Tài liệu Tổng hợp Dao động điều hòa

TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN
 I. Thực trạng 
 Trong chương trình Vật lý 12, “ Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số ”(THDĐĐH) thuộc chương “ Dao động cơ ”. Sách giáo khoa chỉ đưa ra phương pháp giản đồ Fre-nen để đưa ra 2 công thức tính biên độ dao động tổng hợp (5-1) 
 và (5-2)
Đồng thời nêu ra hai trường hợp đặc biệt xét theo độ lệch pha là :
 Nếu các dao động thành phần cùng pha: ; n = 0,1, 2, 3,) thì A = A1 +A2
 Nếu các dao động thành phần ngược pha: ; n = 0,1, 2, 3,) thì A = .
 Với lượng kiến thức như trên HS chỉ nắm được một cách đơn thuần dưới góc độ toán học, không hiểu được ý nghĩa vật lý và cũng không xác định được sự vận dụng THDĐĐH xuyên suốt trong năm chương còn lại của sách vật lý 12.
 Đối với HS từ việc xác định không được tầm quan trọng và ý nghĩa vật lý của THDĐĐH nên vận dụng gặp không ít khó khăn, HS có cảm giác là giải tự luận chứ vận dụng để giải trắc nghiệm còn quá mơ hồ.
II. Giải pháp 
	1. Xác định vị trí của THDĐĐH trong chương trình vật lý 12
 Như trình bày ở trên, giáo viên cần điều chỉnh nhận thức về THDĐĐH không đơn thuần là thuật toán chỉ áp dụng cho dao động cơ mà nó có ý nghĩa vật lý và chi phối đến các chương I, II, II, IV, V đối với sách giáo khoa vật lý 12 chương trình chuẩn, chương II, II, IV, V, VI đối với sách giáo khoa vật lý 12 chương trình nâng cao.
 THDĐĐH trong các chương sau là hiện tượng vật lý rõ nét, chứ không đơn thuần là công cụ toán. Như 
 - các dao động thành phần trong thí nghiệm giao thoa sóng cơ Þ giao thoa sóng cơ chính là dao động tổng hợp. Đó là những vị trí dao động cực đại, vị trí dao động cực tiểu, học sinh có thể quan sát hiện tượng vật lý này một cách sinh động bằng thực nghiệm giao thoa sóng trên mặt nước. 
 - chương điện xoay chiều, đối với đoạn mạch RLC nối tiếp điện áp giữa hai đầu đoạn mạch bằng tổng điện áp trên các phần tử trên đoạn mạch đó, có thể THDĐĐH. 
 - chương dao động điện từ ít đề cập hơn đến lý thuyết THDĐĐH, ta có thể gặp bài toán tổng hợp dao động nếu mạch dao động có nhiều tụ hoặc nhiều cuộn cảm mắc nối tiếp hoặc song song. 
 - chương tính chất sóng ánh sáng THDĐĐH được đề cập một cách định tính hơn so với các chương trước. Trong chương này THDĐĐH chính là vị trí vân tối, vị trí vân sáng, mà ít đề cập đến những giá trị trung gian.
 2. Rèn luyện kỹ năng THDĐĐH
 a. Rèn luyện kỹ năng THDĐĐH bằng máy tính: 
 Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp bấm máy tính cầm tay, chủ yếu là sử dụng 2 dòng máy tính phổ biến hiện nay:
 	a1. Máy FX 570 MS
 * Với các thao tác bấm máy sau:
Bước 1: Bấm MODE 2
Bước 2: Nhập A1; bấm shift (-) và nhập pha ban đầu dao động thứ nhất ( đã đổi về đơn vị độ được thay bằng 180 )
Bước 3: Bấm + ; nhập A2 và bấm shift (-) ; nhập pha ban đầu dao động thứ hai ( đã đổi về đơn vị độ được thay bằng 180 )
Bước 4: Bấm shift + 
Bước 5: Bấm = ta được giá trị A
Bước 6: Bấm shift = ra pha tổng hợp ( kết quả là số thập phân theo độ ta phải chuyển về rad như sau rad, rút gọn nếu được )
 a2. Máy FX 570 ES
Bước 1: Bấm MODE 2
Bước 2: Nhập A1 ; bấm shift (-) ; nhập pha ban đầu dao động thứ nhất (đã đổi về đơn vị độ được thay bằng 180 )
Bước 3: Bấm + ; nhập A2; bấm shift (-) ; nhập pha ban đầu dao động thứ hai (đã đổi về đơn vị độ được thay bằng 180 )
Bước 4: Bấm shift 2 chọn 3 
Bước 5: Bấm = ra giá trị A và pha tổng hợp kết quả là số thập phân theo độ ta phải chuyển về rad như sau rad, rút gọn nếu được )
Chú ý: * Nếu có nhiều dao động ta nhập thêm từ Bước 3.
