) a2 b3 .
Giải 
 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có: 
ị Û ab .
 Dấu “=” xảy ra Û .
 2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có: 
	 Û ị Û a2b.
 Dấu “=” xảy ra Û .
 3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số không âm, ta có: 
	 Û 
 Û a2b3 Ê 108. 
 Dấu “=” xảy ra Û Û .
Bài 2. 
 Cho ba số không âm a, b, c thoả mãn điều kiện a + b2 + c3 = 11. Chứng minh : 
	1) a b2c3 ; 2) abc .
Giải 
 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có: 
	 	 Û ab2c3 .
 Dấu “=” xảy ra Û .
 2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 11 số không âm,ta có:	
 Û hay 1 
 Û .
 Dấu “=” xảy ra .
 Bài 3. Chứng minh rằng:
 1) Với a, b ẻ thì (1 – a )(1 – b)( a + b ) .
 2) Với a ẻ [– 2; 2], b ẻ [; 3], c ẻ [0; 4] thì
.
Giải 
 1) Do nên .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có:
	 . 
 Dấu “=” xảy ra .
 2) Vì , và nên: 
2 – hay ,
3 – hay ,
 hay .
 Từ đó suy ra 2a + 3b + 4c + 3 ³ 0.
 Đặt p = ( 2 – a)( 3 – b)( 4 – c )( 2a + 3b + 4c + 3). 
 Ta có 2 . 3 . 4p = (4 – 2a ) (9 – 3b ) (16 – 4c )( 2a + 3b + 4c + 3). 
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm, ta có:
( 4 – 2a)( 9 – 3b)( 16 – 4c)( 2a + 3b + 4c + 3 ) 
	 Ê .
	 Û 24p Ê 84 Û p .
 Dấu “=” xảy ra 
 .
 Bài 4. Cho ; . Tìm GTLN của hàm số y = 
	 ( ĐHBK HN 1997 ).
Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (p + q) số dương, ta có: 
 .
 Û 
 Û Û .
 Dấu “=” xảy ra Û Û .
 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = bằng , đạt được khi .
 Bài 5. Chứng minh rằng ta luôn có:
1) ;
2) ( ĐH An ninh 1997).
Giải
1) Vì nên . 
Từ đó suy ra 4.
 Ta lại có .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có: 
Û = 3 Û .
 Dấu “=” xảy ra Û 
	 Û .
 2) Ta có .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương, ta có: 
 Û 
	 Û ³ 4.
 Dấu “=” xảy ra Û .
Bài 6. Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
	 . 	(*)
	 ( Tạp chí Toán học & tuổi trẻ ). 
Giải. Xét vế trái (VT) của (*): 
VT = 
= .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si lần lượt cho hai số dương, ta có: 
; (1) ;	 (2) ; (3)
 ; (4) ; (5) .	(6)
 Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), (5) và (6), ta được
	VT = (xyz +1).
 Dễ thấy dấu “=” của (*) xảy ra Û .
Bài 7. Cho x ẻ R+. Chứng minh rằng: 
1) 0. 	(1) 
2) . 	(2)
 Giải 
1) Nếu x = 0 thì (1) luôn đúng. 
Nếu x ạ 0, chia cả hai vế của (1) cho x3 , ta được: 
	. 	(3)
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có: 
	. = 3. 
Vậy (3) đúng nên (1) đúng. 
 Dấu “=” của (1) xảy ra .
2) Nếu x = 0 thì (2) luôn đúng. 
Nếu x > 0, chia cả hai vế của (2) cho x4 , ta được: 
. 	(4)
Xét vế trái của (4): VT = . 
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bảy số dương, ta có : 
 .	
Vậy (4) đúng nên (2) đúng. 
Dấu “=” của (2) xảy ra .
Bài 8 . Chứng minh rằng:
1) Với a >1 thì 
 . 	 (1)
2) Với a, b, c > 0 và thoả mãn a > b ; a > c thì 
2a + . 	 2)
Giải 
Nhân hai vế của (1) với 2, ta được 
 	 . 	(3)
Xét vế trái của (3): VT = 
 = .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số dương, ta có: 	 
 Û ³5. 
 Suy ra (3) đúng nên (1) đúng. 
 Dấu “=” của (1) xảy ra Û a = 2. 
 2) Xét vế trái của (2): VT = 	 = (.
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương, ta có: 
 Û . 
