Tài liệu Số học I (Trung học cơ sở)

Sigma-maths
Sigma - MATHS
Sigma - MATHS
LÍI NÂI ffi†U
Tªp t i li»u n y ÷ñc s÷u t¦m v  bi¶n so¤n phöc vö cho cæng ngh» gi¡o döc cõa nhâm
Sigma-Maths. C¡c b i tªp v  v½ dö ÷ñc x¥y düng nh÷ nhúng gií håc tr¶n lîp. Khung
ki¸n thùc l  c¡c b i tªp ¢ tr£i qua nhi·u thû nghi»m, ph¦n lþ thuy¸t chóng tæi d nh cho
sü s¡ng t¤o cõa c¡c g½ao vi¶n thüc hi»n.
Tø mët thüc t¸ hiºn nhi¶n, h¦u h¸t håc sinh ti¸p thu ki¸n thùc thæng qua líi gi£ng
cõa th¦y cæ v  cõng cè ki¸n thùc thæng qua b i tªp, r§t ½t em håc tø åc s¡ch, n¶n h¦u
nh÷ nhúng gi¡o tr¼nh ¦y õ ch÷a ph¡t huy t¡c döng (nh§t l  vîi håc sinh tø lîp 6 ¸n
lîp 10, ½t håc sinh åc, câ åc công hoa m­t v¼ khæng câ b£n l¾nh åc, ch÷a thº c£m nhªn
÷ñc ti¶u chu©n khæng thº thi¸u v  khæng ÷ñc thøa cõa mët cæng tr¼nh khoa håc).
Vîi ph÷ìng ch¥m vi¸t vøa ph£i, d¤y vøa õ, giú l§y c¡i hay c¡i µp cõa to¡n håc v 
thêi ni·m say m¶ s¡ng t¤o cho håc sinh, gióp c¡c em håc sinh trang bà l÷ñng ki¸n thùc
vøa õ, º nhanh châng ti¸p cªn v  tªp l m chõ vîi luçng tri thùc mîi cõa th¸ k¿ 21 ang
ng y c ng lan täa vîi tèc ë ¡nh s¡ng.
Vi»c «ng t£i c¡c t÷ li»u gi£ng d¤y cõa m¼nh, chóng tæi ch¿ nh¬m möc ½ch gióp c¡c
b¤n gi¡o vi¶n, c¡c b¤n håc sinh, c¡c gia ¼nh hiºu, l m quen vîi cæng ngh» gi¡o döc chóng
tæi lüa chån, tr¶n cì sð â còng cëng t¡c, tham gia, gâp þ vîi chóng tæi º ng y c ng
ho n thi»n cæng ngh» gi¡o döc cõa m¼nh:
HAY  ffi•P  SAY  THÜC DÖNG  TH€NH QUƒ
Xin ch¥n trång c£m ìn sü quan t¥m cõa t§t c£ c¡c b¤n!
H  Nëi. 05/04/2017
Þ ki¸n xin chuyºn v·:
sigmathsgroup@gmail.com
loiscenter@gmail.com
1
Sigma - MATHS MÖC LÖC
Möc löc
1 C¡c b i to¡n chia h¸t 3
2 Sè ÷îc sè cõa mët sè 3
3 C¡c b i to¡n v· sè håc 4
4 Tªn còng cõa c¡c sè lôy thøa 5
5 C¡c sè nguy¶n tè I 6
6 C¡c sè nguy¶n tè II 6
7 T¤i sao khæng ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng 7
8 Sè ch½nh ph÷ìng 8
9 Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n (DIOPHANG) 9
10 Nguy¶n lþ Dirichlet trong sè håc 9
11 Chú sè cõa mët sè. 10
12 C¡c h» ¸m câ cì sè kh¡c nhau. 10
13 Mët sè ành ngh¾a v  ành lþ c¦n thi¸t 14
14 Thay cho líi k¸t 16
2
Sigma - MATHS 2 SÈ ×ÎC SÈ CÕA MËT SÈ
1 C¡c b i to¡n chia h¸t
V½ dö 1: CMR 72 | 1020 + 8
Líi gi£i. 1020 + 8 câ ba chú sè tªn còng l  008 vªy chia h¸t cho 8 (qui t­c chia h¸t cho
8) v  têng c¡c chú sè cõa nâ b¬ng 1+0+8=9 chia h¸t cho 9.
1. Sè n o l  ÷îc sè câ hai chú sè lîn nh§t cõa 22227777?
2. CMR: a) 9 | 1033 − 1 ; b) 6 | 1010 + 14.
3. T¼m c¡c c°p (x,y) sao cho:
a) 36 | 52x2y ; b) 72 | x378y ; c) 45 | 24x68y.
