Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
1 
CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
Bài 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ: 
a) Tính chất: 
. . ...
n
n
a a a a a (nN) 0 11;a a a  với  0a  
 (n thừa số a) 
.m n m na a a  (m, n N ) :m n m na a a  (m, n N, m n) 
  .nm m na a  . .m m mx y x y ;  0
n n
n
x x
y
y y
 
  
 
b) Ví dụ: 
a) 5 2 5 2 73 5 15 15.  x x x x 
b) 9 7 215 3 5m : m m 
2. Nhân đơn thức với đa thức: 
a) Công thức: 
b) Ví dụ: 
1.    2 2 3 25 3 4 1 5 3 5 4 5 1 15 20 5. .        x x x x x x x x x x x 
2.  2 3 5 3 60 2 3 3 5 3 4 15. . .     
 6 15 2 15   
 6 15  
3. Nhân đa thức với đa thức: 
a) Quy tắc: 
Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa thức này với đa thức kia rồi 
cộng tổng các tích vừa tìm được. 
b) Công thức 
c) Ví dụ: 
1.        2 2 22 6 5 1 6 5 1 2 6 2 5 2 1x x. x x. . . .          x x x x x x 
 3 2 2 3 26 5 12 10 2 6 17 11 2x         x x x x x x x 
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD 
A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
2 
2. (1 - x )(1 + xx  ) = 1 + xxxxxxx  
 = 1 xx 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1. Thực hiện phép tính: 
a) (3xy - x2 + y)
3
2
x2y b) (5x3 - x2)(1 - 5x) 
Giải: 
a) (3xy - x2 + y)
3
2
x2y = 3xy.
3
2
x2y + (-x2).
3
2
x2y + y.
3
2
x2y 
= 2x3y2 - 
3
2
x4y + 
3
2
x2y2 
b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3 
 = - 25x4 + 10x3- x2 
Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 
Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 
 36x2 - 12x - 36x2 + 27x = 30 
 15x = 30  x = 2 
Bài 3. Rút gọn biểu thức: 
( 71228  ) 7 + 2 21 = 7.77.3.47.7.4  + 2 21 
 = 2 7. 7 2 3. 7 7. 7  + 2 21 
 = 2.7 – 212 - 7 + 2 21 = 7 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1. Tính: 
a) (
2
1
x + y)(
2
1
x + y) b) (x - 
2
1
y)(x - 
2
1
y) 
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với 0a ): 
a) aa 27.3 b) 429 ba c) aa 123 3 
Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm) 
a) ( 2x )( 42  xx ) b) ( yx  )( yxyx 2 ) 
Bài 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Chia đa thức cho đơn thức: 
* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho 
đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
3 
Ví dụ: (15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2 = (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2) 
 = 5xy + 4x2 - 
3
10
y 
2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp. 
Ví dụ: Thực hiện phép chia: 
1. 2(6 13 5) : (2 5)x x x   
Giải: 
26 13 5x x  2 5x  
 - ( 26 15x x ) 
 2 5x  
 - ( 2 5)x  
 0 
3 1x  
2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia: 
 2 3 4 2(12 14 3 6 ) : (1 4 )x x x x x x      
Giải: Ta có 2 3 4 4 3 212 14 3 6 6 12 14 3x x x x x x x x         
 và 2 21 4 4 1x x x x     
4 3 26 12 14 3x x x x    2 4 1x x  
 - ( 4 3 24x x x  ) 
 3 22 11 14 3x x x    
 - ( 3 22 8 2x x x  ) 
 23 12 3x x  
 2(3 12 3)x x   
 0 
2 2 3x x  
3. Tính chất cơ bản của phân thức: 
a) Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng 
A
B
, trong đó A, B là các đa 
thức và B khác đa thức 0. 
Ví dụ: 5
22
8
6
yx
yx
; 
1
x + 2
b) Phân thức bằng nhau: 
Ví dụ: 
2
x +1 1
x 1 x -1


 vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1 
A C
B D
 nếu AD = BC 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
4 
c) Tính chất cơ bản của phân thức: 
d) Quy tắc đổi dấu: 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không? 
a) 
2
25 5 5( 1)
x x x
x x
 
 
 b) 
2 28 3 24
2 1 6 3
x x x
x x
 

 
Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức: 
)3(15
)3(45


xx
xx
= 
)3(15
)3(45


xx
xx
 = – 3 
Bài 3. Tính: 
a) 
23
2300
 b) 
x
x
7
63 3
 với x > 0 
Giải: 
a) 
23
2300
 = 
23
100.23
=
23
100.23
 = 100 = 10 
b) 
x
x
7
63 3
 = 
x
xx
7
.7.9 2
 = 
x
xx
7
73
 = 3x với x > 0 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1. Rút gọn phân thức: 
a) 5
22
8
6
yx
yx
 b) 2
2
)(15
)(10
yxxy
yxxy


Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) yx
xy
yxxyyx

 ))((
 với x > 0 và y > 0 
b) 
3 2
3 2 2 3
3 2 1
2 2
x xy y
x x y xy y x y
 

   
Bài 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa: 
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. 
A A.M
=
B B.M
; 
A A:N
=
B B:N
 (M 0; N 0; B  0) 
A - A A A - A
;
B - B B - B B
    
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
5 
Ví dụ: 
a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) 
b) x - 2 x y +5 x - 10y = [( x )2 – 2 y x ] + (5 x - 10y) 
 = x ( x - 2y) + 5( x - 2y) 
 = ( x - 2y)( x + 5) 
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
a) Phương pháp đặt nhân tử chung : 
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một 
tích của nhân tử chung với một đa thức khác. 
Công thức: 
Ví dụ: 
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 
2. 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y) 
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: 
 Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để 
biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. 
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ: 
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2 
A2 - B2 = (A + B)(A - B) 
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3 
A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2) 
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) 
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
1. x2 – 4x + 4 =  22x  
2. 2 9 ( 3)( 3)x x x    
3.   2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 4x y x y x y x y x y x y x y xy            
Cách khác: 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( 2 ) 4x y x y x xy y x xy y xy          
c) Phương pháp nhóm hạng tử: 
 Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc 
dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. 
Ví dụ: 
1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y) = (x – 2y)(x + 5) 
AB + AC = A(B + C) 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
6 
2. x - 3 x + x y – 3y = (x - 3 x ) + ( x y – 3y) 
 = x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y) 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2) 
b) 2(x + 3) – x(x + 3) 
c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y) 
Bài 2: Giải phương trình sau : 
2(x + 3) – x(x + 3) = 0 
  
x 3 0 x 3
x 3 2 x 0
2 x 0 x 2
    
         
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 10( x - y) – 8y(y - x ) b) 2 x y + 3z + 6y + x y 
Bài 2: Giải các phương trình sau : 
a) 5 x ( x - 2010) - x + 2010 = 0 b) x3 - 13 x = 0 
Bài 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 
d. Phương pháp tách một hạng tử: (trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm) 
Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( 0a  ) nếu 
1 2
1 2
b b ac
b b b


 
Ví dụ: 
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 
 = 2x(x - 1) - (x - 1) 
 = (x - 1)(2x - 1) 
    
  
3 2 2 2
1 2 1
2 1
y y y y y
y y y
y y
     
   
  
b)
e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: 
Ví dụ: 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
7 
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 
 = (y2 + 8)2 - (4y)2 
 = (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y) 
b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x 
 = (x + 2)2 -  22 x 
 =   2 2 2 2x x x x    
g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: 
Ví dụ: 
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b) 
 = (a - b) (a2 - b2) 
 = (a - b) (a - b) (a + b) 
 = (a - b)2(a + b) 
 
 
   
3 3 3 3 3 3
33
2 2 2
b) 27 27
(3 )
3 9 3
  
   
   
x y a b y y x a b
y x ab
y x ab x xab a b
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
a) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) 
   
      
  
3 3 2 2
2 2
2 2
2 4
2 2 2 2 2
2 4 2 2
x y x y
x y x xy y x y x y
x y x xy y x y
     
        
     
b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6 
 = x(x + 6) - (x + 6) 
 = (x + 6)(x - 1) 
c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 
 = (a2 + 4)2 - ( 8 a)2 
 = (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 - 8 a) 
Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: 
a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) 
b) (x2 - 5x + 6):(x - 3) 
Giải: 
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
8 
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) 
= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) 
= (x2 + 1) 
b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 
 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) 
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau: 
2 2 2
2 2 2
x +xy-y 2x -3x+1
a) b)
2x -3xy+y x +x-2
Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm) 
3 3 2 2a) 1 b)xy y x x a b a b ab      
Bài 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số: 
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung. 
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) 
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau: 
5 7
à 
12 30
v 
* Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60 
* Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu: 60:12=5 
 60:30=2 
* Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng. 
5 5.5 25
12 12.5 60
7 7.2 14
30 30.2 60
 
 
2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức: 
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau: 
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung. 
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. 
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của 
3
2 4
x
x 
 và 
2
3
4
x
x


* Bước 1: Tìm MTC. 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
9 
- Phân tích các mẫu thành nhân tử. 
2x +4 = 2(x + 2) 
x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) 
- MTC là: 2(x - 2) (x + 2) 
* Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu. 
+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2) 
+) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2 
* Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 
 
