Tìm hiểu các kỹ thuật giải hệ phương trình (ôn thi THPT quốc gia)

 TÌM HIỂU 
CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/ng.huubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
(ÔN THI THPT QUỐC GIA) 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
LỜI GIỚI THIỆU 
Các em học sinh thân thân mến, trong đề thi ĐH môn Toán những năm gần đây 
thường xuyên xuất hiện câu giải hệ phương trình, câu hỏi này thường là thuộc hệ thống 
câu hỏi khó, có tính chất phân loại trong đề thi, mốc đạt điểm từ 8 đến 10. Phương 
pháp suy luận để giải quyết đối với loại câu hỏi này cũng khá đa dạng, thầy có thể kể 
ra một số phương pháp phổ biến như sau: 
(1) Phương pháp rút - thế 
(2) Phương pháp nhóm nhân tử chung 
(3) Phương pháp dùng hàm số và đạo hàm 
(4) Phương pháp dùng BĐT vec - tơ 
(5) Phương pháp dùng số phức 
(6) Phương pháp nhân liên hợp và đánh giá 
(7) Phương pháp lượng giác hóa 
Sự phân chia và liệt kê các phương pháp nói trên cũng chỉ mang tính chất tương 
đối, vì trên thực tế trong đề thi chúng ta thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương 
pháp đan xen hợp lý để giải quyết bài tập (rất ít đề thi chỉ dùng 1 phương pháp độc 
lập). Vậy câu hỏi đặt ra là “làm thế nào nhận biết được bài tập đã cho dùng phương 
pháp nào?”, đôi khi có bài tập có một vài cách giải khác nhau tuy nhiên sẽ có cách hay 
nhất, dễ hiểu nhất. Để giảm bớt “nỗi lo âu” của các em học sinh đối với loại bài tập 
này, thầy biên soạn cuốn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài 
liệu bao gồm 120 bài tập giải hệ phương trình - minh họa đầy đủ các kỹ thuật giải hệ 
phương trình trong đề thi đại học, đặc biệt 24 bài tập đầu thầy không chỉ hướng dẫn 
làm bài mà quan trọng hơn đó là đi sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương 
ứng, như vậy dần dần các em sẽ tích lũy được thành kinh nghiệm - “bí kíp” cho riêng 
mình. Sau 24 bài tập, thầy sẽ đưa ra một loạt các bài tập tự luyện kèm hướng dẫn giải 
bám sát cấu trúc ra đề theo xu thế mới hiện nay để các em tự thực hành và đối chiếu 
hướng dẫn giải. Phương châm và mong muốn của thầy là học xong tài liệu này, các em 
sẽ giải quyết tốt câu giải hệ phương trình trong đề thi sắp tới (nếu có). 
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! 
Nguyễn Hữu Biển - https://www.facebook.com/ng.huubien 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 1 : Giải hệ phương trình ( ) ( )3 2 2 2 2 2
2
x 4y 3y 5y x y x 4y 8
12 2x 2y 2 y 4
 (1)
x + (2)
 + + − = + +