 * Nếu  cho x1 và x thì x2 = x – x1 Nhập như trên tức Bước 2 thay vì nhập A1 ta nhập A, ở Bước 3 bấm dấu ( - ) thay cho dấu ( + ).
 b. Lý thuyết THDĐĐH bằng giản đồ véc tơ quay 
 Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp vectơ quay:
 Giả sử có vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là: và .
( Chú ý các dao động thành phần phải cùng dạng hàm sin hoặc cos; nếu khác nhau thì phải chuyển để cùng hàm )	 
+
O
y
M2
M1
M
j
Dao động của vật là tổng hợp của hai dao động có dạng: x = x1+ x2 = Acos(ωt + j). 
Để biểu diễn các véc tơ, ta chọn trục gốc nằm ngang , và có thể vẽ thêm trục Oy vuông góc với (hình vẽ). 
Biểu diễn các vectơ quay tại thời điểm t = 0
 (hình vẽ) 
và 
( Sau này HS đã có kỹ năng thì không cần ghi các véc tơ thành phần này )
Vectơ hay biểu diễn dao động tổng hợp có độ lớn A là biên độ của dao động tổng hợp và hợp với trụcmột góc j là pha ban đầu của dao động tổng hợp. ( theo quy ước chiều dương quay ngược chiều kim đồng hồ )
 a- Biên độ của dao động tổng hợp: 
 b- Pha ban đầu của dao tổng hợp: 
III. Phân loại các dạng bài tập
1. Bài tập lý thuyết định tính
VD 1: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương trình dao động tương ứng lệch pha nhau một góc π. Có thể kết luận rằng:
A. Hai chất điểm không cùng lúc đi qua vị trí cân bằng.
B. Trung điểm của đoạn nối hai chất điểm hoàn toàn không dao động
C. Hai chất điểm luôn chuyển động không cùng chiều.
D. Hai dao động không thể cùng gốc thời gian.
VD 2: Có 2 vật dao động điều hoà, biết gia tốc vật 1 cùng pha với li độ của vật 2. Khi vật 1 qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì vật 2 qua
A. vị trí biên có li độ âm.	B. vị trí biên có li độ dương.
C. vị trí cân bằng theo chiều dương.	D. vị trí cân bằng ngược chiều dương.
VD 3: Hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là x1 = 3cos(10πt + φ) cm và x2 = 4cos(10πt – φ) cm. Nếu thay đổi giá trị của φ thì
	A. biên độ dao động tổng hợp luôn bằng 1 cm vì hai dao động ngược pha nhau.
	B. tốc độ cực đại của dao động tổng hợp không thể thấp hơn 10π cm/s.
	C. biên độ dao động tổng hợp không thể là 7 cm.
	D. cơ năng của dao động tổng hợp không phụ thuộc vào giá trị của φ.
VD 4: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ lần lượt là 3 cm và 4 cm. Dao động tổng hợp vuông pha với một trong hai dao động thành phần trên thì
