Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

PHẦN I: ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN
I. Kiến thức cơ bản.
1. KiÕn thøc 6, 7, 8 quan träng cÇn nhí.
a, TÝnh chÊt vÒ ph©n sè (ph©n thøc): 
 b, C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
 	+) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 	+) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 	+) A2 - B2 = (A - B)(A + B)
 	+) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
 	+) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
 	+) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)
+) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2)
2. C¸c kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai
	 1) NÕu a ≥ 0, x ≥ 0, = x Û x2 = a 
 2) §Ó cã nghÜa th× A ≥ 0
3) 
4) ( víi A 0 vµ B 0 )
5) ( víi A 0 vµ B > 0 )
6) (víi B 0 )
7) ( víi A 0 vµ B 0 )
 ( víi A < 0 vµ B 0 )
9) ( víi AB 0 vµ B 0 )
10) ( víi B > 0 )
11) ( Víi A 0 vµ A B2 )
12) ( víi A 0, B 0 vµ A B )
II. Các dạng toán thường gặp.
1. Dạng toán rút gọn biểu thức không chứa ẩn
	*) Phương pháp: Sử dụng các công thức biến đổi các biểu thức chứa dấu căn và các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8.
2. Dạng toán tổng hợp. 
( Rút gọn biểu thức chứa biến và các bài toán liên quan )
	*) Phương pháp: 
B­íc 1: T×m §KX§ của biểu thức (NÕu bµi to¸n ch­a cho)(Ph©n tÝch mẫu thµnh nh©n tử, t×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¨n cã nghÜa, c¸c nh©n tö ë mÉu kh¸c 0 vµ phÇn chia kh¸c 0)
B­íc 2:Ph©n tÝch tử và mẫu thành nh©n tử (rồi rót gọn nếu ®­îc).
B­íc 3:Quy đồng, gồm c¸c bước:
+ Chọn mẫu chung : lµ tÝch cñc nh©n tử chung vµ riªng, mỗi nh©n tử lấy số mũ lớn nhất.
+ T×m nh©n tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nh©n tử phụ tương ứng.
+ Nh©n nh©n tử phụ với tử – Giữ nguyªn mẫu chung.
B­íc 4: Bỏ ngoÆc: bằng c¸ch nh©n đa thức hoặc dïng h»ng đẳng thức.
B­íc 5: Thu gọn: lµ cộng trừ c¸c hạng tử đồng dạng.
B­íc 6: Ph©n tÝch tử thµnh nh©n tử (mẫu giữ nguyªn).
B­íc 7:Rót gọn.
L­u ý: Bµi to¸n rót gän tæng hîp th­êng cã c¸c bµi to¸n phô: tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc khi cho gi¸ trÞ cña Èn; t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó biÓu thøc lín h¬n (nhá h¬n) mét sè nµo ®ã; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña biÓu thøc...Do vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i t­¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i to¸n.
* Các dạng toán phụ:
	+) Dạng 1: Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị cho trước.
*) Phương pháp: Cho biểu thức đạt giá trị cho trước rồi giải phương trình để tìm giá trị của ẩn.
	+) Dạng 2: Cho giá trị của biến. Tìm giá trị của biểu thức.
*) Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức.
	+) Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên.
*) Phương pháp: Chia tö cho mÉu, t×m a ®Ó mÉu lµ ­íc cña phÇn d­ (mét sè), chó ý ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh.
 +) Dạng 4: Tìm giá trị của biến để biểu thức nhỏ hơn ( lớn hơn) giá trị cho trước.
*) Phương pháp: ChuyÓn vÕ vµ thu gän ®­a vÒ d¹ng 0) trong ®ã dùa vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu ta ®· biÕt ®­îc M hoÆc N d­¬ng hay ©m, tõ ®ã dÔ dµng t×m ®­îc ®iÒu kiÖn cña biÕn. 
 +) Dạng 5: Tìm GTNN – GTLN của biểu thức.
*) Phương pháp: Dùa vµo ®iÒu kiÖn ban ®Çu vµ c¸c bÊt ®¼ng thøc.