− = − −
Phân tích tìm lời giải 
+ ĐK: 
2 2
x 5y
0 x 6
y 0
 ≤

< ≤
 ≥
+ Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản hơn (1). Tuy rằng (2) 
có biến x và y cô lập ở từng vế nhưng ta không thể biến đổi để sử dụng “hàm đại diện” 
được. Vì vậy, ta sẽ “mò nghiệm” để tìm quan hệ của x và y. Thật vậy: 
- Từ (2) ta cho y 4 x 12 2x 24= ⇒ + − = , bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm, 
vì vậy ta bỏ qua việc suy luận từ (2) 
+ Bây giờ ta chỉ còn cách quay về (1) để “nghiên cứu”. Ta thấy như sau: 
- Từ (1) ta cho ( )2 2y 1 x 7 5 x x 12= ⇒ + − = + , bấm máy giải phương trình này có x 2= 
- Từ (1) ta cho ( ) ( )2 2y 2 x 38 20 x 4 x 24= ⇒ + − = + , bấm máy giải phương trình có x 4= 
Vậy với 2 giá trị ta nhận thấy dự đoán x 2y x 2y 0= ⇔ − = , điều này khiến ta có 
suy luận rằng, nếu biến đổi (1) một cách khéo léo, ta sẽ ép được nhân tử chung là 
( )x 2y− . Bây giờ ta sẽ “ép nhân tử chung” từ (1) như sau: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 4 2
3 4 2 2 3 2 2 2
3 2 2 2 2
3
2 2
3
2 2
x 4y 3y 5y x y x 4y 8
4xy 3xy x 5y x x y 4y 8y
2xy 4y x 5y x xy 4xy 2xy 8y x y 0
2y x 2y x 5y x y y 4x 2xy 8y x y 0
x x 2y x 2y
2y x 2y y x 2y 4 xy 0
5y x y
x x 2y
x 2y 3y y 4 xy
5y x y
+ + − = + +
⇔ + + − = + +
⇔ − + − − + + − − =
⇔ − + − − + + − − =
− +
⇔ − − + − + =
− −
 +
⇔ − − + +
− +
0

=
 
+ Như vậy ta đã ép được nhân tử chung ( )x 2y− từ (1), tuy nhiên cái ngoặc vuông 
“khổng lồ” gắn kèm kia ta rất khó để chứng minh được nó khác 0. Có lẽ cách làm này 
vẫn không khả thi cho lắm. 
+ Sau một hồi suy luận mất khá nhiều thời gian và công sức, ta cũng chỉ mới biết được 
x 2y x 2y 0= ⇔ − = . Bây giờ con đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh 
giá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có ( )x 2y− nhé. Thật vậy, từ (1) ta biến đổi như sau: 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
( ) ( )
( )
3 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 4 2
2 2 2 2 2 4 3
22 2 2 2
x 4y 3y 5y x y x 4y 8
4xy 3xy x 5y x x y 4y 8y
3xy x 5y x 8y x y 4y 4xy
3xy x 5y x 8y 2y xy (3)
+ + − = + +
⇔ + + − = + +
⇔ + − − = + −
⇔ + − − = −
+ Nhận thấy ( )222y xy 0− ≥ , vậy từ (3) 2 2 23xy x 5y x 8y 0⇒ + − − ≥ 
2
2
x x x3 5 8 0
y y y
x x x5 8 3
y y y
 (4)
   
⇔ + − − ≥   
   
   
⇔ − ≥ −   
   
+ Mặt khác, từ ĐK 
2
2 2 x x xx 5y 5 0 5 8 3 0
y y y
   
≤ ⇔ ≤ ⇔    
   
, vậy BPT (4) có 2 vế 
không âm nên bình phương 2 vế và biến đổi ta được kết quả: 
4 2
x x x4 48 64 0
y y y
     
+ − + ≤     
     
, đặt xt 0
y
= ≥ 
( ) ( )
( )
( )
24 2 2
2 2
2
t 4t 48t 64 0 t 2 t 4t 16 0
t 2 0 t 4t 16 0, t 0)
x
t 2 0 t 2 2 x 2y
y
 (do 
⇒ + − + ≤ ⇔ − + + ≤
⇔ − ≤ + + > ∀ ≥
⇔ − = ⇔ = ⇒ = ⇔ =
+ Cuối cùng ta đã tìm được hướng làm đúng, bây giờ thì thay x 2y= vào (2) ta có: 
( ) ( )
2
2
2
2 22
2y 12 4y 2y 2 y 4
3 y y y y 2
y y 2 0 y 2
3 y y y y 2
 (do y 0)
 (5)
+ − = − −
⇔ − + = − −
 − − ≥ ⇔ ≥ ≥