4. Tø c¡c sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 theo mët trªt tü n o â h¢y vi¸t mët sè nguy¶n tè câ 6
chú sè.
V½ dö 2. Mët sè câ 6 chú sè gçm c¡c sè tø 1 ¸n 6 vi¸t theo thù tü n o â. Hai sè ¦u
ti¶n hñp l¤i th nh mët sè chia h¸t cho 2; 3 sè ¦u ti¶n hñp l¤i th nh sè chia h¸t cho 3;
v  cù ti¸p nh÷ vªy (2 ≤ k ≤ 6). Häi sè n y câ thº l  sè n o ?
ffi¡p ¡n: 123654 v  321654.
5. Sè n o l  sè câ 9 chú sè nhä nh§t câ t½nh ch§t sau: vîi k sè ¦u ti¶n hñp l¤i th nh
sè chia h¸t cho k (2 ≤ k ≤ 9) ?
6. H¢y cho 3 sè ¦u ti¶n cõa d¢y c¡c sè câ t½nh ch§t sau:
a) L  bëi cõa 15.
b) Têng c¡c chú sè b¬ng 15.
V½ dö 3. Sè n o l  sè nhä nh§t chia h¸t cho 36 v  c¡c chú sè cõa nâ l  c¡c sè ch®n.
Gñi þ: têng c¡c chú sè chia h¸t cho 9 v  l  sè chia h¸t cho 4. (288)
7. T¼m sè nhä nh§t chia h¸t cho 45 v  ch¿ chùa c¡c chú sè 0 v  8.
8. Sè tü nhi¶n nhä nh§t n o chia h¸t cho t§t c£ c¡c sè 1,2,. . . .,9, 10?
2 Sè ÷îc sè cõa mët sè
V½ dö 1. Li»t k¶ t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa 72.
ffi¡p sè: 72 câ 12 ÷îc sè (chi x²t c¡c ÷îc sè d÷ìng).
Ghi chó: Ta nhªn ÷ñc sè ÷îc sè cõa mët sè n¸u trong ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè
cõa sè â, tø méi thøa sè l§y sè mô cëng th¶m 1 rçi nh¥n t§t c£ c¡c sè n y vîi nhau.
9. Sè 16200 câ bao nhi¶u ÷îc sè?
10. Nhúng sè câ ba chú sè n o câ óng 5 ÷îc sè ?
3
Sigma - MATHS 3 CC B€I TON V— SÈ HÅC
V½ dö 2. Sè tü nhi¶n nhä nh§t n o câ óng 12 ÷îc sè?
ffi¡p sè: 60.
11. T¼m sè tü nhi¶n nhä nh§t câ 18 ÷îc sè?
12. X¡c ành sè tü nhi¶n nhä nh§t câ 42 ÷îc sè v  chia h¸t cho 42?
V½ dö 3. H¢y chùng minh r¬ng mët sè câ sè ÷îc sè l  sè l´ khi v  ch¿ khi sè â l  sè
ch½nh ph÷ìng.
Gñi þ: Khi ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè th¼ c¡c sè mô cõa c¡c thøa sè l  ch®n.
13. Sè 7777777 câ 1995 ÷îc sè?
14. Mët l¢nh chóa nh¥n ng y sinh nhªt cõa m¼nh, æng ta muèn phâng th½ch mët sè tò
nh¥n. Trong nh  tò câ 100 ng«n v  100 cai ngöc. Cai ngöc ¦u ti¶n mð t§t c£ c¡c
c¡nh cûa cõa c¡c ng«n. Cai ngöc thù 2 âng t§t c£ c¡c c¡nh cûa chia h¸t cho 2. Cai
ngöc thù ba l¤i xem c¡c c¡nh cûa câ sè thù tü chia h¸t cho 3, c¡i n o mð th¼ âng
l¤i v  c¡i n o âng th¼ mð ra. C¡c cai ngöc 4,5,...k,... công ti¸p töc l m nh÷ vªy:
n¸u sè thù tü cõa c¡nh cûa chia h¸t cho k m  âng th¼ mð ra, n¸u mð th¼ âng l¤i.
Häi cuèi còng nhúng ng«n n o cûa s³ ÷ñc mð?
3 C¡c b i to¡n v· sè håc
V½ dö 1: Nhúng sè nguy¶n x n o thäa m¢n
x + 3
x− 5 công l  sè nguy¶n?