	A. biên độ dao động tổng hợp là 5 cm.
	B. độ lệch pha của hai dao động thành phần là |Δφ| > π/2
	C. độ lệch pha của dao động tổng hợp với dao động còn lại là π/4
	D. dao động thành phần vuông pha với dao động tổng hợp có biên độ là 4 cm.
VD 5: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 2 Hz có li độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn tại mọi thời điểm. Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của dao động x1 và x2. Kết luận sai là
	A. Dao động với li độ x1 có biên độ là A1 = 4 cm	B. Biên độ dao động tổng hợp là A = 5 cm 
	C. Tại mọi thời điểm ta có 	
	D. Tại mọi thời điểm ta có cm²/s²
VD 6: Cho ba dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ là 3 cm, 4 cm, 5 cm. Biên độ nhỏ nhất và lớn nhất của dao động tổng hợp từ ba dao động trên lần lượt là
	A. 1 cm và 12 cm	B. 1 cm và 10 cm	
	C. 0 cm và 10 cm	D. 0 cm và 12 cm
VD 7: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ 5 cm, lệch pha góc , theo trục tọa độ Ox. Các vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ. Tại thời điểm t, li độ của các dao động lần lượt là x1 = 4 cm và x2 = −3 cm, khi đó li độ của dao động tổng hợp là
	A. 1 cm	B. 7 cm	C. 10 cm	D. 5 cm
VD 8: Chọn phát biểu đúng khi nói về hai dao động điều hoà quanh một vị trí cân bằng O, cùng phương, cùng tần số, lệch pha nhau p/2.
A. Vật (1) đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì vật (2) đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
B. Khi vật (1) ở vị trí biên dương thì vật (2) ở vị trí biên âm.
C. Khi vật (1) ở vị trí biên thì vật (2) ở vị trí cân bằng.
D. Hai vật luôn chuyển động ngược chiều nhau.
2. Bài tập áp dụng công thức: 
VD 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 10 Hz với các biên độ thành phần là 7 cm và 8 cm. Cho biết hiệu số pha của hai dao động là . Vận tốc của vật khi nó qua vị trí có li độ x = 12 cm là:
	A. 314 cm/s.	B. 100 cm/s	C. 157 cm/s 	D. 120π cm/s
VD 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng chu kì T = π/10 s và có biên độ lần lượt là 6 cm và 8 cm. Biết hiệu số pha của hai dao động thành phần là π/2 rad. Vận tốc của vật khi nó qua li độ x = 5 cm là
A. ± cm/s.	 B. ± 10 cm/s.	 C. ± m/s.	 D. ± 10 m/s.
VD 3: Một vật nặng 200 g thực hiện hai dao động cùng phương có phương trình x1 = A1cos(20t + ) (cm) và x2 = 5cos(20t – ) (cm). Năng lượng dao động của vật là W = 0,225 J. Giá trị của A1 là
 A. 4,0 cm.	 B. 9,0 cm.	 C. 2,5 cm.	 D. 5,6 cm.
VD 4: Một vật có khối lượng m = 200 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số và có các phương trình dao động là x1 = 6sin(15t + ) (cm) và x2 = A2sin(15t + p) (cm). Biết cơ năng dao động của vật là E = 0,06075 J. Hãy xác định A2.
	A. 4 cm.	B. 1 cm.	C. 6 cm.	D. 3 cm.
VD 5: Một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có các phương trình lần lượt là x1= 3cos(10t + π/3) cm, x2 = A2cos(10t – π/6) cm. Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng là 50 cm/s. Biên độ dao động thành phần thứ hai là
	A. 2 cm.	 B. 1 cm.	 C. 4 cm.	 D. 5 cm.
VD 6: Chất điểm m = 50 g tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương cùng biên độ 10 cm và cùng tần số góc 10 rad/s. Năng lượng của dao động tổng hợp bằng 25 mJ. Độ lệch pha của hai dao động thành phần bằng 
	A. 0.	B. p/3.	C. p/2. 	D. 2p/3.
3. Dùng máy tính (dạng cơ bản)	
VD 1: Cho một thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình sau: x1 = 10cos(5pt -) (cm) và x2 = 5cos(5pt + ) (cm). Phương trình dao động tổng hợp là
A. x = 5cos(5pt - ) (cm). 	B. x = 5cos(5pt + ) (cm). 
C. x = 10cos(5pt - ) (cm). 	D. x = 7,5cos(5pt - ) (cm).
VD 2: Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 2cos2pt (cm) và x2 = 2sin2pt (cm). Dao động tổng hợp của vật có phương trình là
A. x = 4cos(2pt - ) (cm). 	B. x = 4cos(2pt - ) (cm). 
C. x = 4cos(2pt + ) (cm). 	D. x = 4cos(2pt + ) (cm).
VD 3: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 4,5cos(10t + p/2) (cm) và x2 = 6cos(10t) (cm). Gia tốc cực đại của vật là