⇔ 
− + = − −
+ Từ (5) biến đổi ta được: ( )4 3 2y 2y 3y 4y 1 2 y 3 y (6)− − + + = − 
+ Phương trình (6) quả thật không dễ gì giải quyết được, nếu bình phương 2 vế tiếp tục, 
sẽ được phương trình bậc 8 (ghê gớm quá) nên không ai đi làm thế cả !!! 
+ Bây giờ bạn hãy quan sát căn bậc 2 bên phải, ta đoán rằng sẽ tạo ra lượng thích hợp để 
nhân liên hợp rồi đoán nhân tử chung, vậy trước hết ta sẽ nghĩ đến việc tạo ra lượng 
( )( )y 3 y 1− − ( )( ) ( )( )
2y 3y 1
y 3 y 1
y 3 y 1
− − +
⇒ − − =
− −
 ⇒ đoán nhân tử chung là ( )2y 3y 1− + . 
+ Vậy vấn đề là ta phải ép cho vế trái của (6) có được nhân tử chung là ( )2y 3y 1− + : 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 3 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2 3 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
y 2y 3y 4y 1 2 y 3 y 1
y y y 3y 3y 3y y y 1 2 y 3 y 1
2 y 3y 1
y y y 1 3y y y 1 y y 1
y 3 y 1
2 y 3y 1
y y 1 y 3y 1 0
y 3 y 1
2y 3y 1 y y 1 0
y 3 y 1
2y 3y 1 0 y y 1 0
y 3 y 1
3 5y
2
 do 
− − + − = − −
⇔ + − − − + + + − = − −
− − +
⇔ + − − + − + + − =
− +
− +
⇔ + − − + + =
− +
 
 ⇔ − + + − + =
 
− + 
⇔ − + = + + + >
− +
−
= <
⇔
2
3 5y x 3 5
2



 +
= ⇒ = +

* Chú ý: các bạn có thể phân tích đa thức 4 3 2y 2y 3y 4y 1− − + − thành nhân tử với nhân tử 
chung là 2y 3y 1− + bằng 1 trong 2 cách sau: 
- Cách 1: Chia đa thức 4 3 2y 2y 3y 4y 1− − + − cho đa thức 2y 3y 1− + 
- Cách 2: Dùng hệ số bất định ( )( )4 3 2 2 2y 2y 3y 4y 1 y 3y 1 y my 1 m?− − + − = − + + − ⇒ 
Vậy HPT có nghiệm 3 5(x; y) 3 5;
2
 +
= +  
 
Bài 2 : Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
x y 3 y 3x 7
y 1 2y 1 x x xy 3y
 (1)
 (2)
 + + = − +

− + + = + + +
Phân tích tìm lời giải 
+ ĐK 
2y 3x
y 1
x 0
 ≥
 ≥
 ≥
+ Ở bài này ta sẽ không xuất phát từ (1), bởi vì có 2 số 3 và 7 rời nhau nên nếu giải 
thường sẽ cho nghiệm không phải số nguyên. 
+ Xét phương trình (2) để “xử lý” ta thấy: 
- Nếu cho ( )2y 1 x x x 0 x 1 x x x 0 x 0= ⇒ + + = ⇔ + + = ⇔ = 
- Nếu cho 2y 2 x x 2x 4= ⇒ + + = , bấm máy giải phương trình x 1⇒ = 
+ Như vậy đến đây ta dự đoán y x 1 y x 1 0= + ⇔ − − = , vậy nhân tử chung dự đoán sẽ là 
( )y x 1− − , bây giờ ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) như sau: 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
2 2
2 2
2 2
y 1 2y 1 x x xy 3y
y 1 x x xy 3y 2y 1
y 1 x
x xy 3y 2y 1
y 1 x
 (3)
− + + = + + +
⇔ − − = + + − −
− −
⇔ = + + − −
− +
+ Ta cần phân tích đa thức ở vế phải của (3) thành nhân tử với nhân tử chung là 
( )y x 1− − , công việc này không hề đơn giản. Cách xử lý khéo léo là ta coi VP của (3) là 
phương trình bậc 2 ẩn x: ( )2 2x xy 3y 2y 1 0+ + − − = 
- Tính ( ) ( )22 2y 4.1. 3y 2y 1 3y 2 0∆ = = − − = − ≥ , vậy phương trình ( )2 2x xy 3y 2y 1 0+ + − − = 
có 2 nghiệm là : 
y 3y 2
x
x y 1 02
y 3y 2 x 2y 1 0
x
2
− + −
=
− + =
⇔ 
− − + + − =
=