H÷îng d¨n:
x + 3
x− 5 = 1 +
8
x− 5
15. Câ bao nhi¶u sè tü nhi¶n n ,sao cho x =
n + 1
n− 3 công l  sè tü nhi¶n?
16. Nhúng sè nguy¶n x n o sao cho
4x + 3
x− 3 công l  sè nguy¶n.
V½ dö 2. Câ thº vi¸t sè 220 th nh têng cõa c¡c sè (½t nh§t hai sè) nguy¶n d÷ìng li¶n ti¸p
khæng?
ffi¡p sè: khæng thº.
C¥u häi th¶m: Câ thº vi¸t sè 220 th nh têng cõa c¡c sè (½t nh§t hai sè) nguy¶n li¶n ti¸p
khæng?
C¥u tr£ líi l  câ thº.
17. Câ bao nhi¶u c¡ch câ thº vi¸t 1989 th nh têng cõa mët sè sè nguy¶n d÷ìng li¶n
ti¸p?
18. Câ bao nhi¶u c¡ch câ thº vi¸t 1995 th nh têng cõa mët sè sè nguy¶n d÷ìng l´ li¶n
ti¸p?
4
Sigma - MATHS 4 TŁN CÒNG CÕA CC SÈ LÔY THØA
V½ dö 3. Tèi gi£n sè
100!
2100
. Häi m¨u sè sau khi tèi gi£n l  bao nhi¶u?
Bê sung: Câ thº giîi thi»u th¶m v· ành lþ Lagrange v  ùng döng.
19. M¨u sè cõa ph¥n sè
100!
650
sau khi ¢ tèi gi£n l  bao nhi¶u?
20. Nh¥n 100 sè nguy¶n d÷ìng ¦u ti¶n. Häi trong k¸t qu£ chú sè thù 24 t½nh tø b¶n
ph£i l  sè n o (tr¶n h» ¸m cì sè 10)?
4 Tªn còng cõa c¡c sè lôy thøa
V½ dö 1: H¢y ch¿ ra r¬ng têng cõa 5 sè ch½nh ph÷ìng li¶n ti¸p th¼ luæn luæn chia h¸t cho
5.
H÷îng d¨n: C¡c sè tªn còng cõa d¢y c¡c sè ch½nh ph÷ìng li¶n ti¸p lªp th nh d¢y sè tu¦n
ho n.
21. Sè tªn còng cõa t½ch sau l  bao nhi¶u: 11.22.33 . . . .99?
22. N = 12 + 22 + 32 + . . . + 19962 câ tªn còng b¬ng bao nhi¶u?
23. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u a l  mët sè nguy¶n th¼ ho°c a3− a ho°c a3 + a chia h¸t cho 10.
V½ dö 2: H¢y ch¿ ra r¬ng N = 100! + 7 khæng ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng.
H÷îng d¨n: X²t tªn còng cõa c¡c sè ch½nh ph÷ìng.
24. Ch¿ ra r¬ng N = 117 + 116 + 115 + . . . + 11 + 1 khæng l  sè ch½nh ph÷ìng.
V½ dö 3: 21986 tªn còng b¬ng sè n o? Gi£i th½ch!
ffi¡p sè: 4.
25. Sè 19921991 tªn còng b¬ng sè n o?
26. Vîi gi¡ trà n o cõa N th¼ biºu thùc 1n + 9n + 9n + 6n chia h¸t cho 5 (t½nh nhanh)?
27. Biºu thùc 11994.21994.9971994 câ tªn còng b¬ng sè n o (t½nh nhanh)?
28. 3223 + 2332 câ tªn còng b¬ng sè n o?
29. Têng 773 + 3737 câ chia h¸t cho 10 hay khæng?
30. X¡c ành sè tªn còng cõa N = 2 + 22 + 23 + . . . + 21995?
5
Sigma - MATHS 6 CC SÈ NGUY–N TÈ II
5 C¡c sè nguy¶n tè I
31. Têng cõa 100 sè nguy¶n tè ¦u ti¶n ch®n hay l´?
32. H¢y cho hai sè nguy¶n d÷ìng sao cho têng v  t½ch cõa chóng ·u l  sè nguy¶n tè.
33. Ba sè nguy¶n lªp th nh mët c§p sè cëng v  t½ch cõa chóng l  sè nguy¶n tè. Nhúng
sè n y l  sè n o?
34. H¢y cho hai sè nguy¶n tè P v  Q sao cho P + Q v  P - Q công l  sè nguy¶n tè.
35. Câ hay khæng 6 sè nguy¶n tè li¶n ti¸p nhau sao cho têng cõa chóng công l  sè
nguy¶n tè?
