Toán 10 - Bài 1: Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
§1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn điệu trên một khoảng. Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ đề cập đến việc xét sự biến thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm.
Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm
Định lý: Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng . Khi đó
 đồng biến trên ;
 nghịch biến trên ;
 không đổi trên .
Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu của đạo hàm. Như vậy ta cần nắm được
Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất;
Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai;
Quy tắc xét dấu của một biểu thức.
Quy tắc xét dấu một biểu thức
Giả sử hàm không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm , , , đôi một khác nhau và . Ký hiệu là một trong các khoảng , , , , . Khi nó nếu liên tục trên thì không đổi dấu trên đó.
MỘT SỐ VÍ DỤ
Xét sự biến thiên của hàm số .
Giải. Ta có TXĐ , . Ta thấy với mọi TXĐ, dấu của chính là dấu của tam thức bậc hai . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
, ,
, .
Kết luận. đồng biến trên và , nghịch biến trên và .
Xét chiều biến thiên của hàm số .
Giải. Ta có TXĐ, với mọi . Do đó với mọi , trái dấu với . Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình bên.
Kết luận. hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên .
Xét sự biến thiên của hàm số .
Giải. Ta có TXĐ và 
 .
Do đó với mọi , trái dấu với . Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình bên.
Kết luận. hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên .
Nhận xét. Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình.
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số .
Giải. Ta thấy . Vậy .
, .
Ta có 	 	 
 .
 .
Bảng biến thiên:
Kết luận. hàm đã cho đồng biến trên , nghịch biến trên .
[ĐHA08] Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 
.
Giải. Ta có TXĐ và 
 ().
Ta thấy:
;
;
Tương tự, ta có .
Bảng biến thiên
Kết luận: hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên .
BÀI TẬP
Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây
;
;
;
;
;
;
;
;
 ;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Chứng minh
đồng biến trên .
nghịch biến trên các khoảng , .
 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
 đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
 nghịch biến trên .
đồng biến trên .
HƯỚNG DẪN HOẶC ĐÁP SỐ
Bài 1. 1) Hàm số nghịch biến trên ; 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên ; 3) Hàm số đồng biến trên ; 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên các khoảng và ; 5) Hàm số đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến trên các khoảng và ; 6) Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên ; 7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng và ); 8) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng và ); 9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên các khoảng và ;
10) Hướng dẫn. 
, .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên các khoảng và .
11) Hướng dẫn.
, .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên .
12) Hướng dẫn.
, .
Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên .
13) Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên ; 14) Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên ; 15) Hướng dẫn. . Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên ; 16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên các khoảng và ;
17) Hướng dẫn.
, ().
 .
 . Tương tự: .
Hàm số nghịch đồng trên , nghịch biến trên .
18) Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên ; 19) Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên .
§2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau:
Sự biến thiên của hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “”
Hàm bậc ba
Hàm bậc ba có dạng (). Ta có là tam thức bậc hai có . Ta có bảng sau:
 Sự biến thiên của 
Đồng biến trên các khoảng và ;
Nghịch biến trên khoảng .
Đồng biến trên .
Nghịch biến trên các khoảng và ;
Đồng biến trên khoảng .
Nghịch biến trên .
Trong đó, là các nghiệm của trong trường hợp có hai nghiệm phân biệt. 
Hàm bậc bốn trùng phương
Hàm bậc bốn trùng phương có dạng (). 
Ta có . 
 Sự biến thiên của 
 nghịch biến trên , đồng biến trên ;
Nghịch biến trên các khoảng và .
Đồng biến trên các khoảng và .
Đồng biến trên các khoảng và .
Nghịch biến trên các khoảng và .
Đồng biến trên , nghịch biến trên .
Hàm “”
Hàm “” có dạng (, , )
Ta có không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:
 đồng biến trên từng khoảng xác định;
 nghịch biến trên từng khoảng xác định .
Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng
 đồng biến (nghịch biến) trên có ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó.