( ) ( )( )2 2x xy 3y 2y 1 x y 1 x 2y 1⇒ + + − − = − − + − 
- Vậy (3) 
( )( )
( )
y 1 x
x y 1 x 2y 1
y 1 x
1y x 1 x 2y 1 0
y 1 x
− −
⇔ = − − + −
− +
 
⇔ − − + + − =  
− + 
- Ta thấy với ĐK 1x 0; y 1 x 2y 1 0 y x 1 0 y x 1
y 1 x
 
≥ ≥ ⇒ + + − > ⇒ − − = ⇒ = +  
− + 
 thay 
vào (1) ta được: 
2 2x x 1 3 x x 1 7 (4)+ + + = − + + , bấm máy thấy phương trình này có nghiệm x 2= , 
vậy ta sẽ biến đổi để xuất hiện nhân tử chung là ( )x 2− : Bình phương 2 vế và biến đổi ta 
được: 
( )( )
( )
2 2
2
2 2
2 2
2 2
x 2 7x 7x 7 3x 3x 3
4x 10x 4
x 2
7x 7x 7 3x 3x 3
2 x 2 2x 1
x 2
7x 7x 7 3x 3x 3
4x 2
x 2 1 0
7x 7x 7 3x 3x 3
− = − + − + +
− +
⇔ − =
− + + + +
− −
⇔ − =
− + + + +
 
−
⇔ − − = 
− + + + + 
+ Đến đây mặc dù đã xuất hiện nhân tử chung là ( )x 2− , tuy nhiên đại lượng trong dấu 
ngoặc thứ hai là 
2 2
4x 21
7x 7x 7 3x 3x 3
 
−
− 
− + + + + 
 ta không thể chứng minh cho nó 0≠ , 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
hơn nữa nếu xét phương trình 
2 2
4x 21 0
7x 7x 7 3x 3x 3
 
−
− = 
− + + + + 
 thì việc giải phương 
trình này là rất khó. 
+ Bây giờ ta phải quay trở về phương trình (4) để đổi hướng làm bài như sau: 
2 2 2 2x x 1 3 x x 1 7 x x 1 x x 1 7 3 (4) (5)+ + + = − + + ⇔ + + − − + = − 
+ Ý tưởng làm bài lúc này là ta sẽ chứng minh cho VT của (5) là hàm đơn điệu để suy ra 
x 2= là nghiệm duy nhất của (5). 
- Xét hàm số : 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2x 1 2x 1f (x) x x 1 x x 1 f '(x)
2 x x 1 2 x x 1
2x 1 2x 1f '(x)
2x 1 3 2x 1 3
+ −
= + + − − + ⇒ = −
+ + − +
+ −
⇔ = −
+ + − +
- Xét hàm số 
( )2 22
t 3f (t) , t R f '(t) 0, t
t 3 t 3
= ∈ ⇒ = > ∀
+ +
 f (t)⇒ là hàm đồng biến 
- Mặt khác ta có 
( ) ( )2 2
2x 1 2x 12x 1 2x 1 g(2x 1) g(2x 1)
2x 1 3 2x 1 3
+ −
+ > − ⇒ + > − ⇒ >
+ + − +
( ) ( )2 2
2x 1 2x 1f '(x) 0 f (x)
2x 1 3 2x 1 3
+ −
⇒ = − > ⇒
+ + − +
 là hàm đồng biến. 
Vậy x 2= là nghiệm duy nhất của (5). KL: (x; y) (2;3)= 
Bài 3: Giải hệ phương trình 
( )
( )
34 3 2
3 32 2 4 2 3 3
x x x 1 x y 1 1
x y 2 x x y 2y y 1 x x
 (1)
 (2)
 + − + = − +

− + + + = − +
Phân tích tìm lời giải 
+ ĐK: 
3 2x x 1 0
y 1

− + ≥

≥
+ Ở bài này đối với phương trình (1) trong căn là đa thức có 3 hạng tử nên ta loại trừ PP 
nhân lượng liên hợp, vậy ta xuất phát từ (2) để biến đổi mấy căn rắc rối kia xem hình 
dạng biểu thức thu được ra sao nhé ! 
+ Từ (2) ta biến đổi: 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 32 2 4 2 3 3
22 33 3 3
2 2
3 3
2
3
3
x y 2 x x y 2y y 1 x x
x 2x. x x 2y y 1 x x y y 0
x x 2y y 1 x x y y 1 0
x x y y 1 0
x x y y 1 0
− + + + = − +
 ⇔ + + − − + + − =
  