V½ dö 1. Têng cõa 9 sè li¶n ti¸p câ thº l  sè nguy¶n tè hay khæng?
ffi¡p sè: Khæng l  sè nguy¶n tè.
36. Têng cõa 8 sè li¶n ti¸p câ thº l  sè nguy¶n tè hay khæng?
37. Têng cõa 7 sè li¶n ti¸p câ thº l  sè nguy¶n tè hay khæng?
V½ dö 2. Tø 9 sè nguy¶n tè ¦u ti¶n câ thº lªp th nh b£ng k½ch th÷îc 3x3 sao cho: têng
c¡c h ng, têng c¡c cët v  têng hai ÷íng ch²o b¬ng nhau ÷ñc hay khæng?
(B£ng câ t½nh ch§t nh÷ vªy cán ÷ñc gåi l  b£ng ma ph÷ìng)
Líi gi£i: Khæng thº ÷ñc v¼ hai h ng v  cët câ sè 2 câ têng l  sè ch®n. C¡c h ng v  cët
kh¡c câ têng l´.
V½ dö 3. Trong mët c¡i b¼nh câ 67 vi¶n bi tr­ng v  ä. Câ lo¤i b² v  lo¤i lîn. Bi¸t r¬ng :
a)Sè bi ä chia h¸t cho 5.
b)Sè bi ä lîn b¬ng sè bi tr­ng.
c)Sè bi tr­ng nhä câ ½t nh§t.
d)Sè cõa t§t c£ c¡c lo¤i bi ·u l  sè nguy¶n tè.
Häi méi lo¤i câ bao nhi¶u vi¶n bi?
ffi¡p sè: 7 ä lîn, 53 ä nhä, 5 tr­ng lîn v  2 tr­ng nhä câ trong b¼nh.
38. T¤i sao 1997 khæng thº l  têng cõa hai sè nguy¶n tè?
39. Têng cõa ba sè nguy¶n tè l  1996, trong ba sè, sè nhä nh§t l  sè n o?
40. Trong d¢y sè 7, 19, 25,. . . . ( méi sè lîn hìn sè tr÷îc nâ 6 ìn và). Häi trong c¡c sè
cõa d¢y câ sè n o vi¸t ÷ñc th nh hi»u cõa hai sè nguy¶n tè?
6 C¡c sè nguy¶n tè II
V½ dö 1. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u sè nguy¶n tè p > 3 th¼: 3 | p2 − 1.
H÷îng d¨n: ffiành lþ Fermat, hay x²t sè d÷.
6
Sigma - MATHS 7 T„I SAO KHÆNG PHƒI L€ SÈ CHNH PH×ÌNG
V½ dö 2. Vîi c¡c sè nguy¶n tè p, q n o th¼ c¡c sè p+q v  p2 + q2˘q công l  c¡c sè nguy¶n
tè?
H÷îng d¨n: q = 2.
41. Cho p l  sè nguy¶n tè b§t ký. Chùng minh r¬ng p2 + 26 l  hñp sè.
42. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè p v  q sao cho p2 + q2 + 16 công l  sè nguy¶n tè.
V½ dö 3. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u p v  p2 + 8 l  c¡c sè nguy¶n tè th¼ p2 + p + 1 công l  sè
nguy¶n tè.
H÷îng d¨n: T½nh p.
43. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u p v  8p2 + 1 l  sè nguy¶n tè th¼ 8p2 + 2p+ 1 công l  sè nguy¶n
tè.
V½ dö 4. Vîi sè nguy¶n tè p n o th¼ t§t c£ c¡c sè 2p+1, 3p+2, 4p+3, 6p+1 l  sè nguy¶n
tè ?
H÷îng d¨n: T½nh p.
44. Câ hay khæng sè nguy¶n d÷ìng k sao cho k + 5, k + 7, k + 15 ·u l  sè nguy¶n tè?
7 T¤i sao khæng ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng
V½ dö 1. T¤i sao 1010 + 2 khæng l  sè ch½nh ph÷ìng?
H÷îng d¨n: X²t sè tªn còng.
45. T¤i sao c¡c sè sau khæng l  sè ch½nh ph÷ìng? a)100! + 50! + 10! b)
100100 + 1050 + 1 c) 3 + 32 + . . . . + 3100
V½ dö 2. abcabc khæng l  sè ch½nh ph÷ìng , t¤i sao?
H÷îng d¨n: V¼ nâ chia h¸t cho 7, 11, 13.