MỘT SỐ VÍ DỤ
Xét sự biến thiên của hàm số .
Giải. Ta có , . Ta có hai trường hợp sau
Trường hợp 1. hàm số đồng biến trên .
Trường hợp 2. có hai nghiệm phân biệt , .
Bảng biến thiên
, .
Trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên và , nghịch biến trên .
Tìm để hàm số nghịch biến trên .
Giải. Ta có . là tam thức bậc hai có hệ số của là ,. Do đó hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
 .
Chú ý (Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu không đổi)
Xét tam thức bậc hai (, ). Ta có
+) ;
+) .
Tìm để hàm số đồng biến trên .
Giải. Ta có . .
Bảng biến thiên:
, .
Ta thấy hàm số đồng biến trên và . Do đó hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
 .
[ĐHA13] Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng .
Giải. Ta có . 
Cách1. là tam thức bậc hai có .
TH1: . Khi đó hàm số nghịch biến trên nên cũng nghịch biến trên .
TH2: . Khi đó, có hai nghiệm phân biệt .
Do đó hàm số có hai khoảng nghịch biến là và (xem bảng biến thiên).
Hàm số nghịch biến trên 
 .
Tóm lại hàm số đã cho nghịch biến trên khi và chỉ khi .
Xét sự biến thiên của hàm số .
Giải. Ta có .
TH1: có nghiệm duy nhất và đổi dấu đúng một lần khi đi qua .
Bảng biến thiên:
Ở đây, .
KL: hàm số đồng nghịch biến trên đồng biến trên .
TH2: có ba nghiệm phân biệt là và và đổi dấu liên tiếp khi đi qua các nghiệm.
Bảng biến thiên:
Ở đây, .
KL: hàm số đồng nghịch biến trên các khoảng và và đồng biến trên và .
Tìm để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải. Ta có TXĐ và .
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
 TXĐ .
BÀI TẬP
Tìm để hàm số
 đồng biến trên ;
 đồng biến trên ;
 đồng biến trến ;
đồng biến trên ;
 đồng biến trên ;
 đồng biến trên từng khoảng xác định;
 nghịch biến trên từng khoảng xác định.
ĐÁP SỐ
1) hoặc ; 2) hoặc ; 3) ; 4) ; 5) hoặc ; 6) ; 7) .
§3. Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để xét phương trình
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong nhiều trường hợp, việc xét phương trình
 (1)
được đưa về xét sự tương giao giữa đường thẳng với đồ thị (C) của hàm số . Sau đây là một số kết luận hay gặp
(1) có nghiệm khi và chỉ khi có điểm chung với (C).
Số nghiệm của (1) bằng số điểm chung của đường thẳng với (C).
Nghiệm của (1) là hoành độ điểm chung của và (C).
MỘT SỐ VÍ DỤ
Cho phương trình .	(1)
Tìm để (1) có nghiệm.
Tìm để (1) có hai nghiệm phân biệt.
Giải. Điều kiện: . Xét , . Ta có 
 ().
Bảng biến thiên
Kết luận
(1) có nghiệm đường thẳng có điểm chung với đồ thị hàm số ;
 có nghiệm phân biệt đường thẳng có điểm chung với đồ thị hàm số .
Tìm để phương trình sau có nghiệm 
.	(1)
Giải. Dễ thấy không phải nghiệm của (1) nên: 	
(1) .
Xét hàm với , ta có .
Bảng biến thiên
Kết luận
(1) có nghiệm đường thẳng có điểm chung với đồ thị hàm số , .
[ĐHA08] Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
.	(1)
Giải. Đặt là vế phải của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên của .
Ta có TXĐ và
 ().
Ta thấy và
 .
Tương tự, .
Bảng biến thiên:
Kết luận: 
(1) có hai nghiệm phân biệt 
 .
[ĐHB09] Tìm để phương trình sau có nghiệm phân biệt.
 . 	(1)
Giải. Đặt là vế trái của phương trình (1). Sau đây ta khảo sát sự biến thiên của .