III. Bài tập tổng hợp.
Bµi 1: Cho biÓu thøc 
 a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, rót gän biÓu thøc A
 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A > 
 c) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 2. Cho biÓu thøc 
a) Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc P	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M
Bµi 3. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän biÓu thøc
b) T×m x ®Ó D < -
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D
Bµi 4. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 5. Cho biÓu thøc 
a) T×m x ®Ó B cã nghÜa vµ rót gän B.
b) T×m x nguyªn ®Ó B nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 6. Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
c) T×m x ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 7. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§ vµ rót gän P	b) T×m x ®Ó P > 0
Bµi 8. Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§, rót gäp P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > 0
Bµi 9. (§Ò thi tuyÔn sinh vµo líp 10 - N¨m häc 2011 - 2012)
Cho , với x ³ 0 và x ¹ 25.
	1) Rút gọn biểu thức A.
	2) Tìm giá trị của A khi x = 9. 
	3) Tìm x để A < .
Bµi 10. Cho biÓu thøc: 
a) T×m §KX§, rót gän P.
b) T×m x ®Ó P <.
Bµi 11. Cho biÓu thøc 
a) T×m §KX§ vµ rót gän A
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho A < 0
Bµi 12. Cho biÓu thøc: víi a > 0 vµ a1.
 a) Rót gän biÓu thøc P.
 b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× P > .
Bµi 13. Cho biểu thức : A = với ( x > 0 và x ≠ 1)
1) Rót gän biÓu thøc A.
2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi 
Bµi 14. Cho biÓu thøc P =
a) Rót gän P
b) TÝnh GT cña P khi x= 4
c) T×m GT cña x ®Ó P = 
 (§Ò thi Hà Nội năm 2008-2009)
Bµi 15. Cho biểu thức : A = 
 1) T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc A
 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A < -1
Bµi 16. Cho biểu thức : A = (Với ) 
 a) Rót gän A
 b) T×m x ®Ó A = - 1
Bµi 17. Cho biểu thức : B = 
 a) T×m §KX§ vµ rót gän biÓu thøc B. 
 b) TÝnh gi¸ trÞ cña B víi x = 3 
 c) TÝnh gi¸ trÞ cña x ®Ó 
Bµi 18. Cho biểu thức : P = 
 a) T×m TX§ råi rót gän P
 b) T×m x ®Ó P = 2 
Bµi 19. Cho biểu thức : Q = (
 a) T×m TX§ råi rót gän Q. 
 b) T×m a ®Ó Q d­¬ng. 
 c) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi a = 9 - 4
Bµi 20. Cho biểu thức : M = 
 a) T×m TX§ råi rót gän M
 b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó M = - 4.
CHUYÊN ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån	
1. Daïng : (1) 
 Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ...
2. Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän 
Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc :
+) (goïi laø ñònh thöùc cuûa heä)
+) (goïi laø ñònh thöùc cuûa x)
+) (goïi laø ñònh thöùc cuûa y)
Böôùc 2: Bieän luaän
+) Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát 
+) Neáu D = 0 vaø hoaëc thì heä voâ nghieäm
+) Neáu D = Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm
*) YÙ nghóa hình hoïc: Giaû söû (d1) laø ñöôøng thaúng a1x + b1y = c1
 (d2) laø ñöôøng thaúng a2x + b2y = c2
Khi ñoù:
1. Heä (I) coù nghieäm duy nhaát (d1) vaø (d2) caét nhau
2. Heä (I) voâ nghieäm (d1) vaø (d2) song song vôùi nhau
3. Heä (I) coù voâ soá nghieäm (d1) vaø (d2) truøng nhau
II. Heä phöông trình baäc hai hai aån:
1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån:
Ví duï : Giaûi caùc heä: 
a) b) 
Caùch giaûi: Giaûi baèng pheùp theá
2. Heä phöông trình ñoái xöùng :
2.1. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi.
b.Caùch giaûi:
Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.
Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn .
Böôùc 3: Vôùi S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : 
	 ( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).
Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0;x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä 
2.2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II:
a.Ñònh nghóa: Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình kia cuûa heä.
b. Caùch giaûi:
Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá.
Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .
III. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
HD Giải:
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 
Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập: 
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Bài 2:
Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
HD: 
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là 
x = 1 và x = -2
HD: 
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(-) = 0
	 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng 
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD: 
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)	
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 	
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)	 b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; 	x - y = 2m ;	mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1	; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước
Cho hệ phương trình: 
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 2x + y + = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:
	 2. + + = 3
	=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 
	 3m2 – 26m + 23 = 0 
	m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m = 
IV. Caùc heä phöông trình khaùc:
 Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau:
1. Ñaët aån phuï:
Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình : 
 1) 2) 
 3) 4) 
2. Söû duïng pheùp coäng vaø pheùp theá:
 Ví duï: Giaûi heä phöông trình : 
3. Bieán ñoåi veà tích soá:
Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau: 
 1) 2) 
 3) 
V. Bài tập tổng hợp.
Bài 1:
Cho hệ phương trình (m là tham số)
Giải hệ phương trình khi m = 
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình : 
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 5
Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình khi m = 1
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
 Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình khi m = 3
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 x - 3y = - 3
Bài 6: 
Cho hệ phương trình:
 	a) Giải hệ phương trình khi .
 	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức .
Bài 7: 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 5
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Các kiến thức cần nhớ.
1. Giải và biện luận pt.
Phương trình 
: phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0.
: Đặt 
+ pt(2) vô nghiệm.
+ : pt(2) có nghiệm kép .
+ : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt ; 
Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình.
2. Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình.
Cho phương trình . Đặt trong đó là 2 nghiệm của phương trình (2)
a/ Pt(2) vô nghiệm 	b/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm 
c/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt 	d/Pt(2) có VSN
e/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu 
g/ Pt(2) có 2 nghiệm dương 
h/ Pt(2) có 2 nghiệm âm 
i/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương 
k/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm 
l/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương 
m/Pt(2) có nghiệm kép 
n/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm 
3. Hệ thức vi – ét và ứng dụng.
Hai số là hai nghiệm của phương trình khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức: .
Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: 
( Điều kiện tồn tại hai số trên là )
Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức có hai nghiệm thì nó có thể phân tích thành nhân tử 
Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai:
+ 
+ 
+ 
3.1. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
3.1.1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
	a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ó a.12 + b.1 + c = 0 ó a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm và nghiệm còn lại là 
	b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ó a.(1)2 + b(1) + c = 0ó a b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là và nghiệm còn lại là 
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
	1) 	(1)	2) 	 (2)
Ta thấy :
	Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 nên có nghiệm và 
	Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm và 
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
	1. 	2. 
	3. 	4. 
3.1.2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
Bài giải: 
a) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 
	T ừ suy ra 
b) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
	T ừ suy ra 
c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau: 
	Suy ra 
d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có . Suy ra
	Với th ì 
	Với th ì 
3.2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
3.2.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 
Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng:
Bài tập áp dụng: 
	1. 	x1 = 8 	vµ 	x2 = -3
	2. 	x1 = 3a 	vµ 	x2 = a
	3. 	x1 = 36 	vµ 	x2 = -104
	4. 	x1 = 	vµ 	x2 = 
3.2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và 
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
Vậy phương trình cần lập có dạng: 	
	hay	
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và (Đáp số: hay )
2/ Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).(Đáp số : )
3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm sao cho :
a) và 	b) và 
(Đáp số 	a) 	b) )
3.3. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :	(điều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 
giải phương trình trên ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thì b = 4
	nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
	1. S = 3	và 	P = 2
	2. S = 3	và	P = 6
	3. S = 9	và 	P = 20
	4. S = 2x	và 	P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
	1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
	2. a b = 5 và ab = 36
	3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 
Vậy: 	Nếu a = 4 thì b = 5 
	nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
	Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 
	Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
	nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = thì b = 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
	Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
3.4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
	Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
3.4.1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 
Ví dụ 1 	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Ví dụ 2	
Ta biết 
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
	1. 	( =.)
	2. 	( = =. )
	3. 	( = = )
	4. 	( = = ..)
	Bài tập áp dụng
	5. 	6. 	7. 	8. 
3.4.2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính
	1. 	(34)	2. 	
	3. 	4. 	(46)
b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	
c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	(138)
d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	(3)	2. 	(1)
	3. 	(1)	4. 	
e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 
HD: 
3.5. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số 
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình : có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ 	giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
Rút m từ (1) ta có :
	(3)
Rút m từ (2) ta có :
	(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
	thay v ào A ta c ó:
Vậy A = 0 với mọi và . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
	- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
	- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy 
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
Từ (1) và (2) ta có:
2. Cho phương trình : .
Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
Từ (1) và (2) ta có:
3.6. TÌM