A. 7,5 m/s2.	B. 10,5 m/s2.	C. 1,5 m/s2.	D. 0,75 m/s2.
VD 4: Một vật có khối lượng m = 500 g, thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 8cos(2pt + ) (cm) và x2 = 8cos2pt (cm). Lấy p2 = 10. Động năng của vật khi qua li độ x = là
A. 32 mJ.	B. 64 mJ.	C. 96 mJ.	D. 960 mJ.
VD 5: Một vật có khối lượng m = 200 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà có phương trình: x1 = 4cos10t (cm) và x2 = 6cos10t (cm). Lực tác dụng cực đại gây ra dao động tổng hợp của vật là
A. 0,02 N.	B. 0,2 N.	C. 2 N.	D. 20 N.
VD 6: Một vật có khối lượng m = 200 g, thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 6cos(5pt - ) (cm) và x2 = 6cos5pt (cm). Lấy p2 = 10. Tỉ số giữa động năng và thế năng tại x = 2 cm bằng
A. 2.	B. 8.	C. 6.	D. 4.
VD 7: Một vật nhỏ có m = 100 g tham gia đồng thời 2 dao động điều hoà, cùng phương cùng tần số theo các phương trình: x1 = 3cos20t (cm) và x2 = 2cos(20t - ) (cm). Năng lượng dao động của vật là
A. 0,016 J.	B. 0,040 J.	C. 0,038 J.	D. 0,032 J.
VD 8: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Biết phương trình của dao động thứ nhất là x1 = 5cos(pt + ) (cm) và phương trình của dao động tổng hợp là x = 3cos(pt + ) (cm). Phương trình của dao động thứ hai là:
A. x2 = 2cos(pt + ) (cm). 	B. x2 = 8cos(pt + ) (cm). 
C. x2 = 8cos(pt + ) (cm). 	D. x2 = 2cos(pt + ) (cm).
4. Vận dụng phương pháp giản đồ vectơ.
a. Tìm Ai và jj (i ¹ j) 
VD 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động thành phần: x1 = A1cos(pt + ) (cm) và x2 = 5 cos(pt + j2) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp là x = 15cos(pt + ) (cm). Giá trị A1, j2 lần lượt là 
A. 10 cm; . B. 20 cm; . C. 10 cm; - . D. 20 cm; - .
VD 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 = A1cos50pt (cm) và x2 = cos(50pt - ) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng là x = 2cos(50pt + j) (cm). Giá trị A1 và j lần lượt là:
A. 2 cm; -. B. 1 cm; - . C. 1 cm; .	 D. 2 cm; .
VD 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Biết phương trình của dao động thứ nhất là x1 = 5cos(pt + j1) (cm); phương trình dao động thứ hai là x2 = A2cos(pt - ) (cm) và phương trình của dao động tổng hợp là x = 3cos(pt - ) (cm). Giá trị A2 và j1 là:
A. 2 cm; . B. 8 cm; - . C. 8 cm; . D. 2 cm; - .
VD 4: Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 2cos2pt (cm) và x2 = 2sin(2pt + j2) (cm). Dao động tổng hợp của vật có phương trình là x = Acos(2pt - p/4) (cm). Giá trị A và j2 là 
A. 4 cm; 0. B. 2 cm; . C. 4 cm; - . D. 4 cm; .
VD 5: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương trình x1 = A1cos10t; x2 = A2cos(10t + j2). Phương trình dao động tổng hợp x = A1cos(10t + j), trong đó có j2 - j = . Tỉ số bằng
A. hoặc .	 B. hoặc .	 C. hoặc .	 D. hoặc .
VD 6: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động diều hòa trên cùng một trục Ox với các phương trình x1 = 2sin(ωt) (cm) và x2 = A2cos(ωt + φ2 ) (cm). Phương trình dao động tổng hợp là x = 2cos(ωt + φ) (cm). Biết φ2 - φ = . Cặp giá trị nào của A2 và φ2 là đúng.
 A. 4 cm và . B. 2cm và . C. 4cm và . D. 6 cm và .
VD 7: Một chất điểm tham gia đồng thời 2 dao động trên trục Ox có phương trình x1 = A1cosωt; x2 = A2cos(ωt + φ2). Phương trình dao động tổng hợp x = Acos(ωt + φ), trong đó có φ2 - φ = và A1 £ A £ 2A1. Góc φ2 có giá trị nằm trong khoảng:
 A. £ φ2 £ .	 B. £ φ2 £ .	 C. £ φ2 £ .	 D. £ φ2 £ .
b. Tìm Ai (max, min).