46. T¤i sao c¡c sè câ sau khæng l  sè ch½nh ph÷ìng?
a) abab b) ababab
V½ dö 3. T¤i sao c¡c sè ÷ñc t¤o th nh tø c¡c sè 2, 3, 4, 5, 6 ( méi sè mët l¦n) khæng l 
sè ch½nh ph÷ìng ?
H÷îng d¨n: Têng c¡c chú sè chia 3 d÷ 2.
V½ dö 4. Têng cõa hai sè ch½nh ph÷ìng l´ t¤i sao khæng l  sè ch½nh ph÷ìng?
H÷îng d¨n: Têng chia 4 d÷ 2.
7
Sigma - MATHS 8 SÈ CHNH PH×ÌNG
47. T¤i sao 30 sè 1 v  mët v i sè 0 khæng t¤o th nh ÷ñc sè ch½nh ph÷ìng?
48. Sè 11. . . 11 ( 100 con sè 1) khæng l  sè ch½nh ph÷ìng ?
49. Têng 12 + 22 + 32 + ... + 562 khæng l  sè ch½nh ph÷ìng ?
50. Mët sè câ 4 chú sè tªn còng gièng nhau v  kh¡c 0 khæng thº l  sè ch½nh ph÷ìng!
51. T¤i sao têng cõa ba sè ch½nh ph÷ìng li¶n ti¸p khæng l  sè ch½nh ph÷ìng?
8 Sè ch½nh ph÷ìng
V½ dö 1. Vîi sè nguy¶n d÷ìng n n o th¼ sè n2 + n + 41 l  sè ch½nh ph÷ìng?
ffi¡p sè: n=40.
52. Vîi n nguy¶n d÷ìng n o th¼ n2 + n− 2 l  sè ch½nh ph÷ìng?
53. Trong c¡c sè d÷îi ¥y, sè n o l  sè ch½nh ph÷ìng?
a) 3 669 517 136 205 224; d) 5 901 643 220 186 100;
b) 1898 732 825 398 318; e) 7 538 062 944 751 882;
c) 4 751 006 864 295 101; f) 2 512 339 789 576 516.
54. Câ bao nhi¶u sè ch½nh ph÷ìng câ têng c¡c chú sè b¬ng 1995?
55. H¢y cho mët d¢y c§p sè cëng câ c¡c ph¦n tû l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng kh¡c nhau tøng
æi mët v  câ væ h¤n c¡c ph¦n tû sao cho giúa chóng khæng câ sè ch½nh ph÷ìng
n o?
V½ dö 2: Sè câ 4 chú sè n o l  b¼nh ph÷ìng cõa mët sè nguy¶n m  2 chú sè ¦u ti¶n
b¬ng nhau v  2 chú sè cuèi còng công b¬ng nhau?
ffi¡p sè: 882 = 7744.
56. H¢y ch¿ ra r¬ng b§t ký lôy thøa n o cõa 10 công câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh têng
cõa hai sè ch½nh ph÷ìng.
57. Sè 1020304030201 (câ 13 chú sè) câ ph£i l  sè ch½nh ph÷ìng hay khæng?
V½ dö 3: C¡c ph÷ìng tr¼nh sau câ thº gi£i ÷ñc trong tªp c¡c sè nguy¶n hay khæng?
a) x2 + y2 = 1987 ; d) x2 − y2 = 1989 ;
b) x2 + y2 = 1986 ; e) x2 − y2 = 1990.
c) x2 + y2 = 1989 ;
58. Chùng minh r¬ng câ nhi·u væ còng c¡c sè tü nhi¶n khæng vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng:
a) Têng hai sè ch½nh ph÷ìng.
b) Têng hai sè lªp ph÷ìng.
8
Sigma - MATHS 10 NGUY–N LÞ DIRICHLET TRONG SÈ HÅC
9 Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n (DIOPHANG)
V½ dö 1. C«n pháng cõa An l  h¼nh chú nhªt câ sè o c¡c c¤nh l  c¡c sè nguy¶n (m) v 
sè o di»n t½ch (m2) l  mët sè ½t hìn 1 ìn và so vîi ë lîn cõa chu vi (m). Häi chi·u d i
v  chi¶u rëng cõa c«n pháng?
Líi gi£i: ab + 1 = 2(a + b)⇒ ab− 2(a + b) + 4 = 3(a− 2)(b− 2) = 3
V½ dö 2. T½ch cõa ba sè nguy¶n tè b¬ng 5 l¦n têng cõa chóng. Häi ba sè nguy¶n tè n y
l  nhúng sè n o?
H÷îng d¨n: a.b.c=5(a+b+c) vªy câ mët sè b¬ng 5. (b-1)(c-1)=6.