  
3 23 3
2 4 2( 2) 2 2 2
x xx x
x x x x

 
   
 
   2
2 33 3
4 ( 2)( 2) 2 2 2
xx x
x x x x x
 
 
    
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
6x2
5

 và 
9x
3
2 
MTC: 2(x - 3)(x + 3) 
)3x)(3x(2
)3x(5
)3x(2
5
6x2
5






)3x)(3x(2
6
)3x)(3x(2
2.3
)3x)(3x(
3
9x
3
2 






III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân thức để tìm MTC 
thuận tiện hơn). 
a) 
1x
5x3x4
3
2


; 
1xx
x21
2 

b) 
2x
10

; 
4x2
5

Bài 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC 
I. Luyện tập: 
Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau: 
16x8x
x2
2 
 và 
x12x3
x
2 
Phân tích các mẫu: 
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 
3x2 - 12x = 3x(x - 4) 
MTC: 3x(x - 4)2 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
10 
2
2
222 )4x(x3
x6
)4x(x3
x3.x2
)4x(
x2
16x8x
x2







22 )4x(x3
)4x(x
)4x(x3
x
x12x3
x






Bài 2: Rút gọn biểu thức : 
1 1
2 3 2 3

 
Giải: MTC : (2+ 3 )(2- 3 ) 
Quy đồng: 
1 1
2 3 2 3

 
= 
2 3 2 3 4
4
4 3 1
  
 

Bài 3: Giải phương trình:
 
x 2 1 2
x 2 x x x 2

 
 
Giải: ĐKXĐ: x 0;x 2  
 
x 2 1 2
x 2 x x x 2

 
 
2 2x 2x x 2 2 x x 0        
 x x 1 0  
 
 
x 0 
x 1 
 
 
 
kTM®K
TM®K
.Vậy phương trình có tập nghiệm S =  1 
II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau: 
a) ;
x y x y
x y x y
 
 
; b) 
1 1
;
x y x y 
; 
Bài 2: Chứng minh đẳng thức : 
3 2 3 6
6 2 4
2 3 2 6
   
Bài 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu: 
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu 
thức. 
Ví dụ: Tính: 
a) 
3
2
63
44
63
44
63
22 








x
x
xx
x
x
x
x
b) 






 2.2
2.22
2.2
2.22
2.2
22
x
xx
x
x
x
x  
  2
2
22
2
2



 x
x
x
2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu: 
B
CA
B
C
B
A 
 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
11 
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân 
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. 
Ví dụ: 
366
12


y
y
 + 
yy 6
6
2 
MTC: 6y(y - 6) 
366
12


y
y
 + 
yy 6
6
2 
= 
)6(6
12


y
y
 + 
)6(
6
yy
 = (y -12)y
6y(y-6)
 + 6.6
6 ( 6)y y 
 = 
)6(6
36122


yy
yy
 = 
)6(6
)6( 2


yy
y
 = 
y
y
6
6
*Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau: 
- Tính chất giao hoán: A C C A
B D D B
   
- Tính chất kết hợp: A C E A C E
B D F B D F
          
   
3. Phép trừ các phân thức đại số: 
*Quy tắc: Muốn trừ phân thức
B
A
 cho phân thức 
D
C
, ta cộng 
B
A
 với phân thức đối của
D
C
Ví dụ: 
a)
1
3
2 

x
x
 - 
2
1x
x x



)1(
)3(
2 

x
x
 + 
1
( 1)
x
x x
 
  
3
( 1)( 1)
x
x x


 
 + 
( 1)
( 1)
x
x x
 
  
( 3)
( 1)( 1)
x x
x x x


 
 + 
( 1)( 1)
( 1)( 1)
x x
x x x
  
   
2( 3) ( 1)
( 1)( 1)
x x x
x x x
  

 
2
1 1
( 1) ( 1)
x
x x x x

 
 
b) 
2
3


x
x
 - 
)3(
2
x
x

 ( 3 )
2
x
x



 + 








x
x
3
2
( 3 )( 3 )
( 2)( 3 )
x x
x x
 

 
 + 
  
  
2 2
2 3
x x
x x
   
  
 
2 23 ( 4)
( 2)( 3 )
x x
x x
  

 
27 2
( 2)( 3 )
x
x x


 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Thực hiện phép tính sau: 
1
2 2


x
xx
 + 
x
x


1
1
 + 
1
2 2


x
x
B
A
 - 
D
C
 = 
B
A
 + 





D
C
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
12 
= 
1
2 2


x
xx
 - 
1
1


x
x
 + 
1
2 2


x
x
22
1
x
x



2( 1)
1
x
x



 1x  
Bài 2: Rút gọn biểu thức 
P 
1 2 ( 1)( 2) 2 ( 2)
42 2
x x x x x x
xx x
    
  
 