VD 1: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương. Phương trình của các dao động thành phần và dao động tổng hợp là x1 = A1coswt (cm); x2 = 6cos(wt + j) (cm). Dao động tổng hợp có phương trình là x = Acos(wt + p/6) (cm). Biên độ dao động A1 có giá trị lớn nhất là
A. 14 cm.	 B. 9 cm.	 C. 12 cm.	 D. 8 cm.
VD 2: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có dạng: x1 = Acos(wt + ) (cm); x2 = Bcos(wt - ) (cm). Dao động tổng hợp có dạng x = 2cos(wt + j) (cm). Điều kiện để dao động thành phần 2 đạt cực đại thì A và j bằng:
 A. 4 cm và .	 B. cm và - .	 C. cm và . D. 2 cm và .
VD 3: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình (cm) và (cm). Dao động tổng hợp có phương trình (cm). Để biên độ A2 có giá trị cực tiểu thì j2 có giá trị là
	A. .	 B. C. D. 
VD 4: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A1 = 10 cm, pha ban đầu và dao động 2 có biên độ A2, pha ban đầu - . Biên độ A2 thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là 
 A. 2 cm. B. 5 cm. 	 	 C. 2,5 cm. D. cm. 
VD 5: Một vật khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x1 = 6cos(wt + j) (cm), x2 = A2coswt (cm), thì dao động tổng hợp là x = Acos(wt + p/6) (cm). Khi biên độ dao động của vật bằng nửa giá trị cực đại mà nó có thể có thì biên độ dao động A2 có giá trị là:
A. 12cm.	B. 6 cm.	C. 12 cm.	D. 6cm.
VD 6: Cho ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là x1 = 10cos(2pt + ) cm, x2 = A2cos(2pt - ) cm, x3 = A3cos(2pt + ) cm (A3 < 10 cm). Khi đó dao động tổng hợp của ba dao động trên có phương trình là x = 8cos(2pt + j) cm. Giá trị của cực đại của A2 có thể nhận là: 
 A. 16 cm B. cm. 	 C. cm. D. cm.
5. Vận dụng phương pháp đại số kết hợp máy tính
a. Các dao động ghép
VD 1: Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x12 = 2cos(2πt + ) (cm), x23 = 2cos(2πt + ) (cm), x31 = 2cos(2πt + π) (cm). Biên độ dao động của thành phần thứ 2 là
 A. 1 cm. 	B. 3 cm. 	 C. cm. 	D. 2 cm.
VD 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là x1, x2, x3. Biết (cm); (cm); (cm). Khi li độ của dao động x1 đạt giá trị cực đại thì li độ của dao động x3 là:
	A. 3 cm.	 B. cm.	 C. cm.	 D. 0 cm.
- VD 3: Ba dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt x1 = A1cos(wt + j1); x2 = A2cos(wt + j2) và x3 = A3cos(wt + j3). Biết 3 dao động cùng phương và A1 = 3A3;. Gọi x12 = x1 + x2 là dao động tổng hợp của dao động thứ nhất và dao động thứ hai; x23 = x2 + x3 là dao động tổng hợp của dao động thứ hai và dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ hai dao động tổng hợp trên là như hình vẽ. Giá trị của A2 gần giá trị nào nhất sau đây.
 A. 4,36 cm	 B. 4,87 cm	 C. 4,18 cm	 D. 6,93 cm.
HD: Do φ3 – φ1 = π và A1=1,5A3 x1 ngược pha với x3 và x1 = -1,5x3
Từ đồ thị: rad/s.
Viết phương trình x23 = 4cos(). Tại t = 0 thì x23=0x23 = 4cos(t+) (cm)
 x12 = 8cos(). 
 Tại t = 5/6(s) thì x12= - 8 cm
Do x12 = x1 + x2 x12 = - 1,5x3 + x2
 x23 = x3 + x2
Sử dụng máy tính x2 = = (cosπt +0,96) cm A2= 4,87 cm. 