Dấu “=” của (2) xảy ra.
Bài 9. Giả sử phương trình 
 	 (1)
có ba nghiệm là. Chứng minh rằng 
. 	 (2)
 Giải. Do là ba nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có :
	 .
Thay vào (2), ta được: 
³ 10a3. 	 (3) 
 +) Nếu a = 0 thì (3) đúng nên (2) đúng.
 +) Nếu a > 0, chia cả hai vế của (3) cho a3 , ta có
 . 	 (4)
 Xét vế trái của (4): VT = = .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số dương, ta có:
 Û .
 Vậy (4) đúng nên (2) đúng. 
 Dấu “=” của (2) xảy ra . 
Bài 10. Cho ba số không âm a, b, c . Chứng minh rằng: 
 1) .
 2) .
Giải
 1) Lần lượt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có: 
 	Û ;	 (1)	
	 . (2)
Nhân từng vế của (1) với (2), ta được: 
. 	 (đpcm)
 Dễ thấy dấu “=” xảy ra .
 2) Lần lượt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có: 
	 ;	 (3)
 Û . (4) 
 Nhân từng vế của (3) và (4), ta được: .
 Dấu “=” xảy ra .
Bài 11. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: 
 1) ; 2) .
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:
 . (đpcm)
 Dấu “=” xảy ra .
2) Ta có 
	 = .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương, ta có:
 Û Û . (đpcm)
 Dấu “=” xảy ra =
 Û 
 .
Bài 12. Cho ba số dương x, y, z . Chứng minh rằng: 
1) ;
2) ; 
3) . 
Giải 
1) Đặt : .
 Ta có 
 = 
 = 
 = .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho tám số dương, ta có: 
 hay 	(đpcm)
 Dấu “=” xảy ra Û 
 	 .
 2) Đặt : .
 Ta có: .
 Từ đó tính được 
	 = .	
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 16 số, trong đó có một số là (a5 + b5), năm số là (a3 + b3) và mười số là (a + b), ta có:
Û (a + b)80 ³ 1616 (a5+ b5) (a3 + b3 )5 (a + b)10	Û (a + b )70 ³ 1616 (a3 + b3)5 ( a5 + b5) 
 hay .
 Dấu “=” xảy ra Û 
 Û .
 3) Đặt : .
 Ta có ( a+ b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca. 
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho chín số dương, trong đó có ba số là
, hai số là ab, hai số là bc và hai số là ca, ta có: 
 	 hay .
 Dấu “=” xảy ra 
 hay .
Bài 13. Cho x ³ 0; y ³ 0 và thoả mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( Học viện quan hệ quốc tế 1999 ).
Giả i . Ta có 
 P = 	= .
 Thay x + y = 1 vào P, ta được P =.
 Do x ³ 0; y ³ 0 nên 2 + xy ³ 2, suy ra P Ê -2 +=1.
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 đạt được khi và chỉ khi 
 hoặc .
 Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có
.
Khi đó P ³ -2 + =.
 Suy ra giá trị lớn nhất của P bằng , đạt được khi .
Bài 14. Cho x, y ẻ R và thoả mãn điều kiện x > y, xy = 1. Chứng minh rằng:
 1) ; 	(1) 
 2) .	 	 (2)
Giải
 1) Ta có x3 – y3 – 3x + 3y + 4 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + 4 = (x - y)3 + 4.
 Khi đó, ta có
 = = .
 Do x > y nên x – y > 0. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
	= 3.	 (đpcm)
 Dấu “ = ” của (1) xảy ra Û Û .	 
 2) Ta có x6 + y6 + 1 = (x3 – y3 )2 + 2x3y3 + 1 = [(x3 – y3)2 - 1] + 4
	 = ( x3 – y3 - 1) (x3 – y3 + 1) + 4.
 Khi đó, ta có 
 = = .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có 
.
Vậy ³ 4 – 2 = 2.	 	 (đpcm)
 Dấu “ = ” của (2) xảy ra Û Û 
 Û .
Bài 15. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = . 
 Chứng minh rằng .
Giải. Để chứng minh các bất đẳng thức trên, ta chứng minh bài toán tổng quát sau:
 Với a, x, y, z > 0 thì (a + x) (a + y) (a + z) ³ . 	 	 (*)
 Xét VT(*) = (a + x) (a + y) (a + z) = a3 + a2 (x + y + z) + a (xy + yz + zx) + xyz.
 Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 
 x + y + z ³ 3 ;
	xy + yz + zx ³ 3 . 
 Suy ra VT(*) ³ a3 + 3a2 + 3a + =. 
 Dấu “ = ” của (*) xảy ra Û x = y = z. Vậy (*) đúng.
 áp dụng (*) với a = ; x = ; y = ; z = , ta được
 .
 hay	 .
 Dấu “ = ” xảy ra .
Bài 16. Cho n số dương a1, a2,...,an. Chứng minh rằng :
.
Giải. Lần lượt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:
	 . Dấu “=” xảy ra Û a1 = 1. 
 . Dấu “=” xảy ra Û a1 = 1. 
 Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được 
 . Dấu “=” xảy ra Û a1 = 1.
 Tương tự:	. Dấu “=” xảy ra Û a2 = 1.
	 . Dấu “=” xảy ra Û an = 1. 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có :
 . 	 (1)
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có 
	.
 Từ (1) suy ra: 
 hay . (đpcm)
 Dấu “=” xảy ra Û = 1.
Bài 17. Cho các số thực a1, a2,,an thoả mãn điều kiện: a1, a2,,an ẻ [1; 2]. 
 Chứng minh rằng: 
1) ; 2) .
Giải. Theo giả thiết ta có a1ẻ[1; 2] Û (a1 - 1) (2 – a1) ³ 0 Û 3a1 ³ 2 + 
Û 3 ³ . Dấu “ = ” xảy ra Û .
Tương tự, ta có 3 ³ . Dấu “ = ” xảy ra Û ;
 3 ³ . Dấu “ = ” xảy ra Û .
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta được: 
 	.	(*)	
Xét vế phải của (*): 
	 . 
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta được:
 Từ (*) suy ra 3n ³ 
 	Û .	 	(đpcm)
 Dấu “ = ” xảy ra Û .
 Vì với (i = ) thì .
2) Xét vế phải của (*): 	VP(*) = 
	 = .
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
	 VP(*) ³ 3 .
(*) ị 3n ³ 3 Û .
 Dấu “ = ” xảy ra Û .
 Vì với thì và .	
Bài 18. Chứng minh rằng với các số a, b, c, d dương thoả mãn
 thì abcd Ê 16.
Giải. Từ giả thiết 
 . 
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
.
Khi đó, ta có .	 (1)
 Dấu “ = ” của (1) xảy ra .
 Tương tự, ta có ;	 (2)
 	;	 (3)
 	.	 (4)
Nhân từng vế của (1), (2), (3), (4) với nhau, ta được: 
 Û abcd Ê 16. (đpcm)
Dấu “ = ” xảy ra Û 	Û a = b = c = d = 2.
Bài 19. Chứng minh rằng với a, b ẻ [0; 1] thì . (1)
 Giải. Do vai trò của a và b ở vế trái của (1) là như nhau nên ta giả sử a ³ b.
 Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta được
Do đó 	. 	(2)	 
Lại có: 	 ; 	(3)
	 .	 	(4)
 Cộng từng vế của (2), (3), (4), ta được 
.	 (đpcm)
 Dấu “ = ”xảy ra .
Vậy dấu “ = ” của (1) xảy ra khi và chỉ khi một trong hai số a và b bằng 0 còn số kia thuộc đoạn [0; 1] hoặc cả a và b đều bằng 1.
 Bài 20. Chứng minh rằng với a, b, c ẻ [0; 2] thì 
. 
Giải. Giả sử a = max(a, b, c). áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta được .
Suy ra	 .	 	 (1)
Lại có: 	 ;	 	 (2)
	 ;	 	 (3)
	 .	 	 (4)
 Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta được: 
. 	(đpcm) 
 Dấu “ = ” xảy ra .
 Vậy bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số a, b, c bằng 0 và số còn lại thuộc đoạn [0; 2] hoặc cả ba số a, b, c đều bằng 2.
Bài 21. Chứng minh rằng với a, b ẻ [0; 2] thì .
Giải. Giả sử a ³ b. Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có 
 (2 - b) (2 + b) Ê 4 ị (2 - a)(2 - b) Ê .
 Lại có: . 
 Suy ra (2 – a) (2 – b) Ê Û . 
 Dễ thấy đẳng thức xảy ra Û a = b = 2.