Tài liệu ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

CHỦ ĐỀ1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức
 a)	 b) 
 c) .	 d)
 Giải
a) = = 3 + 
Töông töï : = 3 - 
Vaäy P = 3 + + 3 - = 6 
b) = 2 + = 2
c) Ta coù : 7 - 4 = 4 - 4 + ()2 = (2 - )2 => = = 2 - 
 Töông töï : = 2 + 
 Vaäy P = 2 - + 2 + = 4
d)Ta có = 
Bài 2:Cho biểu thức : A = 
Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,999
Giải
Câu a) Ta có : A = = 
Vì (x- 2)2 0 với mọi x => có nghĩa với mọi x 
=> Biểu thức A có nghĩa 4 – 2x 0 x 2 
Câu b) Ta có A = 
Khi x = 1,999 => x A = 0,5 
Bài 3: 
1)T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc: A = 
2)Chöùng minh : = a – b vôùi a > 0 vaø b > 0
Giải
1) Ñieàu kieän XÑ cuûa A laø : - x2 + 6x – 9 0 - (x – 3)2 0 x = 3
2) Ta có: = 
Suy ra: = (= a-b
Bài 4: Ruùt goïn bieåu thöùc :
 M = ( Vôùi a 0 vaø a 1
Giải
Ta coù = = 1 + + a 
=> = (1 + + a) + = (1 + )2 
=> M = (1+ )2 . = 1 + 
Bài 5: Cho A = ( Vôùi 1 
a . Ruùt goïn A
b. Vôùi 1 . Tìm a sao cho A = - a2 
Giải
a) A = ( = 
 = ( = a – 1
b) Tìm 1 . Thoaû maõn ñaúng thöùc A = - a2 
 a = 
Bài 6: Cho bieåu thöùc:
	S = ( ) : vôùi x > 0 , y > 0 vaø x y
1) Ruùt goïn bieåu thöùc treân
2) Tìm giaù trò cuûa x vaø y ñeå S = 1
Giải 
1) Ruùt goïn bieåu thöùc: S = ( ) : vôùi x > 0 , y > 0 vaø x y
 S = ( 
 =
 = = = 
Vậy S = với x > 0, y > 0 và x y
2) S = 1 ó = 1 ó = 1 ó x = 1.Đối chiếu với ĐK ta có x = 1 và y 1 thì S = 1
Bài 7: Cho bieåu thöùc P = vôùi x > 0 vaø x 1
a) Ruùt goïn bieåu thöùc P
b) Tính giaù trò cuûa P khi x = 
Giải:
 a) Ta coù : P = = = = 
b) Vôùi x = ta coù : P = = = 3 + 2 
Bài 8: Cho biểu thức: N = với a,b là 2 số dương khác nhau
 1)Rút gọn biểu thức N
 2)Tính giá trị của biểu thức N khi : a = và b = 
Giải:
1) N = = 
 =
2) Ta có a = = v à b = = 
=> N = 
Bài 9: Cho bieåu thöùc :
 Q = vôùi x > 0 vaø x 1
a) Chöùng minh : Q = 
b) Tìm soá nguyeân x lôùn nhaát ñeå Q coù giaù trò laø soá nguyeân
Giải:
a) Q = = = = = = 
b) Q = nguyeân x -1 laø öôùc cuûa 2 
Do ñoù x lôùn nhaát x – 1 = 2 x = 3 
Bài 10: Cho bieåu thöùc : A = ( vôùi x > 0 ; x 1 vaø x 4
Ruùt goïn A
Tìm x ñeå A = 0
Giải
1.Vôùi x > 0 ; x 1 vaø x 4 .Ta coù :
A = = 
 = = 
.2 Vôùi x > 0 ; x 1 vaø x 4 thì : 
 A = 0 = 0 - 2 = 0 = 2 x = 4 
x = 4 khoâng thoaû maõn ñieàu kieän baøi toaùn 
Vaäy khoâng coù giaù trò naøo cuûa x ñeå A = 0 
Bài 11: Cho bieåu thöùc : P = vôùi x 0 vaø x 4
Ruùt goïn P
Tìm x ñeå P > 1
Giải:
1) Ruùt goïn: P = vôùi x 0 vaø x 4
= = = 
2)Vôùi x 0 vaø x 4 : P > 1 > 1 - 1 > 0 > 0
 > 0 x < 4.Keát hôïp vôùi ÑK x 0 vaø x 4
Ta coù : 0 x < 4 laø giaù trò phaûi tìm.
Bài 12: Cho bieåu thöùc P = vôùi x 0
Ruùt goïn P.
Tìm x ñeå P < 0
Giải:
1) P = vôùi x 0
 = = = 
2) Vôùi x 0. P 1- 0 vôùi x 0 )
 > 1 x > 1 (Thoaû maõn ÑK x 0 ). Vaäy x > 1 thì P < 0
Bài 13: Cho biÓu thøc P = víi x 0 vµ x 1.
Rót gän biÓu thøc P
Chøng minh r»ng khi x = 3 + 2 th× P = 
Giải:
1) Bieán ñoåi ñöôïc: 
Suy ra P = => P = (1) (Vôùi x 0 vaø x 1)
2) Khi x = 3 + 2 => x = ( + 1)2 => = + 1
Thay vaøo (1) Suy ra P = =
Bài 14:Cho biểu thức P = (với x 0 và x 1)
Rút gọn biểu thức P.
 Tìm x biết P = 0
Giải:
1) P = (với x 0 và x 1)
 = = = = x- 2
Vậy P = x- 2
2) P = 0 ó x- 2 = 0 ó (- 2) = 0 ó ó ( thỏa mãn ĐK: x 0 và x 1)
Bài 15: Cho biÓu thøc A = (víi x > 0 vµ x 1)
Rót gän biÓu thøc A
Chøng minh r»ng A – 2 > 0 víi mäi x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 0 vµ x 1.
Giải:
1) A = (víi x > 0 vµ x 1)
 A = 
 = 
 = 
2) Với x > 0 , x 1 ta có A > 2 > 2 x+ 1 > 2 
 ( - 1)2 > 0 luôn đúng với mọi x > 0 , x 1 
Bài 16: Cho biÓu thøc A = víi x > 0 vµ x 1
Rót gän biÓu thøc A.
T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn.
Giải:
1) Rút gọn: A = (víi x > 0 vµ x 1)
	= 
	= 
	= 
	=
2) với x > 0; x 1, x Z ta có A có giá trị nguyên (x – 1) Ư(2)
 (x – 1) 
x - 1 = -1 x = 0 ; x – 1 = 1 x = 2;
x – 1 = - 2 x = - 1 ; x – 1 = 2 x = 3
Đối chiếu với điều kiện: x > 0; x 1, x Z, ta có giá trị cần tìm là: x = 2 và x = 3
Bài 17:1)Rút gọn biểu thức A = với x > 0 và x ≠ 1
 2)Chứng minh đẳng thức 
 Giải:
1) Với x > 0 và x 1 ta có = 
 =
Với x > 0 và x 1 ta có 
Vậy A = 
2) Ta có = 
Vậy (đpcm)
Bài 18:1) Rút gọn biểu thức A = với và .	
 2)Chứng minh đẳng thức: .
Giải:
1) Với , x 1 ta có 
2)
Ta có: 
. 
Vậy .
Bài 19: Cho biểu thức: P = ( với x > 0 và x 4)
Chứng minh P = 
Tìm giá trị của x sao cho P = x + 3