⇔ + − − + + − =
⇔ + − − =
⇔ + − − =
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 6 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
( ) ( )
( ) ( )
3
3 3
3 3
3 3
x x y 1 1 . y 1
x x y 1 y 1 (3)
⇔ + = − + −
⇔ + = − + −
+ Như vậy sau khi biến đổi (2) thì kết quả thu được tự nhiên rất tốt, do đó đây là điều hết 
sức may mắn và ngẫu nhiên. 
+ Đến đây ta xét hàm số 3 2f (t) t t f '(t) 3t 1 0 f (t)= + ⇒ = + > ⇒ là hàm đồng biến 
Vậy từ (3) ( ) ( ) ( )3 23 3f x f y 1 x y 1 y 1 x⇒ = − ⇒ = − ⇒ − = thay vào (1) ta được: 
( ) ( )
( )
( )
( )
4 3 2 3
3 2 2 4 3 2
3 2 4
4 3 2
3 2 2
4 3 2
3 2 2
4 3 2
3 2 2
2
23 2 2
x x x 1 x 1
x x 1 x x x x 1 0
x x 1 x
x x x 1 0
x x 1 x
1
x x x 1 1 0
x x 1 x
x x x 1 0
x x 1 x 1
x 1
1 x 0
x x 1 1 x
x 1 y 2
x 0 y 1
+ − + = +
⇔ − + − + − + − =
− + −
⇔ + − + − =
− + +
 
⇔ − + − − = 
− + + 

− + − =
⇔ 
− + + =
=

 − ≥⇔ 

− + = −
= ⇒ =
⇔ 
= ⇒ =
KL: HPT có nghiệm (x; y) (1;2), (0;1)= 
Bài 4: Giải hệ phương trình 
( )( )
( )( )
2 2 2 23x 3y 8 y x y xy x 6
x y 13 3y 14 x 1 5
 (1)
 (2)
 + + = − + + +

+ − − − + =
Phân tích tìm lời giải 
+ ĐK: 
x 1
14y
3
≥ −

 ≥
+ Quan sát phương trình (1), nếu ta thực hiện mở dấu ngoặc và chuyển vế thì sẽ cô lập 
được x và y sang từng vế, thật vậy: 
( )( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 3
3 2 3 2
3x 3y 8 y x y xy x 6
3x 3y 8 y x y xy x 6
3x 3y 8 y x 6 y x
x 3x 6x 8 y 3y 6y (3)
+ + = − + + +
 ⇔ + + = − + + + 
⇔ + + = − + −
⇔ + + + = − +
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 7 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
+ Ở phương trình (3) đã cô lập x và y sang từng vế, mặt khác mỗi vế đều có dạng đa thức 
bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng 
“hàm đại diện”. 
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2
3 3
x 3x 6x 8 y 3y 6y
x 1 3 x 1 y 1 3 y 1 (4)
+ + + = − +
⇔ + + + = − + −
+ Đến đây ổn rồi, xét hàm số 3 2f (t) t 3t f '(t) 3t 3 0 f (t)= + ⇒ = + > ⇒ là hàm đồng biến 
Vậy từ (4) f (x 1) f (y 1) x 1 y 1 y x 2⇒ + = − ⇔ + = − ⇔ = + thay vào (2) ta được: 
( )( ) 52x 11 3x 8 x 1 5 3x 8 x 1 2x 11
5 8 113x 8 x 1 ; x
2x 11 3 2
=0 (5)
− − − + = ⇔ − − + =
−
⇔ − − + − ≤ ≠
−
+ Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có 2 nghiệm 
x 3; x 8= = , tuy nhiên việc giải phương trình (5) là rất khó. Trong trường hợp này ta sẽ 
dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) chỉ có đúng 2 nghiệm x 3; x 8= = . 
+ Xét hàm số 5 8 11f (x) 3x 8 x 1 ; x
2x 11 3 2
= − − + − ≤ ≠
−
( )
( )
2
2
3 1 10f '(x)
2 3x 8 2 x 1 2x 1
3 x 1 3x 8 10 8 11f '(x) 0, x ; x
3 22 3x 8. x 1 2x 1
⇒ = − +
− +
−
+ − −
⇔ = + > ∀ ≥ ≠
− +
−
+ Ta có bảng biến thiên sau: 
++
+∞
11
2
8
3
f(x)
f'(x)
x
+ Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tại tối đa 2 điểm, vậy phương trình (5) chỉ có 2 
nghiệm x 3; x 8= = 
KL: HPT có nghiệm là (x; y) (3;5); (8;10)= 
Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( )( )2x 11 3x 8 x 1 5− − − + = bằng phương pháp 
nhân liên hợp thì ta sẽ biến đổi như sau: 
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2x 11 3x 8 x 1 5
2x 11 3x 8 1 2x 11 x 1 2 2 x 3 0
2x 11 .3 x 3 2x 11 . x 3
2 x 3 0
3x 8 1 x 1 2
− − − + =
⇔ − − − − − + − − − =
− − − −
⇔ − − − =
− + + +
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 8 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
( ) ( )( )
( )
( )
3 2x 11 2x 11
x 3 2 0
3x 8 1 x 1 2
 