VD 4: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số cùng phương dọc theo theo hai đường thẳng song song với trục Ox, vị trí cân bằng của chúng nằm trên đường thẳng qua O và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2). Trong quá trình dao động, gọi d1 là giá trị lớn nhất của tổng li độ dao động của 2 chất điểm, gọi d2 là khoảng cách cực đại giữa hai chất điểm xét theo phương Ox. Biết d1 = 2d2 và độ lệch pha của dao động một so với dao động hai luôn nhỏ hơn 900. Độ lệch pha cực đại giữa dao động một và dao động hai gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 36,870	B. 53,130.	C. 44,150.	D. 87,320.
Giải: Vẽ giản đồ véc tơ như hình vẽ; 
d1
d2
O
x
∆φ
A
A1
A2
∆φ = φ2 – φ1
 Theo bài ra ta có d1 = x1 + x2
 và d2 = úx1 – x2|
 d12 = A12 + A22 + 2A1A2cos∆φ (*)
 d22 = A12 + A22 - 2A1A2cos∆φ (**)
 Lấy (*) – (**) ; d12 – d22 = 4A1A2cos∆φ 
Þ 3d22 = 4A1A2cos∆φ
 Þ cos∆φ = (1)
Lấy (*) + (**) ; d12 + d22 = 2(A12 + A22) Þ 5d22 = 2(A12 + A22)
 Theo bất đẳng thức Côsi (A12 + A22) ≥ 2A1A2 Þ 5d22 = 2(A12 + A22) ) ≥ 4A1A2 (2)
 Từ (1) và (2) Þ cos∆φ = ≥ Þ ∆φ ≤ 53,130 . Đáp án B
b. Quan hệ giữa hai dao động
VD 1: Một vật thực hiện một dao động điều hòa x = Acos(2pt + j) (cm) là kết quả tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động x1 = 12cos(2pt + j1) (cm) và x2 = A2cos(2pt + j2) (cm). Khi x1 = - 6 cm thì x = - 5 cm; khi x2 = 0 thì x = cm. Giá trị của A có thể là
A. 15,32 cm	B. 13,11 cm	C. 11,83 cm	D. 14,27 cm
VD 2: Hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động lần lượt là: x1 = 10cos5pt (cm) và x2 = Acos(5pt + ) (cm). Khi x1 = 5 cm thì x = x1 + x2 = 2 cm. Dao động tổng hợp của hai dao động có biên độ bằng
A. 13 cm.	B. 15 cm.	C. 12 cm.	D. 14 cm.
VD 3: Một vật nhỏ thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số x1 = 2sin(2pt + p/6) (cm) và x2 = A2cos(2pt + j2) (cm). Biết rằng tại thời điểm s, vật có li độ bằng biên độ và bằng 1 cm, chuyển động theo chiều âm. Giá trị của A2 và j2 lần lượt là:
A. 2 cm; .	B. 2 cm; - .	C. 1 cm; .	D. 1 cm; - .
c. Khoảng cách giữa hai chất điểm trong hai dao động điều hòa cùng tần số 
	a. Nếu dao động trên hai trục vuông góc, cùng mặt phẳng.
	- Ta có: 
VD 1: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cần bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt + π/2) (cm) và y = 4cos(5πt – π/6) (cm). Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
	b. Nếu dao động trên hai trục song song
	- TH 1: rất sát nhau (coi như trùng nhau và có cùng gốc tọa độ).
 Ta có: Dx = úx2 - x1ú 
VD 2: Hai chất điểm P và Q dao động điều hoà trên cùng một trục Ox (trên hai đường thẳng song song kề sát nhau) với phương trình lần lượt là x1 = 4cos(4pt + ) (cm) và x2 = 4cos(4pt + ) (cm). Coi quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Hãy xác định trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu?
A. dmin = 0 cm; dmax = 8 cm.	B. dmin = 2 cm; dmax = 8 cm.
C. dmin = 2 cm; dmax = 4 cm.	D. dmin = 0 cm; dmax = 4 cm.
VD 3: Hai chất điểm dao động điều hòa có phương trình là x1 = 4cos() (cm), x2 = 4cos() (cm), trong đó thời gian tính bằng giây. Thời điểm lần thứ 2016 hai chất điểm cách nhau 4 cm là