59. Mët h¼nh chú nh§t câ sè o cõa chu vi b¬ng sè o cõa di»n t½ch. C¡c c¤nh l  c¡c sè
nguy¶n. Häi di»n t½ch cõa h¼nh chú nhªt ?
60. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n d÷ìng: ab + 2a + 3b = 36.
61. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n d÷ìng: abc + ab + ac + bc + a + b + c = 1000?
62. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi¶m nguy¶n d÷ìng :
1
a
+
1
b
=
1
7
.
V½ dö 3. T¼m c¡c nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh: x2 − 4y2 = 116.
ffi¡p sè: x = 30, y = 15.
63. Hai sè nguy¶n d÷ìng n o m  hi»u b¼nh ph÷ìng cõa chóng b¬ng 1993?
V½ dö 4. T¼m nhúng sè câ ba chú sè b¬ng 19 l¦n têng cõa c¡c chú sè cõa nâ?
64. Mët sè b¬ng 17 l¦n têng c¡c chú sè cõa nâ. Häi sè â l  sè n o?
10 Nguy¶n lþ Dirichlet trong sè håc
Nguy¶n lþ Dirichlet hay cán gåi l  nguy¶n lþ chuçng v  thä.
V½ dö 1. H¢y ch¿ ra r¬ng tø 5 sè nguy¶n tè lîn hìn 10, luæn chån ÷ñc 2 sè câ hi»u chia
h¸t cho 10.
65. CMR tø 11 sè nguy¶n luæn chån ÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 10.
66. CMR tø b¼nh ph÷ìng cõa 7 sè kh¡c nhau, luæn chån ÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho
10.
V½ dö 2. CMR tø 20 sè nguy¶n b§t k¼ luæn chån ÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 19.
67. CMR tø 7 sè nguy¶n, luæn chån ÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 6.
V½ dö 3. Tø 3 sè ch½nh ph÷ìng, luæn chån ÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 3?
68. M»nh · sau óng hay sai: Tø 3 sè ch½nh ph÷ìng luæn chån ÷ñc 2 sè câ hi»u chia
h¸t cho 4?
9
Sigma - MATHS 12 CC H› ffi˜M C CÌ SÈ KHC NHAU.
11 Chú sè cõa mët sè.
69. Ng÷íi ta nh¥n ba sè nguy¶n d÷ìng l´ li¶n ti¸p vîi nhau, v  nh¥n k¸t qu£ nhªn ÷ñc
vîi 5 th¼ ÷ñc sè câ d¤ng ABABAB trong â A v  B l  c¡c chú sè. Häi ba sè ¦u
ti¶n l  nhúng sè n o?
70. Ng÷íi ta ghi chú sè 0 v o sau mët sè câ hai chú sè b§t k¼ sau â l¤i ghi ti¸p sè câ
hai chú sè lóc tr÷îc. H¢y ch¿ ra r¬ng sè câ n«m chú sè vøa nhªn ÷ñc chia h¸t cho
11 v  13.
71. Mët sè trong h» ¸m cì sè 10 b¬ng 17 l¦n têng cõa c¡c chú sè cõa nâ. Häi sè â l 
sè n o?
72. CMR n¸u ghi mët sè câ 3 chú sè hai l¦n c¤nh nhau, ta luæn nhªn ÷ñc mët sè chia
h¸t cho 7, 11 v  13.
73. Cho A, B v  C l  ba chú sè kh¡c nhau. Câ khi n o c£ hai sè câ ba chú sè ABC v 
CBA còng chia h¸t cho 7 ?
74. C¡c gâc trong cõa mët tam gi¡c câ sè o theo ë l  nhúng sè nguy¶n. Gâc thù nh§t
câ sè o l  mët sè câ ba chú sè, c¡c gâc kh¡c nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch xâa chú sè ð
giúa, ho°c chú sè cuèi còng cõa sè o cõa gâc thù nh§t. Häi sè o cõa ba gâc cõa
tam gi¡c l  bao nhi¶u ?
75. Têng cõa hai sè câ ba chú sè chia h¸t cho 37. N¸u ghi hai sè c¤nh nhau ta ÷ñc
mët sè câ s¡u chú sè. CMR sè n y công chia h¸t cho 37.
76. Mët sè ch½nh ph÷ìng câ bèn chú sè. Bi¸t r¬ng chú sè ¦u ti¶n v  chú sè thù hai,
chú sè thù ba v  chú sè thù t÷ gièng nhau. Häi sè â l  sè n o?
77. Câ tçn t¤i sè palidrom câ bèn chú sè v  l  sè ch½nh ph÷ìng hay khæng? (sè palidrom
l  sè åc xuæi công nh÷ åc ng÷ñc ·u nh÷ nhau - hay con gåi l  sè èi sùng).