− −
 ⇔ − − − =
 
− + + +
 
+ Tuy nhiên đến đây ta gặp khó khăn khi lý luận cho phương trình ở dấu ngoặc vuông kia 
có nghiệm duy nhất x 8= 
( )
( )
( )
( )
3 2x 11 2x 11
2 0
3x 8 1 x 1 2
 
− −
 
− − =
 
− + + +
 
Bài 5: Giải hệ phương trình 
( ) ( )2 2 2
2
4 2
y y 56ln x y x xy y 1
x x 5
34y 6y 2 3 4x 0
4
 (1)
 (2)
  + +
   = − + + −
  + + 

− + − − =

Phân tích tìm lời giải 
+ ĐK: 30 x
4
< ≤ 
+ Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 3 3
2 3 2 3
6ln y y 5 6ln x x 5 x y 2x 2y
6ln y y 5 y 2y 6ln x x 5 x 2x (3)
⇔ + + − + + = − − +
⇔ + + + − = + + + −
+ Xét hàm số ( )2 3f (t) 6 ln t t 5 t 2t, t R= + + + − ∈ 226f '(t) 3t 2t 5⇒ = + −+ 
+ Đến đây ta vẫn chưa chứng minh được f(t) là hàm đơn điệu, vậy ta sẽ tính f’’(t) và sử 
dụng PP “min - max”, thật vậy: 
( )32
1f ''(t) 6t 1
t 5
 
 
⇒ = − 
 +
 
, xét f ''(t) 0 t 0= ⇔ = , ta có bảng biến thiên sau: 
6
5
-2
0
-∞
+-
+∞0
f'(t)
f''(t)
t
+ Từ BBT ta thấy 6f '(t) 2 0 f '(t) 0 f (t)
5
≥ − > ⇒ > ⇒ là hàm đồng biến. 
+ Vậy từ (3) f (x) f (y) x y= ⇒ = thay vào (2) ta có: 4 2 34x 6x 2 3 4x 0
4
 (4)− + − − = 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 9 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
+ Việc giải phương trình (4) cũng không hề đơn giản, bây giờ ta dùng đến máy tính và 
thấy phương trình (4) chỉ có nghiệm duy nhất 1x
2
= , do đó ta phải chứng minh cho hàm 
số ở vế trái của (4) là hàm đơn điệu, thật vậy: 
+ Xét hàm số 4 2 3 3g(x) 4x 6x 2 3 4x , x 0;
4 4
 
= − + − − ∈ 
 
( )3 2 24 4 3g '(x) 16x 12x 4x 4x 3 0, x 0; 43 4x 3 4x
 
⇒ = − − = − − < ∀ ∈ 
− −  
g(x)⇒ là hàm nghịch biến 1x
2
⇒ = là nghiệm duy nhất của (4) 1y
2
⇒ = 
KL: HPT có nghiệm ( ) 1 1x; y ;
2 2
 
