Tìm hiểu định lý Nhật bản về tứ giác nội tiếp

Tìm hiểu
Định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp
Nhật Bản, đất nước còn lưu giữ nhiêu bài toán cổ, có nững bài toán gần đây mới được thế giới biết đến. Do tính chất độc đáo của nó, bài toán dưới đây được mang tên “Đnhj lý Nhật Bản”. NST xin giới thiệu, mời các bạn tham khảo.
I. Định lý Nhật Bản và 1 số định lý liên quan trong toán học
I.1- Nội dung định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp:
* Định lý Nhật Bản phát biểu:
Cho  là một tứ giác nội tiếp và  lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp với các tam giác có đỉnh là 4 đỉnh và đáy là đường chéo của tứ giác ( ) thì khi đó tứ giác tạo bởi bốn tâm điểm   là hình chữ nhật.
* Phương pháp chứng minh:
- Người ta sử dụng định lý Carnot để chứng minh định lý định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp
- Định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp được chứng minh là một mở rộng của định lý Nhãn Cầu
- Định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp có thể dùng để chứng minh trường hợp tổng quát hơn là định lý Nhật Bản cho một đa giác nội tiếp.
I.2- Định lý Nhãn Cầu
* Định lý:
Cho hai đường tròn tâm (O1), (O1) không cắt nhau. Từ điểm O1 kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn (O2) các tiếp tuyền này cắt (O1) tại A,B . Từ điểm O2 kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn (O1) các tiếp tuyền này cắt (O2) tại C,D.
 è Khi đó bốn điểm A,B,C,D tạo thành một hình chữ nhật.
 Hình ảnh về nhãn cầu và tia sáng
Người ta đã chứng minh được địn lý này với tứ giác ABC D và cả vơi tứ giác A’B’C’D’(Xem phần dưới đây)
Có lẽ tên định lý đặt ra do liên hệ với “Hình ảnh nhãn cầu” à
* Chứng minh định lý nhãn cầu
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
 Từ các đẳng thức trên suy ra ĐPCM
I.3-Định lý Carnot về tổng khoảng cách tâm ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác
Định lý Carnot này khẳng định tổng khoảng cách có hướng 'từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác chính bằng tổng bán kính của đường tròn nội tiếp cộng ngoại tiếp.
Với các ký hiệu như hình vẽ:
Trong đó:
 r  là bán kính đường tròn nội tiếp và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. 
Khoảng cách có dấu được hiểu như sauDX (X = F, G, H) sẽ mang dấu âm khi và chỉ khi nó nằm hoàn toàn bên ngoài tam giác. 
Trong hình vẽ DF mang dấu âm DG và DH mang dấu dương.
Định lý trên được sử dụng để chứng minh định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp.
Ghi chú:
Có 4 định lý được đặt tên là định lý Carnot. 
Định lý thứ nhất nói về tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba cạnh tam giác. 
Định lý thứ hai nói về điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng vuông góc với ba cạnh tam giác đồng quy, còn gọi là định lý Carnot về tam giác hình chiếu. 
Định lý thứ ba nói về điều kiện cần và đủ để sáu điểm trên một cạnh của tam giác nằm trên một đường conic gọi là định lý Carnot về đường conic. 
Định lý thứ tư là một mở rộng định lý đường thẳng Simson.
 (Bài này xin chỉ đề cập 1 Định lý liên quan định lý Nhật Bản)
II. Xuát xứ & phát triển của “Định lý Nhật Bản”
II.1- Các Bài toán sangaku.
Những bảng gỗ được sơn đẹp đẽ dùng để trang hoàng nhiều ngôi đền cổ ở Nhật có những bài toán và các định lý hình học lý thú. Chúng được gọi là “Bài toán sangaku”, đơn giản nghĩa là các bài toán trong bảng Sangaku. Ký tự trên các bảng là một dạng chữ Hán cổ,
Các nhà toán học đánh giá: “Sangaku thật độc đáo. Chúng không chỉ đặc biệt đẹp mà những bài toán đó cũng thường đặc biệt khó. Và lời giải có thể rất thông minh. Một số những bước người ta dùng để giải các bài toán đó ta chưa từng biết đến.”
Phần lớn các sangaku chỉ đơn giản đưa ra định lý và cung cấp một biểu đồ, nhưng chúng lại thiếu chứng minh. Hoặc giả người Nhật thời ấy có cách chứng minh riêng, họ chưa có định lý Pytagor, định lý Viet
Ngày nay, chúng ta có cách chứng minh trực tiếp nhất là dựa vào định lý Carnot, định lý này chỉ được chứng minh ở phương Tây khoảng 100 năm sau khi người Nhật làm ra những sangaku. 
Định lý Nhật Bản có tên như vậy cũng xứng đáng !
II.2- Các bài toán cùng dạng với “Định lý Nhật Bản tổng quát”
Đây là một loại “bài toán sangaku”. 
Bài 1: Vẽ một hình đa giác trong một hình tròn với mỗi góc của nó nằm trên đường tròn. Chọn một trong những đỉnh của đa giác và nối nó với các đỉnh khác, chia đa giác này thành nhiều hình tam giác. Trong những hình tam giác này, vẽ một đường tròn vừa chạm các cạnh của tam giác.Tổng số các bán kính của các hình tròn này sẽ là hằng số, không cần biết bạn chọn đỉnh nào.
Bài 2
Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp hai đường tròn có bán kính R và hai đường tròn  nhỏ có bán kính r như trong hình. 
Ta biết AC = 2a và BD = 2b 
 Tìm R và r theo a và b 
Bài 3
Một hình thoi ABCD cạnh k và một đường tròn nhỏ bán kính r nội tiếp trong tam  giác vuông EBF có cạnh là a, b, c. 
Tìm 2r theo a, b và c.
Mời các bạn giải3 bài toán trên! Nếu chưa giải được mời tham khảo bài tiếp
PHH sưu tầm và biên chỉnh tổng hợp - 12/2015
Nguồn TK chính: VietMaths & Wikipedia.vn