2 2 2 4
4
x x x x x
x
    


3 2
4
x x
x
 


III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: Tính: 
1
11


xx
Bài 2: Cho biểu thức: P 
1 2 2 5
42 2
x x x
xx x
 
  
 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tính giá trị của P khi x = 1. 
Bài 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Phép nhân các phân thức đại số: 
Ví dụ: 
a) 
4
1
)2)(2(
)1)(1(
2
1
.
2
1
2
2










x
x
xx
xx
x
x
x
x
b) 
1
3
)1)(1(
)3)(3(
1
3
.
1
3
2
2










x
x
xx
xx
x
x
x
x
2. Phép chia các phân thức đại số: 
Ví dụ: 
a) 
1
7
1
2
.
2
7
2
1
:
2
7












x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 (x -2, x -1) 
b) 
2
22
2
2 )2(
)2(
)1(
.
)1(
2
1
.2
:
2
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x 










 (x 1, x - 2 ) 
3. Biến đổi biểu thức hữu tỉ: 
- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. 
- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ 
nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức . 
DB
CA
D
C
B
A
.
.
.  (B; D ≠ 0) 
: . ( , , 0) 
A C A D
B C D
B D B C
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
13 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
23
22
323 6)414(3
)27(
414
.
3
27414
:
3
27
y
x
xxy
yxx
x
yx
xy
x
yx
x
xy
x








Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q = 
x
x
x
x
x
x












 1
3
11
 (đ/k:....) 
= 
x
x
x
xxxx





1
3
1
)1()1(
= 
xx
x
x
x








1
3
1
)1(3
1
33
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: Rút gọn biểu thức: A= 
x
x
x
x
x
x
4
2
.
22












Bài 2: Tính: 
1
3
.
3
2
:
2
1






x
x
x
x
x
x
Bài 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
a, 2
A A 0
A A
A A 0
 
    
 b,  A.B A. B A 0,B 0   
c,  A A A 0,B 0
B B
   d,  2A B A B B 0  
Ví dụ: 
a) Rút gọn biểu thức: 2 8 2 2 2 250 2 5 8      
b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 21 10a 25a 4a   , tại a = 2 
2 21 10a 25a 4a (1 5a) 4a
1 5a 4a
     
  
Thay a = 2 vào biểu thức trên ta được: 
1224251  
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Rút gọn 20 45 75 180 2 5 3 5 5 5 6 5 2 5         
Bài 2: Cho biểu thức: 
1 1 2
:
11 1
a
A
aa a a a
   
           
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
14 
a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A 
b) Tìm a để A > 0 
Giải: a) Điều kiện A xác định: 0; 1a a  
 Ta có: 
1 1 2
:
1 ( 1) 1 ( 1)( 1)
a
A
a a a a a a
   
            
. 1 1 2 1 1 1
: .
( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1
a a a a a a
a a a a a a a a
     
  
    
b) A > 0 
1
0 1 0 1
a
a a
a

      
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: Rút gọn: 
3 2
3 1 3 1
B  
 
Bài 2: Cho biểu thức: 
2 2 2 2 2 2
a a b
Q 1 :
a b a b a a b
 
   
    
 a) Rút gọn Q. 
 b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b 
Bài 3: Cho biểu thức P 
2 x 2 x 4x x 3
:
x 42 x 2 x 2 x x
   
       
a) Rút gọn P. 
b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0. 
c) Tìm giá trị của x sao cho P 1 . 
Bài 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC 
 CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
a)    2 2A B A B A 0,B 0 ; A B A B A 0,B 0       ; 
b)  A 1 AB AB 0,B 0
B B
   
c)  A A B B 0
BB
  ; 
 d) 
 
 
C A BC
 A 0,B 0,A B
A BA B

   

. 
 
 
C A BC
 A 0,B 0,A B
A BA B

   

Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết: 
Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản 
Website:  
15 
1a2a
1a
:
1a
1
aa
1
M











 với 1a,0a  
Giải: 
2
1 1 1
:
1 2 1
1 1
:
( 1) ( 1)
1 1
1
a
M
a a a a a
a a
a a a
a
a a
 
      
  
 
  

  
Suy ra 1
a
1
1M  (Vì 1a,0a  ). Vậy M < 1 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Rút gọn biểu thức: 5 5 5 5
5 5 5 5
 
 
Giải: 
  
  
  
  
   2 25 5 5 5
205 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
3
5 5 5 5 5 5 5 5
  
 
      
  
   
Bài 2: Cho biểu thức: P=
2x x x x 1 x 1
.
4 4 x x 1 x 1
    
           
a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P? 
b) Tìm gi