78. Câ tçn t¤i hay khæng sè câ bèn chú sè abcd sao cho abcd− dcba = 1008 ?
79. C¡c sè ch½nh ph÷ìng câ thº câ tªn còng l  sè câ hai chú sè n o ?
80. H¢y t¼m sè tü nhi¶n câ têng c¡c chú sè chia h¸t cho 13 v  sè ti¸p theo cõa nâ công
câ t½nh ch§t t÷ìng tü !
12 C¡c h» ¸m câ cì sè kh¡c nhau.
81. Vi¸t t§t c£ c¡c sè tø 1 ¸n 20 trong h» ¸m cì sè:
a) 2; b) 3; c) 4; d) 5.
82. Trong h» ¸m cì sè 2, sè n o l  sè:
a) Nhä nh§t câ 2 chú sè;
b) Lîn nh§t câ 2 chú sè;
c) Lîn nh§t câ 3 chú sè.
H¢y vi¸t c¡c sè n y trong h» ¸m cì sè 10.
d) Trong h» ¸m cì sè 2 câ bao nhi¶u sè câ 2, 3, 4 chú sè?
10
Sigma - MATHS 12 CC H› ffi˜M C CÌ SÈ KHC NHAU.
83. Trong h» ¸m cì sè 5, sè n o l  sè:
a) Nhä nh§t câ 2 chú sè;
b) Lîn nh§t câ 2 chú sè;
c) Lîn nh§t câ 3 chú sè.
H¢y vi¸t c¡c sè n y d÷îi trong h» ¸m cì sè 10.
d) Trong h» ¸m cì sè 5 câ bao nhi¶u sè câ 2, 3, 4 chúa sè?
84. ffii·n c¡c sè cán thi¸u trong c¡c ph²p t½nh sau:
227 1234
+ ×
..57 ......4
- 
10434 1101
312
-
......4
85. Bè nâi vîi måi ng÷íi: "Tæi n«m nay 113 tuêi. Tæi câ ba ng÷íi con trai: 35, 34 v  32
tuêi. Khi tæi 34 tuêi th¼ ch¡u lîn nh§t cõa tæi ra íi".
a) Häi æng bè nâi tuêi theo h» ¸m cì sè n o?
b) N¸u i·u ki»n cuèi còng thay êi:
* Khi tæi 45 tuêi th¼ con trai c£ cõa tæi sinh ra.
Häi æng bè ang nâi trong h» ¸m n o? Bè v  c¡c con bao nhi¶u tuêi?
c) N¸u i·u ki»n cuèi còng thay êi:
* Khi tæi 56 tuêi th¼ con trai c£ cõa tæi sinh ra.
Häi æng bè ang nâi trong h» ¸m n o? Bè v  c¡c con bao nhi¶u tuêi?
86. C¡c ¯ng thùc sau óng trong h» ¸m cì sè n o?
a) 3 + 4 = 11; b) 30 + 40 = 110; c) 100 + 100 = 1000;
d) 200 + 200 = 2000; e) 62 + 16 = 100; f) 50.5 = 500;
g) 50.5 = 410; h) 50.5 = 310.
87. Sè 2004 trong mët h» ¸m kh¡c l  13140. H» ¸m â l  h» n o?
88. ffii·n nhúng chú sè th½ch hñp v o æ trèng, sao cho ¯ng thùc óng!
3_14 = 1__3
89. H¢y t¼m xem ph²p t½nh sau ÷ñc thüc hi»n trong h» ¸m cì sè n o? C¡c chú c¡i câ
gi¡ trà l  bao nhi¶u (trong còng ph²p t½nh c¡c chú gièng nhau câ gi¡ trà gièng nhau,
c¡c chú kh¡c nhau câ gi£ trà kh¡c nhau)?
a) ABBA + AAAA = AABBB;
b) ABCD.DC = ABCDC;
c) 5BC + 4CA = ABBA.
90. Th¶m v o c¡c ché cán trèng c¡c chú sè sao cho ta nhªn ÷ñc c¡c sè chia h¸t cho 2
(ch®n).
11
Sigma - MATHS 12 CC H› ffi˜M C CÌ SÈ KHC NHAU.
73_68 101_18 73_69
73_64 101_12 73_65
91. T¼m d§u hi»u chia h¸t cho 2 cõa c¡c sè trong h» ¸m cì sè:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6.
e) Trong tr÷íng hñp têng qu¡t, l m th¸ n o º nhªn bi¸t ÷ñc mët sè l  sè ch®n?