=  
 
Bài 6: Giải hệ phương trình ( )
2
3 2
2x x y 2
x 3x 2 y 2 1 y 0
 (1)
 (2)

− + =

− + + + − =
Phân tích tìm lời giải 
+ ĐK: 
2 0 x 22x x 0
0 y 10 y 1
≤ ≤
− ≥ 
⇔  ≤ ≤≤ ≤ 
+ Nhận thấy phương trình (2) có thể cô lập được x và y sang từng vế, mặt khác VT là đa 
thức bậc 3 đối với x, VP chứa căn bậc hai của đa thức bậc nhất đối với y, đối với hình 
thức này, ta thường sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
33
x 3x 2 y 2 1 y 0
x 3x 2 y 2 1 y
x 3x 3x 1 3 x 1 1 y 3 1 y
x 1 3 x 1 1 y 3 1 y
 (3)
− + + + − =
⇔ − + = − + −
 ⇔ − + − − − = − − − 
⇔ − − − = − − −
+ Xét hàm số 3f (t) t 3t= − , ta thấy 0 x 2 1 x 1 1 1 t 1
0 y 1 0 1 y 1
≤ ≤ − ≤ − ≤ 
⇔ ⇒ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ 
( ) [ ]2 2f '(t) 3t 3 3 t 1 0, t 1;1⇒ = − = − ≤ ∀ ∈ − f (t)⇒ là hàm nghịch biến. 
+ Từ (3) ( ) ( ) ( )2 2
x 1 0 x 1
f x 1 f 1 y x 1 1 y
y x 2xx 1 1 y
− ≥ ≥
− = − ⇒ − = − ⇔ ⇔ 
= − +− = − 
+ Thay vào (1) ta được: 2 22x x 2x x 2,1 x 2− + − = ≤ ≤ , giải PT này x 1⇒ = 
KL: HPT có nghiệm (x; y) (1;1)= 
Bài 7: Giải hệ phương trình ( )
2 2
5 2
3 1 x 3x y 1 3
x 5x y 2y 4 y 1
 (1)
 (2)

− + − − =

− = + − +
Phân tích tìm lời giải 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Trang 10 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
+ ĐK: 
2
2 2
1 x 0 1 x 1
3x y 1 0 y 1 3x
y 1 0 y 1

− ≥ − ≤ ≤
 
− − ≥ ⇔ + ≤ 
 + ≥ ≥ −
+ Quan sát thấy phương trình (2) cô lập được x và y sang mỗi vễ, hơn nữa đa thức trong 
căn bậc hai là bậc nhất nên ta sẽ nghĩ đến việc biến đổi (2) theo PP “hàm đại diện”. 
( )
( )
( )
5 2
25
55
x 5x y 2y 4 y 1
x 5x y 1 5 y 1
x 5x y 1 5 y 1 (3)
− = + − +
 ⇔ − = + − +
 
⇔ − = + − +
+ Xét hàm số 5f (t) t 5t= − 
+ Ta cần tìm điều kiện của : 
[ ]
2
x 1;1
t 1; 3y 1 3x
y 1 0; 3
y 1 0
 ∈ −

 ⇒ ∈ − + ≤   ⇒ + ∈  + ≥ 
+ Ta có ( )4 4f '(t) 5t 5 5 t 1= − = − , rõ ràng với t 1; 3 ∈ −  thì ta chưa thể xác định được 
hàm f(t) đơn điệu, điều này chứng tỏ ĐK của t tìm chưa sát (vẫn còn thiếu). Bây giờ ta 
phải nghiên cứu kỹ hơn để tìm ĐK cho t thật sát. 
+ Xét (1) ta thấy: 
2 2
2 2
2 2
3 3. 1 x 1. 3x y 1
3 3. 3 3x 1. 3x y 1
3 3 1. 3 3x 3x y 1
1 3 33 2 2 y y y 1 0 y 1
4 4 2
= − + − −
⇔ = − + − −
⇔ ≤ + − + − −
⇔ ≤ − ⇔ ≤ − ⇔ + ≤ ⇔ ≤ + ≤
+ Như vậy cuối cùng ta có 
[ ]
[ ]
x 1;1
t 1;13y 1 0