Ta có , 
 ().
Ta thấy với , cùng dấu với .
Bảng biến thiên:
Ở đây, .
Kết luận:
 có nghiệm phân biệt .
[ĐHB07] Chứng minh với mọi giá trị dương , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
.	(1)
Giải. Điều kiện: . Ta thấy vế trái của (1) không âm với mọi , do đó:
(1) 	 
 .
Xét , . Ta có , .
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiến suy ra: với thì (2) luôn có đúng một nghiệm (1) có đúng nghiệm (ĐPCM).
 [ĐHD04] Chứng minh phương trình sau có đúng nghiệm
.	(1)
Giải. Giả sử là nghiệm của (1), ta có
 .
Do đó, để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm duy nhất thuộc . Xét , . Ta có 
 .
Bảng biến thiên của , 
Ta thấy đồ thị hàm số () có đúng một điểm chung với trục hoành (1) có nghiệm duy nhất thuộc (1) có nghiệm duy nhất (ĐPCM).
Tìm để phương trình sau có nghiệm phân biệt
	.	(1)
Giải. Ta có 	
(1) .
Đặt 	
	, 	(2)
phương trình đã cho trở thành	
	.	(3)
(2) (). (2) có nghiệm .
Xét , . Ta có .
Ta thấy () cho đúng một nghiệm , () cho đúng hai nghiệm .
Do đó (1) có nghiệm phân biệt (3) có nghiệm .
Tìm để phương trình sau có nghiệm
	.	(1)
Giải. Ta có 	
 .
Đặt .	(2)
(2) có nghiệm . Từ , bình phương hai vế ta được
 .
Do đó, với phép đặt ẩn phụ (2), phương trình (1) trở thảnh
	 .	(3)
Xét , . Ta có .
Do đó có nghiệm có nghiệm .
[ĐHB04] Tìm để phương trình sau có nghiệm
.	(1)
Giải. Điều kiện: . Đặt
 .	(2)
Ta tìm điều kiện của để (2) có nghiệm đối với . Xét , .
Ta có (với ) cùng dấu với .
Bảng biến thiên của :
Suy ra: (2) có nghiệm đối với khi và chỉ khi .
Ta có (2) trở thành
 (do ).	(3)	
Xét hàm , . Ta có , dấu “” xảy ra .
Bảng biến thiên của :
(1) có nghiệm (3) có nghiệm .
[ĐHA07] Tìm để phương trình sau có nghiệm:
.	
Giải. Điều kiện: . Chia hai vế cho ta được phương trình tương đương:
.
Đặt , dễ thấy phương trình này có nghiệm .
Với phép đặt ẩn phụ như trên, phương trình đang xét trở thành:
 .	(2)
Xét (), ta có .
Bảng biến thiên của là:
(1) có nghiệm (2) có nghiệm .
BÀI TẬP
Tìm để các phương trình sau có nghiệm:
;
;
;
;
;
.
[ĐHA02] Tìm để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Chứng minh với mọi , phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng .
Tìm để phương trình có nghiệm thuộc đoạn .
[ĐHA02] Cho phương trình .
Giải phương trình khi .
Tìm để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn .
Biện luận theo số nghiệm của phương trình .
Giải phương trình .
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1. 1) ; 2) ; 3) ;	4) ; 5) HD đặt . ĐS: ; 6) HD đặt . ĐS: .
Bài 2. 	. Bài 4. . Bài 5	. HD đặt . ĐS: . Bài 6 1) ; 2) HD đặt . ĐS: . Bài 7	: phương trình có nghiệm; : phương trình có nghiệm; : phương trình có nghiệm. Bài 8	G (1). (1) (2). Xét , ta có , đồng biến trên , lại có và phương trình có nghiệm duy nhất (giả sử nghiệm đó là ). Vì đồng biến nên , đồng biến trên , nghịch biến trên có tối đa hai nghiệm, mặt khác ta thấy và là các nghiệm của là tập nghiệm của hay là tập nghiệm của .