92. Ph¡t biºu v  chùng minh quy luªt nhªn bi¸t mët sè khi n o chia h¸t cho 3 trong
mët sè h» ¸m, v½ dö: h» ¸m cì sè 3; 4; 5; 6; 9.
93. Trong h» ¸m cì sè a, t¼m i·u ki»n º mët sè chia h¸t cho mët ÷îc cõa a?
94. Trong h» ¸m cì sè a, t¼m i·u ki»n º mët sè chia h¸t cho a2, a3 v  c¡c ÷îc sè cõa
chóng.
95. Trong h» ¸m cì sè a, ph¡t biºu i·u ki»n º mët sè chia h¸t cho (a − 1) ho°c
(a + 1)?
96. Câ 8 sè trong h» ¸m cì sè 5 l : 321; 342; 424; 410; 403; 444; 340; 301. Tø 8 sè n y
câ thº t¤o ÷ñc 4 c°p sè m  têng cõa chóng trong h» ¸m cì sè 10 l  200. C¡c c°p
sè n y l  nhúng c°p sè n o?
97. Hai b¤n håc sinh vui t½nh nâi v· m¼nh.
A: Têng cëng 11 n«m tæi ph£i håc m¨u gi¡o v  nh  tr´. Cho ¸n nay tæi i håc phê
thæng ¢ 12 n«m v  ph£i i ti¸p 10 n«m núa cho ¸n khi k¸t thóc.
B: Tæi công 111 tuêi nh÷ b¤n.
Häi c¡c b¤n håc sinh bao nhi¶u tuêi (trong h» ¸m cì sè 10)?
98. H¢y vi¸t t§t c£ c¡c sè v· cì sè 10 n¸u ð cì sè 11 sè n y câ d¤ng a0b v  ð cì sè 9 câ
d¤ng b0a.
99. Sè 740 khi chuyºn sang cì sè x ta ÷ñc mët sè câ 4 chú sè m  chú sè cuèi còng l 
5. H¢y t¼m gi¡ trà cõa x v  c¡c chú sè cán thi¸u.
100. Trong h» ¸m cì sè n o m  khi chia 4634 cho 555 ÷ñc th÷ìng l  5 v  sè d÷ l  530?
V½ dö 1. Chuyºn 0,125 sang h» ¸m cì sè 6.
Líi gi£i.
0, 125× 6
0,75
0, 75× 6
4,50
0, 5× 6
3,0
0, 0× 6
0
K¸t qu£: 0,125 = 0,043
6
.
12
Sigma - MATHS 12 CC H› ffi˜M C CÌ SÈ KHC NHAU.
V½ dö 2. Chuyºn 73, 736 sang h» ¸m cì sè 6.
Líi gi£i. Ta chia th nh hai ph¦n: nguy¶n v  ph¥n.
73, 73 = 73 + 0,73
Ph¦n nguy¶n:
73 : 6 = 12 → 12 : 6 = 2 → 2 : 6 = 0
d÷ 1 ← 0 ← 2
Vªy: 73 = 201
6
Ph¦n ph¥n:
0, 73× 6 = 4, 38 → 0, 38× 6 = 2, 28 → 0, 28× 6 = 1, 68 → 0, 68× 6 = 4, 08
0, 08× 6 = 0, 48 → 0, 48× 6 = 2, 88 → 088× 6 = 5, 28 → 0, 28× 6 = 1, 68
Vªy : 0,73 = 0,042(14025)
6
K¸t qu£ : 73,73 = 201,042(14025)
6
101. Chuyºn h» ¸m!
a) C¡c sè 0,1; 0,01; 0,001 tø h» ¸m cì sè 2 sang h» ¸m cì sè 10.
b) C¡c sè 0,1; 0,2; 0,3 ; 0,4 tø h» ¸m cì sè 5 sang h» ¸m cì sè 10.
c) C¡c sè 0,1; 0,2; 0,3 ; 0,4; 0,5 tø h» ¸m cì sè 6 sang h» ¸m cì sè 10.
102. Chuyºn h» ¸m c¡c sè 0,1; 0,2; 0,3; ...; 0,9; tø h» ¸m cì sè 10 sang h» ¸m cì sè 2;
5 v  6.
103. Chuyºn 123,456 (cì sè 10) sang h» ¸m cì sè 2,3,4,5 v  6.
104. ffi¯ng thùc óng trong h» ¸m cì sè n o?
a) 10 + 10 = 100; b) 10.10 = 100; c) 1010 : 10 = 101.
105. Ng÷íi ta vi¸t còng mët sè tr